...wd......wd......wd...2017年全國碩士研究生入學統一考試真題試卷《數學三》試題一、選擇題:1—8小題．每題4分，共32分．1．假設函數在處連續，則〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．二元函數的極值點是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．設函數是可導函數，且滿足，則〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．假設級數收斂，則〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．設為單位列向量，為階單位矩陣，則〔A〕不可逆〔B〕不可逆〔C〕不可逆〔D〕不可逆6．矩陣，，，則〔A〕相似，相似〔B〕相似，不相似〔C〕不相似，相似〔D〕不相似，不相似7．設，是三個隨機事件，且相互獨立，相互獨立，則與相互獨立的充分必要條件是〔〕〔A〕相互獨立〔B〕互不相容〔C〕相互獨立〔D〕互不相容8．設為來自正態總體的簡單隨機樣本，假設，則以下結論中不正確的選項是〔〕〔A〕服從分布〔B〕服從分布〔C〕服從分布〔D〕服從分布二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上〕9．．差分方程的通解為．設生產某產品的平均本錢，其中產量為，則邊際本錢為.設函數具有一階連續的偏導數，且，，則設矩陣，為線性無關的三維列向量，則向量組的秩為．14．設隨機變量的概率分布為，，，假設，則．三、解答題15．〔此題總分值10分〕求極限16．〔此題總分值10分〕計算積分，其中是第一象限中以曲線與軸為邊界的無界區域．17．〔此題總分值10分〕求18．〔此題總分值10分〕方程在區間內有實根，確定常數的取值范圍．19．〔此題總分值10分〕設，為冪級數的和函數〔1〕證明的收斂半徑不小于．〔2〕證明，并求出和函數的表達式．20．〔此題總分值11分〕設三階矩陣有三個不同的特征值，且〔1〕證明：；〔2〕假設，求方程組的通解．21．〔此題總分值11分〕設二次型在正交變換下的標準形為，求的值及一個正交矩陣．22．〔此題總分值11分〕設隨機變量相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為．〔1〕求概率；〔2〕求的概率密度．23．〔此題總分值11分〕某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做了次測量，該物體的質量是的，設次測量結果相互獨立且均服從正態分布該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計參數．〔1〕求的概率密度；〔2〕利用一階矩求的矩估計量；〔3〕求參數最大似然估計量．2017年全國碩士研究生入學統一考試真題試卷《數學三》試題答案一、選擇題:1—8小題．每題4分，共32分．1．解：，，要使函數在處連續，必須滿足．所以應該選〔A〕2．解：，，解方程組，得四個駐點．對每個駐點驗證，發現只有在點處滿足，且，所以為函數的極大值點，所以應該選〔D〕3．解：設，則，也就是是單調增加函數．也就得到，所以應該選〔C〕4．解：iv時顯然當且僅當，也就是時，級數的一般項是關于的二階無窮小，級數收斂，從而選擇〔C〕．5．解：矩陣的特征值為和個，從而的特征值分別為；；；．顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應該選〔A〕．6．解：矩陣的特征值都是．是否可對解化，只需要關心的情況．對于矩陣，，秩等于1，也就是矩陣屬于特征值存在兩個線性無關的特征向量，也就是可以對角化，也就是．對于矩陣，，秩等于2，也就是矩陣屬于特征值只有一個線性無關的特征向量，也就是不可以對角化，當然不相似應選擇〔B〕．7．解：顯然，與相互獨立的充分必要條件是，所以選擇〔C〕．8．解：〔1〕顯然且相互獨立，所以服從分布，也就是〔A〕結論是正確的；〔2〕，所以〔C〕結論也是正確的；〔3〕注意，所以〔D〕結論也是正確的；〔4〕對于選項〔B〕：，所以〔B〕結論是錯誤的，應該選擇〔B〕二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上〕9．解：由對稱性知．10．解：齊次差分方程的通解為；設的特解為，代入方程，得；所以差分方程的通解為11．解：答案為．平均本錢，則總本錢為，從而邊際本錢為12．解：，所以，由，得，所以．13．解：對矩陣進展初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線性無關，所以向量組的秩為2．14．解：顯然由概率分布的性質，知，解得，．三、解答題15．〔此題總分值10分〕解：令，則，16．〔此題總分值10分〕解：17．〔此題總分值10分〕解：由定積分的定義18．〔此題總分值10分〕解：設，則令，則，所以在上單調減少，由于，所以當時，，也就是在上單調減少，當時，，進一步得到當時，，也就是在上單調減少．，，也就是得到．19．〔此題總分值10分〕解：〔1〕由條件也就得到，也就得到也就得到，所以收斂半徑〔2〕所以對于冪級數，由和函數的性質，可得，所以也就是有．解微分方程，得，由于，得所以．20．〔此題總分值11分〕解：〔1〕證明：因為矩陣有三個不同的特征值，所以是非零矩陣，也就是．假假設時，則是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有，又因為，也就是線性相關，，也就只有．〔2〕因為，所以的根基解系中只有一個線性無關的解向量．由于，所以根基解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數．21．〔此題總分值11分〕解：二次型矩陣因為二次型的標準形為．也就說明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為．通過分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交