.3用乘法公式分解因式一、平方差公式兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。即：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。在運用此公式時，需要注意以下幾點：多項式應僅包含兩項（或兩個整體）。這兩項都能用完全平方表示，即字母的指數是偶數，系數是完全平方數。這兩項符號相反（一項為正，一項為負）。二、完全平方公式兩數的平方和，加上（或者減去）這兩數的積的2倍，等于這兩數和（或者差）的平方。即：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2或(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。符合完全平方式的多項式具有以下特點：多項式是三項。要有兩個符號相同的平方項和一個交叉項。交叉項要等于兩個平方項底數的積的2倍。三、公式法的應用一般地，利用平方差公式或完全平方公式把一個多項式分解因式的方法，叫作公式法。公式中的a、b可以是數，也可以是整式。鞏固課內例1:把下列各式分解因式——平方差公式法1．下列多項式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解的知識，理解并掌握平方差公式的結構特征是解題關鍵．結合平方差公式的結構特征：，左邊需滿足兩數（或式）的平方差，逐項分析判斷即可．【詳解】解：A中，不是兩數（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合題意；B中，不是兩數（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合題意；C中，是兩數（或式）的平方差，故能用平方差公式分解因式，故符合題意；D中，不是兩數（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合題意；故選：C．2．因式分解：【答案】【分析】本題考查了因式分解-運用公式法，根據平方差公式分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．3．分解因式：．【答案】【分析】本題考查因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可．【詳解】．鞏固課內例2:把下列各式分解因式——提取公因式法與平方差公式法1．把多項式分解因式，下列結果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式．故選：C．2．因式分解：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式進行分解，即可求解；掌握因式分解的步驟及方法是解題的關鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．3．分解因式：．【答案】【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，根據式子的特點靈活選用恰當的方法進行分解是解題的關鍵；原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：．鞏固課內例3:把下列各式分解因式——完全平方式法1．下列多項式中，能用完全平方公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查乘法公式進行因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．根據完全平方公式的形式即可求解．【詳解】解：選項，，符合題意；選項，，常數項是，不可以用完全平方公式進行因式分解，不符合題意；選項，，常數項是，不可以用完全平方公式進行因式分解，不符合題意；選項，，缺少一次項，不可以用完全平方公式進行因式分解，不符合題意；故選：．2．因式分解：．【答案】【分析】本題考查利用完全平方公式因式分解，熟練因式分解的方法是解題的關鍵．利用完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．3．分解因式：．【答案】【分析】本題考查分解因式，原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：．鞏固課內例4:把下列各式分解因式——提取公因式法與完全平方式法1．將多項式分解因式，下列結果正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法進行因式分解即可．【詳解】解：；故選：D．2．分解因式：．【答案】【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：原式；故答案為：．3．分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解，平方差公式．（1）根據題意先提，再整理即可．（2）先提出，再利用平方差公式整理即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．鞏固課內例5:把下列各式分解因式——整體思想分解因式1．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了用公式法分解因式、有理數的乘方．首先把等式的左邊分解因式可得：，從而可得，然后整體代入求值即可．【詳解】解：整理得：，分解因式可得：，，．故選：C．2．已知，，，那么【答案】【分析】本題考查了利用因式分解進行簡便計算，解題關鍵是要將因式分解．先將因式分解為，再將其值代入計算即可．【詳解】解：，，，故答案為：．3．閱讀材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，可以得到：原式．上述解題過程用到的“整體思想”，是數學解題中常用的一種思想方法．請利用“整體思想”解答下列問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了因式分解，多項式乘以多項式，解題的關鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．（）將“”看成整體，令，則原式，再通過完全平方公式分解因式即可求解；（）令，則原式，再通過完全平方公式分解因式即可求解．【詳解】（1）解：令，∴原式；（2）解：令，∴．類型一、用公式法因式分解1．下列多項式中，不能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解的知識，理解并掌握平方差公式的結構特征是解題關鍵．結合平方差公式的結構特征：，左邊需滿足兩數（或式）的平方差，逐項分析判斷即可．【詳解】解：A中，，故選項不符合題意；B中，，故選項不符合題意；C中，，不是兩數（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故選項符合題意；D中，，故選項不符合題意；故選：C．2．在多項式，，，，，中，能用公式法分解因式的有個．【答案】4【分析】本題考查了公式法進行因式分解，熟練掌握、是解答本題的關鍵．根據公式分析解答即可．【詳解】解：，不能分解因式；，能用公式法分解因式；，不能分解因式；，能用公式法分解因式；，能用公式法分解因式；，能用公式法分解因式；故答案為：4．3．探究：如何把多項式因式分解？(1)觀察：上式能否可直接利用完全平方公式進行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）；【閱讀與理解】由多項式乘法，我們知道，將該式從右到左地使用，即可對形如的多項式進行因式分解，即：；此類多項式的特征是二次項系數為1，常數項為兩數之積，一次項系數為這兩數之和．(2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）；(3)請運用上述方法將下列多項式進行因式分解：①

②【答案】(1)不能(2)3，5，3，5，3，5(3)①；②【分析】本題考查因式分解，掌握十字相乘法，是解題的關鍵．（1）根據完全平方式的特點判斷即可；（2）將15拆解乘，又，即可得出結果；（3）利用十字相乘法進行因式分解即可．【詳解】（1）解：∵不是完全平方式，∴不能利用完全平方公式進行因式分解；故答案為：不能；（2）∵，∴；（3）①；②．類型二、平方差公式分解因式1．下列四個式子中能因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．根據因式分解的方法逐項分析即可．【詳解】解：A．不能因式分解，故不符合題意；

B．，故符合題意；

C．不能因式分解，故不符合題意；

D．不能因式分解，故不符合題意；故選B．2．因式分解：．【答案】【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，根據平方差公式進行分解即可，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【詳解】解：，故答案為：．3．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了因式分解．（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）利用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．類型三、完全平方公式分解因式1．對多項式進行因式分解，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解﹣運用公式法，涉及完全平方差公式，根據完全平方公式分解因式即可．熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．【詳解】解：，A、不是因式分解，不符合題意；B、因式分解錯誤，不符合題意；C、因式分解錯誤，不符合題意；D、因式分解正確，符合題意；故選：D．2．分解因式：．【答案】【分析】本題考查分解因式，完全平方公式等．根據題意先將提出后利用完全平方公式整理即可．【詳解】解：∵，故答案為：．3．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了提公因式法與公式法分解因式．（1）先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可；（2）將原式展開合并同類項后，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．類型四、用公式法分解因式表示圖形1．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個等式，例如圖①可以得到用完全平方公式進行因式分解的等式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，如圖②是由4個長方形拼成的一個大的長方形，用不同的方式表示此長方形的面積，由此不能得到的因式分解的等式是（

）A．a（m＋n）＋b（m＋n）＝（a＋b）（m＋n）B．m（a＋b）＋n（a＋b）＝（a＋b）（m＋n）C．am＋bm＋an＋bn＝（a＋b）（m＋n）D．ab＋mn＋am＋bn＝（a＋b）（m＋n）【答案】D【分析】由面積的和差關系以及S長方形ABCD＝（a+b）（m+n）求解即可【詳解】解：如圖②，S長方形ABCD＝（a+b）（m+n），A．S長方形ABCD＝S長方形ABFH+S長方形HFCD＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n），不符合題意；B．S長方形ABCD＝S長方形AEGD+S長方形BCGE＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n），不符合題意；C．S長方形ABCD＝S長方形AEQH+S長方形HQGD+S長方形EBFQ+S長方形QFCG＝am+bm+an+bn＝（a+b）（m+n），不符合題意；D．不能得到ab+mn+am+bn＝（a+b）（m+n），故D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解，整式乘法與圖形的面積，數形結合是解題的關鍵．2．將如圖1所示的一張邊長為a的正方形紙片剪去2個長為a，寬為b的長方形以及3個邊長為b的正方形之后，拼成了如圖2所示的長方形．觀察圖1和圖2的陰影部分，請從因式分解的角度，用一個含有a、b的等式表示從圖1到圖2的變化過程．

【答案】【分析】此題主要考查了多項式乘多項式的幾何背景，解題關鍵是正確用代數式表示出兩個圖形中陰影部分面積．利用代數式分別表示圖1，圖2陰影部分面積即可解答．【詳解】解：由題可知，圖1陰影部分面積為，圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，∵兩個圖形陰影部分面積相等，∴，故答案為：．3．圖形是一種重要的數學語言，它直觀形象，能有效地表示一些代數中的數量關系，運用代數思想也能巧妙的解決一些圖形問題．請你利用數形結合的思想解決以下數學問題．(1)根據圖1中大正方形面積的兩種不同表示方法，可得出代數恒等式_______；(2)如圖2，將一張大長方形紙板按圖中線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為厘米的大正方形，2塊是邊長都為厘米的小正方形，5塊是長為厘米，寬為厘米的全等的小長方形，且．①觀察圖形，可以發現代數式可以因式分解為_________．②若陰影部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為24厘米，求圖2中空白部分的面積．【答案】(1)(2)①；②平分厘米【分析】（1）根據正方形面積的兩種不同的表示方法即可得出等式；（2）①根據長方形面積的兩種表達方式即可求解；②由陰影部分面積及大長方形周長可得兩方程，根據完全平方公式變形可求解出，即可求出空白部分面積．【詳解】（1）解：大正方形的邊長為，則大正方形面積為；大正方形的面積看作3個小正方形和6個長方形面積的和，則大正方形面積為：，∴可得出代數恒等式：；（2）解：①觀察圖形可得圖形面積為，利用長方形面積公式可得圖形的面積為，；②∵圖中陰影部分的面積為20平方厘米，，∴，∵大長方形紙板的周長為24厘米，，∴，∴，∴空白部分面積為（平分厘米）．類型一、綜合運用提取公因式法與公式法1．如果，那么的值為（）A．0 B．1 C．4 D．9【答案】D【分析】本題考查因式分解，代數式求值，先將多項式進行因式分解，利用整體代入法，求值即可．【詳解】解：∵，，∴．故選D．2．分解因式：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，先運用提公因式法進行因式分解，再運用完全平方公式進行因式分解，即可作答．【詳解】解：，故答案為：．3．分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．（1）先提取公因式，再利用完全平方公式繼續分解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式繼續分解即可；（3）利用平方差公式進行分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．類型二、綜合運用雙公式法1．下列因式分解錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據提公因式法、公式法進行因式分解，逐項判斷即可．【詳解】解：A、，因式分解正確，故不符合題意；B、，因式分解正確，故不符合題意；C、不能進行因式分解，D、，因式分解正確，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了因式分解；熟練掌握提公因式法和公式法正確進行因式分解是解題的關鍵．2．分解因式：．【答案】【分析】本題考查了實數范圍內因式分解，利用完全平方公式與平方差公式是解題的關鍵；先把前兩項湊成完全平方式，再利用平方差公式分解，再對每一個因式繼續利用平方差公式分解；把一個二次根式表示成一個實數的平方是解題的關鍵．【詳解】解：．3．下面是某同學對多項式進行因式分解的過程．解：設，原式…………（第一步）……（第二步）…………（第三步）…（第四步）(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的______；(2)該同學因式分解的結果是否徹底______（填“徹底”或“不徹底”）；若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果：____________(3)請你模仿以上方法嘗試對下列多項式進行因式分解．①；②．【答案】(1)公式法(2)不徹底；(3)①；②【分析】本題考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，靈活運用完全平方公式分解因式是解題的關鍵．（1）根據完全平方公式，即可解答；（2）中的還可以運用完全平方公式分解因式，即可得到答案；（3）①設，原式可化為，根據完全平方公式可得，所以可化為，進一步運用完全平方公式即得到答案．②，原式可化為，根據完全平方公式可得，所以可化為，進一步運用平方差公式即得到答案．【詳解】（1）解：該同學第二步到第三步運用了因式分解的公式法；（2）解：該同學因式分解的結果不徹底，因為，所以分解的最后結果為；（3）解：①設，則．②設則．類型三、簡便計算1．利用因式分解簡便計算正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用提取公因式法進行計算即可判斷．【詳解】解：故答案選B．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是掌握因式分解．2．用簡便方法計算20082﹣4016×2007+20072的結果是．【答案】1．【分析】共三項，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.【詳解】20082﹣4016×2007+20072，＝20082﹣2×2008×2007+20072，＝（2008﹣2007）2，＝1．【點睛】此題考查公式法在有理數計算中的應用，正確分析出所應用的公式是解題的關鍵.3．簡便計算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了利用因式分解進行簡便計算，解題的關鍵是熟練掌握分解因式的方法．（1）直接提取公因式，進而求出答案；（2）將前兩項提取公因式2013，進而分解因式得出答案．【詳解】（1）解：

；（2）解：．類型四、已知代數式的值，求因式分解的值1．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查完全平方公式的變形應用、因式分解，熟練掌握完全平方公式、提公因式法是解決本題的關鍵．根據提公因式法、完全平方公式即可解決此題．【詳解】解：，，，，，原式，故選：C．2．已知，，，則代數式的值為．【答案】3【分析】本題考查了因式分解的應用，根據代數式的形式，構造出完全平方公式進行計算即可，掌握分解因式的應用，把原多項式擴大2倍得完全平方式是解題關鍵．【詳解】解：，，，，，，，，，原式．故答案為：3．3．閱讀材料：把代數式因式分解，可以如下分解：(1)探究：請你仿照上面的方法，把代數式因式分解；(2)拓展：若代數式，則的值_____．【答案】(1)(2)1或7【分析】本題考查的是利用完全平方公式與平方差公式分解因式，兩數之積為0，則至少有1個數為0的含義；（1）把化為，再進一步求解即可；（2）由（1）可得，再根據兩數之積為0，則至少有1個數為0，從而可得答案．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，∴，∴或，解得：或；類型五、完全平方式1．如果是關于的完全平方式，則的值為（

）A．6 B． C． D．12【答案】B【分析】根據完全平方公式：，即可求出．【詳解】∵完全平方公式：∴在中，得，∴∴∴故選：B．【點睛】本題考查完全平方公式，解題的關鍵是掌握：．2．多項式能用完全平方式分解因式，則的值為．【答案】8或/或8【分析】利用完全平方公式即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，∴或，∴或，故答案為：8或．【點睛】本題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．3．探究題：【問題情景】（1）分解下列因式，將結果直接寫在橫線上：___________；__________；___________；【探究發現】（2）觀察上述三個多項式的系數，有，，，于是小明發現：若多項式是完全平方式，那么系數、、之間存在的關系式為__________；【問題解決】（3）若多項式是一個完全平方式，利用（2）中的結論求出的值．【答案】（1）；；；（2）；（3）3【分析】本題主要考查了完全平方公式、因式分解的理解和應用等知識點，靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．（1）利用完全平方公式進行分解因式即可解答；（2）根據問題情境，式子中的系數關系，可猜想；（3）多項式是一個完全平方式，則系數a，b，c存在的關系為，據此列出關于k的方程求解即可．【詳解】解：（1）；，故答案為：；；．（2）∵觀察上述三個多項式的系數，有，，，∴若多項式是完全平方式，那么系數、、之間存在的關系式為：．故答案為：．（3）∵多項式是一個完全平方式，∴，整理得：，解得：，∴的值為3.類型一、智慧數問題1．如果一個正整數能表示為兩個正整數的平方差，那么這個正整數就稱為“智慧數”，例如：5＝32﹣22，5就是一個智慧數，則下列各數不是智慧數的是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】設k是正整數，證明除1外，所有的奇數都是智慧數；除4外，所有的能被4整除的偶數都是智慧數，即可得答案．【詳解】解：設k是正整數，∵（k＋1）2?k2＝（k＋1＋k）（k＋1?k）＝2k＋1，∴除1外，所有的奇數都是智慧數，所以，B，D選項都是智慧數，不符合題意；∵（k＋1）2?（k?1）2＝（k＋1＋k?1）（k＋1?k＋1）＝4k，∴除4外，所有的能被4整除的偶數都是智慧數，所以A選項是智慧數，不符合題意，C選項2022不是奇數也不是4的倍數，不是智慧數，符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了平方差公式分解因式的應用，牢記a2?b2＝（a＋b）（a?b）是解題的關鍵．2．一個自然數若能表示為兩個自然數的平方差，則稱這個自然數為“智慧數”，比如，故是一個智慧數．數“”“”“”“”中，不屬于“智慧數”的有．【答案】【分析】本題考查了平方差公式；如果一個數是智慧數，就能表示為兩個非零自然數的平方差，設這兩個數分別、設即智慧數，因為是非的自然數，因而和就是兩個自然數．要判斷一個數是否是智慧數，可以把這個數分解因數，分解成兩個整數的積，看著兩個數能否寫成兩個非0自然數的和與差．【詳解】解：；；；不能表示為兩個自然數的平方差．故答案為：．3．如果一個正整數能表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”，兩個正整數為它的“智慧分解”．例如，因為，所以16就是一個智慧數，而5和3則是16的智慧分解．那么究竟哪些數為智慧數？第2022個智慧數是否存在，又是哪個數？為此，小明和小穎展開了如下探究．小穎的方法是通過計算，一個個羅列出來：，，，，…小明認為小穎的方法太麻煩，他想到：設兩個數分別為，，其中，且為整數．則．(1)根據上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧數，并直接寫出11，15的智慧分解；(2)繼續探究，他們發現，，所以8和12均是智慧數，由此，他們猜想：（，且為整數）均為智慧數．請證明他們的猜想；(3)根據以上所有探究，請直接寫出第2022個智慧數，以及它的智慧分解．【答案】(1)正奇數，5和6是11的智慧分解，7和8是15的智慧分解；(2)證明見解析(3)第2022個智慧數是2699，1349和1350是它的智慧分解．【分析】（1）利用小明得到的公式，設2k+1=11和2k+1=15，解出k的值，即可得出結果；（2）仿照小明的方法，將（k+1）2-（k-1）2用平方差公式展開即可證明；（3）綜合（1）、（2）可得，除1外，所有的奇數都是智慧數；除4外，所有能被4整除的偶數都是智慧數；再證出被4除余2的數不是智慧數，找到智慧數規律，從而解答問題．【詳解】（1）解：根據小明的方法得到公式：（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1，所以除1外，所有的正奇數都是智慧數，∴設2k+1=11，解得k=5，k+1=6，∴5和6是11的智慧分解，同理可得：7和8是15的智慧分解；（2）證明：設k≥2，且k為整數，∵（k+1）2-（k-1）2=（k+1+k-1）（k+1-k+1）=4k，k=2時，4k=8，∴除4外，所有能被4整除的偶數都是智慧數．∴4k（k≥2且k為整數）均為智慧數；（3）解：由（1）、（2）可知：除1外，所有的奇數都是智慧數；除4外，所有能被4整除的偶數都是智慧數；這樣還剩被4除余2的數，采用題目中小穎的方法，得到特殊值2，6，10都不是智慧數，也就是被4除余2的正整數都不是智慧數，推廣到一般式，證明如下：∵假設4k+2是智慧數，那么必有兩個正整數m和n，使得4k+2=m2-n2，∴4k+2=2（2k+1）=（m+n）（m-n）①，∵m+n和m-n這兩個數的奇偶性相同，∴等式①的右邊要么是4的倍數，要么是奇數，而左邊一定是偶數，但一定不是4的倍數．可左、右兩邊不相等．所以4k+2不是智慧數，即被4除余2的正整數都不是智慧數．∴把從1開始的正整數依次每4個分成一組，除第一組有1個智慧數外，其余各組都有3個智慧數，而且每組中第二個不是智慧數，又∵（2022-1）÷3=673??????2，∴第2022個智慧數在1+673+1=675（組），并且是第三個數，即675×4-1=2699，是個奇數，∴根據小明的方法可得：2k+1=2699，解得k=1349，k+1=1350，即第2022個智慧數是2699，1349和1350是它的智慧分解．【點睛】本題考查了新定義智慧數以及平方差公式的運用，解題關鍵是根據題目條件挖掘素材，得到方法，本題屬于基礎題，難度不大，題中文字較多，很多學生不喜歡這樣的文字題，解決該類型題時，只要仿照文中給定的辦法即可得出結論．類型二、整除問題1．對于任意整數n，都（

）A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除C．能被8整除 D．能被5整除【答案】C【分析】本題考查了因式分解，利用平方差公式分解因式得出，即可作出判斷．【詳解】解：，為任意整數，，既能被2整除又能被4整除，又∵、是連續整數，∴、必有一個是偶數，∴能被8整除，即能被8整除，故選：C．2．若一個四位正整數滿足：，我們就稱該數是“交替數”，則最小的“交替數”是；若一個“交替數”m滿足千位數字與百位數字的平方差是15，且十位數字與個位數的和能被5整除．則滿足條件的“交替數”m的最大值為．【答案】【分析】本題主要考查了新定義，解二元一次方程組，因式分解的應用，對于第一空要使“交替數”最小，則要最小，即，同理可知，據此根據“交替數”的定義確定c的最小值即可得到答案；對于第二空分解因式可得，求出都是正整數，再由，得到或，則或，據此求出當時m的最大值即可得到答案．【詳解】解：∵要使“交替數”最小，∴要最小，即，同理可知，又∵，∴，∴最小為0，∴最小的“交替數”為；設，∵“交替數”m滿足千位數字與百位數字的平方差是15，∴，∴，∵a是正整數，b是自然數，∴，∴，∴都是正整數，∵，∴或，∴或，當時，∵，∴，∴，∴，∵m的十位數字與個位數的和能被5整除，∴能被5整除，∴或或，∵要使m最大，∴c要最大，∴，∴，∴此時滿足題意的m的最大值為，∵，∴當時，滿足題意的m的最大值一定要大于當時滿足題意的m的最大值，∴m的最大值為．故答案為：；．3．請通過計算說明：當為任意正整數時，能被24整除．【答案】見解析【分析】此題考查了因式分解的應用，原式利用平方差公式分解得到結果，即可做出判斷．熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．【詳解】證明：原式，則當為任意正整數時，能被24整除．類型三、規律問題1．已知，則按此規律推算的結果一定能（

）A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除【答案】D【分析】本題考查了因式分解，根據平方差公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：，故選：D．2．觀察下列方程①；②；③；④；它們的根有一定的規律，都是兩個連續的自然數，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”．請寫出第個方程是．【答案】【分析】將方程變形觀察規律即可求解．【詳解】解：①，即；②，即；③，即；④，即；…則第個方程是，即：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了新定義，正確得出規律是解題關鍵．3．觀察下列等式：①，②，③，④，…(1)請按以上規律寫出第⑥個等式：________：(2)猜想并寫出第n個等式：________；并證明猜想的正確性．【答案】(1)(2)，見解析【分析】本題考查對規律型問題的理解和有理數的運算能力，找到規律是解題關鍵．（1）根據分母不變，分子是兩個數的平方差可得答案；（2）根據發現的規律寫出第個等式并計算可進行驗證．【詳解】（1）解：第⑥個式子為：；故答案為：；（2）解：猜想第個等式為：，證明：左邊右邊，故答案為：．類型四、十字相乘法1．若把多項式分解因式后含有因式，則的值為（

）A．6 B． C． D．8【答案】D【分析】本題考查了因式分解的意義，熟練掌握十字相乘的方法分解因式是解本題的關鍵．直接利用十字相乘解題即可．【詳解】解：∵把多項式分解因式后含有因式，∴，∴，故選：D．2．因式分解：．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解，靈活運用十字相乘法進行因式分解成為解題的關鍵．直接運用十字相乘法進行因式分解即可解答．【詳解】解：．故答案為：．3．睿睿自學人教版八年級上冊數學教材第121頁的“閱讀與思考”內容介紹，在因式分解中有一類形如二次三項式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：將二次三項式因式分解，這個式子的二次項系數是1，常數項，一次項系數，則，如圖所示，仿照上述解決下列問題：

(1)因式分解：；睿睿做了如下分析：一次項為：，則常數項為：；則________；________；∴（____）（____）(2)因式分解：；【答案】(1)2，4，2，4(2)【分析】本題主要考查了因式分解的應用，靈活運用十字相乘法進行因式分解成為解題的關鍵．（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解分解可得．【詳解】（1）解：一次項為：，則常數項為，則；；所以．故答案為：2，4，2，4．（2）解：一次項為：，則常數項為，則．1．下列因式分解正確的是（

）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】本題考查了因式分解的判定，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解題的關鍵．運用提公因式法，公式法分解因式進行判定即可求解．【詳解】解：A、，原選項不符合題意；B、，原選項不符合題意；C、，正確，符合題意；D、，不是因式分解，不符合題意；故選：C．2．若，，則M，N的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了整式加減的應用、因式分解的應用，利用作差法比較大小是解題的關鍵．先計算，再利用完全平方公式變形即可得出結論．【詳解】解：由題意得，，．故選：B．3．如果，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解，代數