河北省衡水市2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列選項正確的是（

）A． B．C． D．2．某校舉辦運動會，某班級打算從5名男生與4名女生中選兩名男生和兩名女生去參加跑步接力比賽，則不同的選派方法數為（

）A．20 B．35 C．50 D．603．一批產品中次品率為10%，隨機抽取1件，定義，則（

）A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.94．若隨機變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．5．在等比數列中，，若，，成等差數列，則的公比為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．已知，，則（

）A． B． C． D．7．用五種不同顏色的涂料涂在如圖所示的五個區域，相鄰兩個區域不能同色，且至少要用四種顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．480 C．420 D．3608．將數列和中所有的元素按從小到大的順序排列構成數列（若有相同元素，按重復方式計入排列），則數列的前50項和為（

）A．2160 B．2240 C．2236 D．2490二、多選題9．若袋子中有3個白球，2個黑球，現從袋子中有放回地隨機取球5次，每次取一個球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記5次取球的總分數為X，則（

）A． B．C．X的數學期望 D．X的方差10．已知數列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．若為等差數列，則是等差數列B．若為等差數列，則成等差數列C．若為等比數列，則“，”是“”的充分不必要條件D．若是公比為的等比數列，則11．已知函數，則（

）A．當時，函數的減區間為B．當時，函數的圖象是中心對稱圖形C．若是函數的極大值點，則實數a的取值范圍為D．若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數a的取值范圍為三、填空題12．的展開式中的系數是.（用數字作答）13．某測試由8道四選一的單選題組成．學生小胡有把握答對其中4道題，且在剩下的4道題中，他對2道有思路，其余2道則完全不會．若小胡答對每道有思路的題的概率為，答對每道不會的題的概率為，則當他從這8道題中任抽1題作答時，能答對的概率為．14．為了協調城鄉教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學在內的三所學校支教（每所學校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲、乙教師不被安排在同一所學校，丙教師不去往希望中學，則不同的分配方法種數為.四、解答題15．已知展開式中前三項系數成等差數列.(1)求n的值；(2)判斷展開式中是否存在含的項.若有，則求出含的項；若沒有，請說明理由.16．已知函數的圖象經過點．(1)求曲線在點A處的切線方程；(2)求曲線經過坐標原點的切線方程．17．某市移動公司為了提高服務質量，決定對使用兩種套餐的集團用戶進行調查，準備從本市個人數超過1000的大集團和3個人數低于200的小集團中隨機抽取若干個集團進行調查，若一次抽取2個集團，全是大集團的概率為．(1)在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為小集團的概率；(2)若一次抽取3個集團，假設取出大集團的個數為，求的分布列和數學期望．18．已知數列的前n項和為，且．(1)證明：是等比數列，并求的通項公式；(2)記，記數列的前n項和為．①求；②若存在，使得，求的取值范圍．19．設函數．(1)當時，求的極值；(2)若當時，恒成立，求的取值范圍；(3)當時，若，證明：．

河北省衡水市2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題參考答案題號12345678910答案CDBABBDCACDACD題號11答案AB1．C【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：C2．D【詳解】根據分步乘法原理由題可得不同的選派方法數為(種).故選：D.3．B【詳解】.故選：B.4．A【詳解】根據題意可得，所以.故選：A.5．B【詳解】設等比數列的公比為，則，因為，，成等差數列，所以，又，所以，所以，故，故選：B．6．B【詳解】由，有，故選：B7．D【詳解】先不考慮至少要用四種顏色，完成涂色需要分5步，按照順序依次涂區域CADEB，C區域有5種顏色可選，A區域有4種顏色可選，D區域有3種顏色可選；若E區域與D區域顏色相同，E區域有1種顏色可選，則B區域有3種顏色可選；若E區域與D區域顏色不同，E區域有2種顏色可選，則B區域有2種顏色可選；再由分類加法和分步乘法計數原理計算可得共有種；如果只使用三種顏色涂色（小于三種無法涂色），則A，B同色且D,E同色，共有種涂色方法；所以滿足題意的不同的涂色方法有種.故選：D.8．C【詳解】由題知：中第50個數為，第41個數為，因為，，則數列的前50項和中含中元素46個，含中元素4個，所以.故選：C9．ACD【詳解】由題意知從袋子中有放回地隨機取球5次，每次取到白球的概率為，取到白球記1分，取到黑球的概率為，取到黑球記0分，則記5次取球的總分數為X，即為5次取球取到白球的個數，知，故A正確；，故B錯誤；X的數學期望，故C正確﹔X的方差，故D正確.故選：ACD．10．ACD【詳解】對于A，若為等差數列，設公差為，則，所以，所以，所以為等差數列，故A正確；對于B，若成等差數列，則成立，所以，即，所以，而不恒成立，故B錯誤；對于C，為等比數列，若“，”則“”，所以充分性成立；當等比數列的公比為1，若成立，不一定成立，例如，但，所以必要性不成立，所以“，”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D，若為等比數列，公比為，當時，則前項和為，所以，當時，，所以，綜上：，故D正確.故選：ACD11．AB【詳解】由，對于A選項，當時，，可得函數的減區間為，增區間為，故A選項正確；對于B選項，當時，，又由，可得函數的圖象關于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；對于C選項，由A選項可知，當時，是函數的極小值點；當時，令，可得或，若是函數的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；對于D選項，設切點為（其中），由切線過原點，有，整理為，令，有，可得函數的減區間為，增區間為，又由時，；時，；及，可知當時，關于m的方程有且僅有3個根，可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，故選：AB．12．5【詳解】的展開式的通項為.從中選擇1，則需求的展開式中含的項，由可得，，此時有；從中選擇，則需求的展開式中含的項，由可得，，此時有.所以，的展開式中含的項為.故答案為：5.13．/0.6875【詳解】設“小胡從這8題中任選1題且作對”為事件A，“選到能完整做對的4道題”為事件B，“選到有思路的2道題”為事件C，“選到完全沒有思路的題”為事件D，則，，，，由全概率公式可得.故答案為：.14．260【詳解】先將丙安排在一所學校，有種分法；若甲、丙在同一所學校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學校（記為校），分別對應有1（3人均在校）、（2人在校，另1人隨便排）、（1人在校，另2人分在同一所學校或不在同一所學校），共種排法；若甲、丙不在同一所學校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學校，則有剩下3人可分別分為1，2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故答案為：26015．(1)8(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）展開式的通項公式為，由題意可得，前三項項系數：1，，成等差數列，即，解得；（2）由（1）可得，令，解得，因為，所以不存在含的項.16．(1)；(2)和．【詳解】（1）依題意可得，則，∴，∵，∴，∴曲線在點處的切線方程為，即；（2）設過原點的切線方程為，則切點為，則消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程為和．17．(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）由題意知共有個集團，取出2個集團的方法總數是，其中全是大集團的情況有，故全是大集團的概率是，整理得到，解得．若2個全是大集團，共有種情況；若2個全是小集團，共有種情況；故全為小集團的概率為．（2）由題意知，隨機變量的可能取值為，計算，，，，；故的分布列為：0123數學期望為．18．(1)證明見解析，；(2)①；②.【詳解】（1）數列中，，當時，，兩式相減得，整理得，于是，而，即，則，所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列，，；（2）①由（1）知，，，.②由①知，，，，而數列單調遞增，則，因此，由存在，使得，得，所以的取值范圍是.19．(1)極小值為，無極大值(2)(3)證明見解析【詳解】（1）當時，，求導得，令，解得，當時，，當時，，所以時，取得極小值，極小值為，無極大值；（2）由，可得，令，則，令，則，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，所以，所以，所以，當時，所以，函數在單