2.2.4二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質1.二次函數y=ax2與y=a(x-h)2+k的圖象都是拋物線,它們的形狀相同,但

不同.

2.把二次函數y=ax2的圖象向上(或下)平移后再向左(或右)平移,可以得到二次函數y=a(x-h)2+k的圖象,平移的方向、距離要根據h,k的值來決定.(1)當k>0時,向上平移

個單位長度;當k<0時,向下平移

個單位長度;

(2)當h>0時,向右平移

個單位長度;當h<0時,向左平移

個單位長度.

探究點一二次函數y=a(x-h)2+k與y=ax2的關系【新知探究】位置k|k|h|h|[例1-1]

(2022通遼)在平面直角坐標系中,將二次函數y=(x-1)2+1的圖象向左平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度,所得圖象的函數表達式為()A.y=(x-2)2-1B.y=(x-2)2+3C.y=x2+1D.y=x2-1D(2)指出二次函數y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.(1)y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k(2)平移規律:上加下減,左加右減.【新知鞏固】1.將拋物線y=4-(x+1)2向右平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度,所得拋物線必定經過點()A.(-2,2) B.(-1,1)C.(0,6) D.(1,-3)2.將二次函數y=-2(x-3)2+5的圖象向下平移

個單位長度,再向

平移

個單位長度,所得圖象的函數表達式為y=-2x2.

3.(2023大荔縣期末)在平面直角坐標系中,將二次函數y=x2+1的圖象先向左平移3個單位長度,再向下平移2個單位長度,所得圖象的函數表達式為

.

B5左3y=(x+3)2-14.已知函數y=(x+1)2-4.(1)若將函數y=(x+1)2-4的圖象先向右平移2個單位長度,再向上平移4個單位長度,得到的圖象的函數表達式為

;

(2)函數y=(x+1)2-4的圖象經過怎樣的上下平移能經過原點?解:(1)y=(x-1)2(2)設經過原點的函數圖象的表達式為y=(x+1)2-4+h,把(0,0)代入,得0=(0+1)2-4+h,解得h=3.則過原點的圖象的函數表達式為y=(x+1)2-1.即把函數y=(x+1)2-4的圖象向上平移3個單位長度后的圖象經過原點.探究點二二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質【新知探究】y=a(x-h)2+ka>0a<0開口開口向上開口向下對稱性關于直線x=h對稱頂點(h,k)最值當x=h時,y最小=k當x=h時,y最大=k增減性當x<h時,y隨x的增大而減小;當x>h時,y隨x的增大而增大當x<h時,y隨x的增大而增大;當x>h時,y隨x的增大而減小[例2-1]已知二次函數y=-6(x-3)2+1,圖象的對稱軸為直線

,頂點坐標為

;若y隨x的增大而增大,則x的取值范圍是

.[例2-2]已知拋物線y=3(x-2)2+4的頂點為A,原點為O,該拋物線交y軸于點B.(1)當x為何值時,y隨著x的增大而增大;x=3(3,1)x<3解:(1)∵拋物線y=3(x-2)2+4,∴對稱軸為直線x=2,開口向上.∴當x>2時,y隨著x的增大而增大.(2)求△OAB的面積.【新知鞏固】1.已知二次函數y=6(x-2)2+5,則關于該函數,下列說法正確的是()A.該函數圖象的頂點坐標是(-2,5)B.當x>2時,y的值隨x值的增大而減小C.當x取1和3時,所得到的y的值相同