思維導圖第5章分式思維導圖【類型覆蓋】類型一、分式與分式方程的新定義運算【解惑】設都是不為0的實數，且，，定義一種新運算：，則下面四個等式：①；②；③；④；成立的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】此題考查了分式的化簡，各式左右分別利用題中的新定義化簡，判斷即可．【詳解】解：①根據新定義得，，，∵，∴，即，故①不成立；②，，∵，∴，故②不成立；③，，∴，故③成立；④，，∵，∴．綜上，成立的有③．故選：A．【融會貫通】1．定義：．已知，，則（

）A． B．8 C． D．32【答案】B【分析】此題考查了分式的減法、因式分解、代數式的求值．先利用新定義和分式減法得到，再把代數式因式分解并整體代入計算即可．【詳解】解：∵∴，∴故選：B2．定義：若一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．例如：，則是“和諧分式”．若分式的值為整數，則整數x的值為．【答案】【分析】本題考查了分式的運算，涉及到分式有意義的條件的應用，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵．先根據新定義，對原分式進行化簡整理得到為整數，則可得到，解得或，結合分式分式有意義條件，可得到．【詳解】解：?，∵分式的值為整數，∴2的值為整數，∴的值為整數，∴，∴或，∵當時，分式無意義，∴．故答案為：．3．對于實數，，定義一種新運算“”為：，其中等式右邊是實數運算．例如：，則方程的解是．【答案】【分析】此題考查了實數的新定義運算和解分式方程．根據新定義得到，解方程并檢驗即可．【詳解】解：，，，，解得：，經檢驗，是分式方程的解，故答案為：．類型二、分式方程的解為參數【解惑】若關于的分式方程的解為正數，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】本題考查了解分式方程，由分式方程解的情況求參數，先解分式方程，得，由分式方程的解為正數，得，即得，再根據分式的分母不等于，得，即得，據此即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊乘以，得，∴，∵分式方程的解為正數，∴，∴，∵，∴，∴，∴的取值范圍是且，故選：．【融會貫通】1．已知關于的分式方程的解是非負數，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非負數得，由，得，計算可得答案．此題考查了利用分式方程的解求參數的取值范圍，正確求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性質是解題的關鍵．【詳解】解：，∴，得，∵分式方程的解是非負數，∴，即，得，∵，∴，得，∴且，故選：C．2．若關于x的方程的解為正數，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查根據分式方程的解情況求參數，根據“原分式方程的解”和“解是正數”建立關于的不等式是解題的關鍵．先解關于的分式方程，它的解用含量的代數式表示，再根據“原分式方程有解”和“方程的解是正數”建立關于的不等式，求解即可．【詳解】解：，解得：，∵原分式方程有解，∴，即，解得：，∵方程的解是正數，∴，解得：，∴且，故答案為：且．3．若關于的分式方程有正數解，求的取值范圍．【答案】且【分析】本題考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遺漏分式方程的增根情況是解題的關鍵．解分式方程得到，結合已知可得，同時注意，分式方程中，，所以，則可求的取值范圍．【詳解】解：分式方程兩邊同時乘以，得，整理，得，解得，方程有正數解，，，解得，，，，∴且，的取值范圍是且，故答案為：且．類型三、分式方程的解為整數【解惑】關于的分式方程（，且為整數）的解為整數，則的可能取值的和為（

）A．15 B．17 C．22 D．28【答案】B【分析】本題考查了解分式方程，根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程得出，結合，且為整數，為整數，得出可取，，，即可得解．【詳解】解：，去分母得：，去括號得：，移項得：，系數化為1得：，∵，且為整數，為整數，∴∴可取，，，∴的可能取值的和為，故選：B．【融會貫通】1．已知關于的方程有整數解，且，則所有滿足條件的整數的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，先求出分式方程的解，根據分式方程有整數解及，可得整數，，，又根據可得，進而得到滿足條件的整數的值為，，據此即可求解，根據題意求出滿足條件的整數的值是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵方程有整數解，且，∴整數，，，又∵，∴，∴，∴滿足條件的整數的值為，，∴所有滿足條件的整數的和為，故選：．2．若關于的分式方程的解為整數，則整數的值有個．【答案】3【分析】本題考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因為分式方程有正整數解，進而可得整數m的值．【詳解】解：解分式方程得且，∵分式方程的解為整數，∴的值為或，解得m的值為，，，共3個．故答案為：3．3．若分式方程的解為正整數，則整數m的值為．【答案】【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．先解關于的方程，表示出方程的解，由解是正整數，確定出整數的值即可．【詳解】解：，去分母得：，移項合并得：，解得：，由方程的解是正整數，得到為正整數，即或，解得：或當時，．當時，，原方程分母為0，原方程無解．∴．故答案為：．類型四、分式方程的解為無解【解惑】若關于x的分式方程有增根，則m的值是（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】本題考查了分式方程的增根問題，根據解分式方程的方法去分母，把分式方程化為整式方程；接下來把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值．【詳解】解：去分母，得，∵關于x的分式方程有增根，∴是分式方程的增根，當時，，解得；當時，，解得；∴或，故選：A．【融會貫通】1．若分式方程無解，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內容．分式方程無解，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．關于x的分式方程無解，即分式方程去掉分母化為整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即，據此即可求解．【詳解】解：，去分母得：，解得：，分式方程無解，，，，解得：故選：A2．若關于x的分式方程無解，則a的值為．【答案】0或【分析】本題考查了分式方程的解，掌握分式方程無解的條件是解題的關鍵．根據分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0，建立關于a的方程，求解即可．【詳解】解：方程去分母得，，．如果原分式方程無解，那么分兩種情況：①當時，方程無解，所以分式方程無解；②，解方程，得，當分母即時原分式方程無解．由，得．經檢驗，符合題意，故當或時，分式方程無解．故答案為：0或．3．當時，解關于的方程會產生增根．【答案】【分析】此題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的計算方法是解題的關鍵；增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．【詳解】解：去分母得：解得：；因為關于的方程會產生增根，則增根為，故，解得：；故答案為：類型五、分式方程的應用——利潤問題【解惑】2025年3月14日是第六個“國際數學日”，某校數學組在今年“日”舉行了數學游園活動，購買了一批鋼筆和自動鉛筆作為獎品．在前期詢價時，通過電話詢問文具店了解到，鋼筆的價格比自動鉛筆貴，且花300元購買的自動鉛筆比花400元購買的鋼筆多10支．求前期電話詢問時鋼筆和自動鉛筆的單價分別為多少元？【答案】鋼筆的單價為8元，自動鉛筆的單價為5元【分析】本題考查分式方程的應用，理解題意，正確列出分式方程是解答的關鍵．設自動鉛筆的單價為x元，則鋼筆的單價為元，根據“花300元購買的自動鉛筆比花400元購買的鋼筆多10支”列方程求解即可．【詳解】解：設自動鉛筆的單價為x元，則鋼筆的單價為元，根據題意，得，解得，經檢驗，是所列方程的解，且符合實際，∴（元），答：前期電話詢問時，鋼筆的單價為8元，自動鉛筆的單價為5元．【融會貫通】1．孝敬父母是中華民族的傳統美德．“母親節”來臨之際，花店紛紛搞促銷活動，小麗發現某花店有康乃馨、玫瑰兩種花束正在參加活動．購買3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，購買5束康乃馨和6束玫瑰需要650元．(1)求康乃馨花束和玫瑰花束的單價分別為多少元？(2)“母親節”當天，花店進行促銷活動，將康乃馨花束的單價降低了元，玫瑰花束單價降低了m元，節日當天康乃馨花束的銷量是玫瑰花束銷量的倍，且康乃馨花束的銷售額為1800元，玫瑰花束的銷售額為900元，求m的值．【答案】(1)康乃馨花束的單價為70元，玫瑰花束的單價為50元(2)m的值為5【分析】本題考查二元一次方程組和分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程或方程組．（1）設康乃馨花束的單價為x元，玫瑰花束單價為y元，根據“購買3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，購買5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程組，即可解得答案；（2）根據“節日當天康乃馨花束的銷量是玫瑰花束銷量的倍”可列分式方程求解即可．【詳解】（1）解：設康乃馨花束的單價為x元，玫瑰花束單價為y元，由題意，得：，解得：，答：康乃馨花束的單價為70元，玫瑰花束的單價為50元．（2）解：依題意得：，解得：，經檢驗，是方程的解且符合題意，答：m的值為5．2．某批發商購進哪吒、敖丙兩種掛件．已知每個哪吒掛件的進價比每個敖丙掛件的進價貴1元，用400元購進哪吒掛件的個數恰好與用360元購進敖丙掛件的個數相同．求該批發商購進哪吒、敖丙兩種掛件的單價各是多少元．【答案】該批發商購進哪吒掛件的單價是10元，數丙掛件的單價是9元．【分析】本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程．設該批發商購進哪吒掛件的單價是元，則購進敖丙掛件的單價是元，根據用元購買哪吒掛件的個數恰好與用元購買敖丙掛件的個數相同，列出分式方程，解方程即可【詳解】解：設該批發商購進哪吒掛件的單價是元，則購進數丙掛件的單價是元，由題意，得，解得，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，．答：該批發商購進哪吒掛件的單價是10元，數丙掛件的單價是9元．3．某商場用3000元購進一批商品，售完后，第二次購進這種商品時，每件的進價提高了，用3000元購進這種商品的數量比第一次少了10件．(1)求該商場第二次購進這種商品時每件商品的價格；(2)若該商場兩次購進的商品售價均為70元，且全部售完，求兩次售出這種商品的總利潤．【答案】(1)該商場第二次購進這種商品時每件商品的價格為元(2)兩次售出這種商品的總利潤為元【分析】本題考查分式方程的實際應用，正確的列出分式方程是解題的關鍵：（1）設第一次購進這種商品時每件商品的價格為元，根據第二次購進這種商品時，每件的進價提高了，用3000元購進這種商品的數量比第一次少了10件，列出方程進行求解即可；（2）根據總利潤等于總售價減去總成本，列出算式進行計算即可．【詳解】（1）解：設第一次購進這種商品時每件商品的價格為元，由題意，得：，解得：；經檢驗是原方程的解，∴；答：該商場第二次購進這種商品時每件商品的價格為元；（2）由（1）可知，第一次購進商品件，第二次購進商品件，∴（元）；答：兩次售出這種商品的總利潤為元．類型六、分式中的倒數法【解惑】【閱讀理解】已知，求的值．解：由已知可得，則，．①，②．（1）第②步運用了______公式；（A．平方差

B．完全平方）【類比探究】（2）上題的解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解決下面的問題：已知，求的值．【答案】（1）B；（2）【分析】本題考查了完全平方公式在分式中的應用，注意計算的準確性即可．（1）根據解題步驟即可求解；（2）由題意得，推出，根據即可求解；【詳解】解：（1）第②步運用了完全平方公式，故答案為：B（2）由已知可得，則，∴，即，∵，∴【融會貫通】1．閱讀下面的解題過程：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值為．該題的解法叫“倒數法”，請你也利用“倒數法”解決下列問題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)拓展：已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分式的運算、運用完全平方公式分解因式，解決本題的關鍵是理解題目給出的解題思路，仿照例題的解題思路解題．（1）仿照例題先求倒數可得：，根據即可解答；（2）仿照例題先求倒數可得：，根據可求的值，可得；（3）仿照例題求倒數可得：，，，可得，所以可得，利用倒數法可得．【詳解】（1）解：∵，可知，∴，∴，∴；（2）解：∵，可知，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，，，可知，∴，，，∴，，，∴，∴，∴．2．閱讀下面的解題過程：(1)感知：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值為__________．該題的解法叫“倒數法”，請你也利用“倒數法”解決下列問題：(2)應用：求，求的值；(3)拓展：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查分式的運算，完全平方公式，解題的關鍵正確理解題目給出的解答思路．（1）根據“倒數求值法”的解題思路即可求出答案；（2）根據“倒數求值法”的解題思路即可求出答案；（3）根據“倒數求值法”的解題思路即可求出答案．【詳解】（1）解：∵，且，∴，即∴∴；（2）解：∵，且，∴，∴，∴；∴．（3）解：∵，且∴∴∵∴．3．閱讀下列解題過程：已知，求的值．解：由，知，所以，即．∴．∴的值為7的倒數，即．以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數”，然后求出待求式子倒數的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解決下面問題：(1)已知，則_________．(2)解分式方程組：(3)已知，，，求的值．【答案】(1)3；(2)；(3)．【分析】本題考查了分式的加減法，解二元一次方程組，解分式方程，倒數，理解例題的思路是解答本題的關鍵．（1）已知等式變形求出的值即可；（2）由，解此方程組即可得解；（3）已知三等式變形后相加求出的值，原式變形后代入計算即可求出值．【詳解】（1）解：由，得到，∴，∴，故答案為：3；（2）解：由得∴，得，∴，把代入得，∴，經檢驗，，是原方程的解，∴原方程組的解為；（3）解：∵，，，∴，，，∴，∴．類型七、分數的裂項【解惑】；；；…(1)根據上面個等式存在的規律寫出第個等式；(2)用含的代數式表示出第個等式，并證明．【答案】(1)；(2)，證明見解析．【分析】（）根據前個等式特點寫出第個等式；（）根據第（）結論歸納出第個等式的規律；此題考查了數字的變化規律，分式的運算，找出數字之間的運算規律，得出規律，利用規律，解決問題是解題的關鍵．【詳解】（1）解：；；；∴第個等式；（2）解：；；；；第個等式；證明：左邊右邊．【融會貫通】1．讀讀做做：教材中有這樣的問題：觀察下面的式子，探索它們的規律．，，…(1)用正整數n表示這個規律，并加以證明；(2)問題解決一容器裝有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照這種倒水方式，這1升水能否倒完？請通過計算說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)不能倒完，理由見解析【分析】本題考查了數字的變化規律、分式混合運算的應用，熟練掌握裂項相消是解答本題的關鍵．（1）根據發現的規律寫出一般規律并驗證即可；（2）根據題意，先求出倒出水總量的代數式，進行化簡得到，說明不論倒水次數有多大，倒出的總水量總小于1．【詳解】（1）解：規律：，證明：右側左側，，等式成立．（2）解：不能倒完，理由：根據題意，得到次水倒出的總和為：不論倒水次數有多大，倒出的總水量總小于1，這1升水倒不完，2．觀察下面的變形規律：，解答下面的問題：(1)若n為正整數，且寫成上面式子的形式，請你猜想．(2)計算：．(3)解關于n的分式方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了數字的變化規律類問題，探尋數列規律認真計算觀察聯想是解決這類問題的關鍵．（1）根據已知的算式拆項計算得出即可；（2）先根據得出的規律拆項展開，再合并，最后求出即可；（3）先根據得出的規律拆項展開，再合并，最后解方程即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）原式，故答案為：；（3）經檢驗是原方程的解．∴．3．先觀察下列等式，然后用你發現的規律解答下列問題：，，，(1)計算______；(2)探究______；（用含有的式子表示）(3)靈活利用規律解方程：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了數字類的規律探索，解分式方程：（1）根據題意得到原式，據此求解即可；（2）根據題意可得規律，據此裂項求解即可；（3）根據（2）的規律可得原方程為，據此解分式方程即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：，，，，以此類推，可得，∴，故答案為：；（3）解：由題意得，∴，∴，解得，經檢驗，是原方程的解，∴原方程的解為．類型八、分式與分式方程的規律【解惑】觀察下列各個式子：，按照以上規律，解決下列問題：(1)________________；(2)________________（用含的式子填空），并證明該等式．【答案】(1)，(2)，，證明見解析【分析】（）根據已知等式寫出式子即可；（）根據分式的運算法則對等式的右邊進行化簡即可求證；本題考查了數字規律變化問題，分式的運算，由已知等式找到變化規律是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由已知等式可得，，故答案為：，；（2）解：．證明：∵，∴，故答案為：，．【融會貫通】1．觀察下列等式：①；②；③；④．按上述規律，回答以下問題：(1)用含n（n為正整數）的代數式表示第個等式：______；(2)______．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了規律型-數字的變化類，正確找出數字的變化規律是解題的關鍵．（1）根據數字的變化規律得到；（2）根據數字的變化規律得到．【詳解】（1）解：根據式子的變化規律得，故答案為：；（2）解：，故答案為：．2．下面是一些方程和它們的解．的解為，；的解為，；的解為，；……根據上面的方程和它們的解所反映的規律，解答下面問題：(1)的解為_______；(2)關于x的方程的解為_______；(3)關于x的方程的解為_______．【答案】(1)，；(2)，；(3)，．【分析】本題考查了解分式方程．（1）觀察閱讀材料中的方程解過程，歸納總結得到結果；（2）仿照方程解方程，歸納總結得到結果；（3）方程變形后，利用得出的規律得到結果即可；【詳解】（1）解：猜想關于x的方程的解是；故答案為：；（2）解：猜想關于x的方程的解是，；故答案為：，；（3）解：方程變形得：，∴，可得或，解得：，．3．先閱讀下面的材料，然后回答問題：閱讀材料一：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…閱讀材料二：在處理分式問題時，當分子的次數不低于分母的次數，運算時我們可以將分式拆分成一個整式和一個分式（分子為正數）的和（差）的形式．如：；再如：．(1)根據上面材料一的規律，猜想關于x的方程的解是________；(2)根據材料二將分式分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式________________，利用（1）的結論得到關于x的方程的解是________；(3)利上述材料及（1）的結論解關于x的方程：．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】本題考查了分式方程求解，讀懂材料并且靈活運用是解題關鍵．（1）根據材料一的規律直接得出答案即可；（2）根據材料一的規律可得，結合已知，即可得出結果；（3）根據材料一的規律可得，進一步求出結果即可．【詳解】（1）解：根據上面材料一的規律，可知x的方程的解是，，故答案為：，；（2）根據材料二：，，即，，，，故答案為：，；（3），，即，，，解得：．類型九、分式與分式方程的新定義應用【解惑】在數學的奇妙世界里，我們常常會遇到一些獨特的運算規則．現在定義一種新的運算“”，對于任意的有理數a和b，有，其中m，n是正整數．同時，我們還知道整式乘法和冪運算的相關知識，比如同底數冪相乘，底數不變，指數相加，即；冪的乘方，底數不變，指數相乘，即．并且我們會利用二元一次方程組來解決一些未知量的問題．(1)已知，①求m，n的值；②若，，求的值．(2)對于任意非零實數α，b，c，若新運算“”滿足，且存在某個常數k，使得，求m，n的值和常數k．【答案】(1)①；②(2)【分析】本題考查定義新運算，冪的運算，熟練掌握新定義，是解題的關鍵：（1）①根據新定義，得到，即可得出結果；②根據新定義，列出方程組進行求解即可；（2）根據，推出，進而得到，根據，得到，進行求解即可．【詳解】（1）解：①∵，∴，∴；②∵，，∴，兩式相乘可得：，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵為正整數，為常數，為任意非零有理數，∴；綜上：．【融會貫通】1．定義：若一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．(1)給出下列分式：①；②；③；④．其中屬于“和諧分式”的是_______（填序號）；(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式；(3)化簡．若該式的值為整數，求x的整數值．【答案】(1)①③④(2)(3)【分析】本題主要考查新定義運算，分式的混合運算法則，理解“和諧分式”的定義，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．（1）根據分式加減運算法則，再根據“和諧分式”的定義進行判定即可；（2）根據分式加減運算法則，再根據“和諧分式”的定義進行判定即可；（3）先根據分式的混合運算法則先化簡得，再根據該式的值為整數，得到或，最后根據分式有意義的條件得到，由此即可求解．【詳解】（1）解：①，屬于“和諧分式”；②，不屬于“和諧分式”；③，屬于“和諧分式”；④，屬于“和諧分式”；∴屬于“和諧分式”的是①③④，故答案為：①③④；（2）解：．（3）解：．∵該式的值為整數，∴或，解得或或1或．又∵，∴，∴．2．定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，那么稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是______________（填序號）．①；②；③；④．(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式．(3)應用：先化簡，并回答取什么整數時，該式的值為整數?【答案】(1)①③④(2)(3)時，該式的值為整數．【分析】本題考查了新定義運算，分式的混合運算，分式有意義的條件，理解“和諧分式”的定義是解題的關鍵．（1）根據“和諧分式”的定義，對各式進行變形計算，即可解答；（2）根據完全平方公式，進行變形計算，即可解答；（3）將原式化簡為，再變形為，從而可得當或時，分式的值為整數，進而可得，，或1，然后根據分式有意義時，，，，，即可解答．【詳解】（1）解：①；②；③；④；上列分式中，屬于“和諧分式”的是①③④，故答案為：①③④；（2）解：．（3）解：，當或時，分式的值為整數，，0，或，分式有意義時，，，，，，時，該式的值為整數．3．【閱讀材料】材料1：我們知道，分子比分母小的分數叫做“真分數”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數，叫做“假分數”．小學時常常會遇到將一個假分數寫成帶分數的問題，在這個計算的過程中，先計算分子中有幾個分母求出整數部分，再將剩余的部分寫成一個真分數．例如：．材料2：類似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”，如：；當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”，如：．類比分數，我們可以將假分式寫成一個整式與一個真分式的和的形式．例如：；材料3：為了研究字母和分式值的變化關系，小明制作了表格，并得到數據如下：－4－3－2－101234－1無意義1【學以致用】請根據上述材料完成下列問題：(1)將下面的分式寫成一個整式與一個真分式的和的形式：______；______；(2)當時，隨著的增大，分式的值______（填“增大”或“減小”）；(3)當時，隨著的增大，分式的值無限趨近一個數，請寫出這個數，并說明理由；(4)請你將寫成一個整式與一個真分式的和的形式．【答案】(1)，(2)減小(3)3，理由見解析(4)【分析】本題主要考查了分式的化簡以及有關運算，解題關鍵是理解已知條件中的真假分式的定義．（1）把所求分式分別寫成分子和分母相同的分式與另一個分式的形式，再把分子和分母相同的分式寫成整式即可；（2）根據（1）中的結果，先判斷分式的增減性，從而判斷真分式的增減性即可；（3）把分式寫成整式與真分式和的形式，然后根據所寫分式的增減性，從而進行判斷即可；（4）分式分子的前兩項當作分子，把分式寫成分母是的兩個分式相加，把第一個分式約分，第二個分式寫成整式與真分式和的形式，再進行化簡即可．【詳解】（1），，故答案為：，；（2），是隨的增大而減小，是隨的增大而減小，故答案為：減??；（3）分式的值無限趨近3，理由如下：，隨著的增大，越來越小，無限趨近于0，隨著的增大，分式的值無限趨近3；（4），．類型十、分式的加減應用【解惑】我們通常用作差法比較代數式大?。纾阂阎?，，比較和的大小．先求，若，則；若，則；若，則．反之亦成立．本題中因為，所以．(1)如圖1是邊長為的正方形，將正方形一邊不變，另一邊增加4，得到如圖2所示的新長方形，此長方形的面積為；將圖1中正方形邊長增加2得到如圖3所示的新正方形，此正方形的面積為．①用含的代數式分別表示_____，_____；②比較_____（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)已知兩個等腰直角三角形（和）邊長分別為和如圖4放置在一起，連結．如果點是線段的中點，連結、．請比較與的面積大?。?3)甲、乙兩工程隊分別承擔一條2千米公路的維修工作．甲隊有一半時間每天維修公路千米，另一半時間每天維修公路千米，乙隊維修前1千米公路時，每天維修千米；維修后1千米公路時，每天維修千米．問甲、乙兩隊哪隊先完成任務？【答案】(1)①；②＜(2)(3)甲隊【分析】本題主要考查了完全平方公式的運用，熟練掌握相關公式及方法是解題關鍵．（1）①根據圖形，按照長方形及正方形的面積公式進一步計算即可得出相應的與的值；②然后進一步將二者相減并化簡，最后根據化簡結果的正負性比較大小即可；（2）根據和表示三角形的面積，然后運用比差法解題即可；（3）表示出甲、乙隊完成任務的時間，然后運用比差法解題即可．【詳解】（1）解：①，，②，∴；故答案為：，；；（2）解：，，，，，，（3）解：甲隊完成任務需要的時間，乙隊完成任務需要的時間，，，，，，，，，，甲隊先完成任務．【融會貫通】1．【閱讀理解】“作差法”是解決某些數學問題常用的方法之一：比較代數式，的大小，作差，若，則；若，則；若，則．【方法應用】（1）若，試比較與的大??；【解決問題】（2）小慧同學提出一個有關“糖水甜度”的問題：“在一定質量的糖水中，加入一定質量的糖，糖水會變得更甜！你能說明其中的道理嗎？我們不妨設原有糖水克，其中含糖克（），則原糖水的“甜度”可用表示，現向糖水中加入克糖（），糖水的“甜度”可用表示，請你用數學知識解釋為什么“在一定質量的糖水中，加入一定質量的糖，糖水會變得更甜呢？【答案】（1）；（2）見解析【分析】本題主要考查了分式的加減的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．（1）依據題意得，又，則，進而可以判斷得解；（2）依據題意，原糖水的“甜度”為，現糖水的“甜度”為，進而可得，再結合，，可得，進而可以判斷得解．【詳解】解：（1）；∵，∴∴，∴；（2）由題意，原糖水的“甜度”為，現糖水的“甜度”為．，又∵，，，，∴，∴∴在一定質量的糖水中，加入一定質量的糖，糖水會變得更甜．2．【知識背景】（1）比較兩個數或代數式的大小時，解決策略一般是利用“作差法”．例如：比較代數式，的大小，若，則；若，則；若，則．【知識探究】（2）已知，，當時，比較與的大小，并說明理由．【遷移運用】（3）司機甲每次給自己私家車加300元的油（油箱未加滿），而司機乙每次都把私家車油箱直接加滿．現實生活中油價經常變動，假設兩人第一次加油時的油價為元/升，第二次加油時的油價為元/升，其中．①司機甲兩次加油的平均單價為______元/升，司機乙兩次加油的平均單價為______元/升；（用含，的代數式表示，結果需化簡）②請通過計算判斷，司機甲和司機乙的兩種不同的加油方式中，誰的平均單價更低？【答案】（2），理由見解析；（3）①，；②司機甲兩次加油的平均單價更低【分析】本題考查了列代數式，分式的減法，能根據題意用含，的代數式分別表示出兩個司機加油的平均單價及理解“作差法”是解題的關鍵．（2）根據題中所給“作差法”進行計算即可．（3）①根據加油量費用油的單價，平均單價兩次加油花的錢兩次加油的總量，列代數式即可；②根據題中所給“作差法”進行計算即可．【詳解】解：（2），理由如下：，

，即（3）①司機甲兩次加油的平均單價為：元/升設司機乙油箱加滿能加升司機乙兩次加油的平均單價為元/升②，又

即

司機甲兩次加油的平均單價更低3．綜合與探究【閱讀理解】：我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，解決問題的策略一般都是進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法：就是通過作差、變形，利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數式A、B的大小，只要算的值，若，則；若，則；若．則．例如：當時，比較和的大小．我們采用作差法：，【類比運用】（1）當時，請用作差法比較和的大小；【知識運用】（2）①當時，請用作差法比較和的大??；②請用①的結論比較大小：______（用“>、=、<”填空）；【綜合運用】（3）邊長為a和b（其中）的兩個正方形按如圖的樣子擺放，設和的面積之和為，陰影部分的面積為，請判斷與的大小關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）①；②；（3），理由見解析【分析】本題考查了分式的加減運算，整式的加減計算，乘法公式，因式分解，正確利用作差法比較大小是解題的關鍵．（1）利用整式加減計算化簡，再判斷差值正負即可；（2）①利用異分母分式減法法則進行計算，再判斷差值正負即可；②利用①結論即可判斷；（3）先表示，由完全平方公式表示，然后作，差因式分解可得，再根據平方非負性即可判斷正負．【詳解】（1）解：，，；（2）解：①，；②，∴，故答案為：；（3），理由如下：由題意得，．【一覽眾山小】1．某養殖戶飼養豬和羊，其中養豬45頭，養羊的數量與飼養總數的比是．設養羊x只，則可列方程為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列分式方程，設養羊x只，依題意列出方程即可，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：設養羊x只，依題意可得：，故選：C．2．甲，乙兩人分別從、兩地同時出發，若相向而行，則相遇；若同向而行，則甲追上乙．甲，乙兩人的速度之比為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相遇問題和追擊問題，涉及分式的混合運算，正確理解題意，建立方程組是解題的關鍵．設甲的速度為，乙的速度為y，兩地相距S，根據題意，得，解方程組解得即可．【詳解】解：設甲的速度為，乙的速度為y，兩地相距S，根據題意，得，解得，故，故選：C．3．已知，，若，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查等式的性質，分式的化簡，完全平方公式，根據題意得，則，再代入選項中計算，化簡即可求解．利用等式的基本性質得，再代入求解是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故B正確；，∵，∴，故C正確；∵，則，∴，故D正確；∵，則∴當，時，，此時，故A錯誤；故選：A．4．若對任意的，，都有，則．【答案】【分析】本題考查了分式的運算，解二元一次方程組，先由，則有，然后解出方程組即可，掌握分式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案為：．5．若，則代數式的值為．【答案】3【分析】本題考查了分式的化簡和代數式求值，熟練掌握分式化簡方法和整體法求代數式值是解題的關鍵．先化簡分式得，再將變形，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴原式．故答案為：36．若關于x的分式方程有增根，則m的值是．【答案】3【分析】本題考查分式方程的增根問題，將分式方程轉化為整式方程，根據方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m的值即可．【詳解】解：，去分母，得：，∵方程有增根，∴，∴，∴，∴；故答案為：37．先化簡，再從，0，2三個數中選一個合適的數作為m的值代入求值．【答案】，【分析】先根據分式的混合運算法則進行化簡,再選擇一個使分式有意義的m的值代入求值即可．