高二希望杯試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)3.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)項和\(S_n=100\)，則\(n=（）\)A.9B.10C.11D.124.橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦距是（）A.\(2\sqrt{7}\)B.\(\sqrt{7}\)C.\(2\sqrt{25}\)D.\(\sqrt{25}\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)6.函數\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(x=-1\)B.\(x=1\)C.\(x=0\)D.\(x=2\)7.若直線\(ax+2y+1=0\)與直線\(x+y-2=0\)互相垂直，則\(a\)的值為（）A.-2B.-\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.28.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是（）A.2B.4C.6D.89.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.-1B.1C.3D.-310.已知命題\(p\)：\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1\geq0\)，則命題\(p\)的否定是（）A.\(\existsx\inR\)，\(x^2+2x+1\lt0\)B.\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1\lt0\)C.\(\existsx\inR\)，\(x^2+2x+1\leq0\)D.\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1\leq0\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\log_2|x|\)D.\(y=e^x\)2.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的有（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(ac^2\gtbc^2\)（\(c\neq0\)）3.關于直線\(l\)：\(y=kx+b\)，下列說法正確的有（）A.當\(k\gt0\)時，直線\(l\)單調遞增B.直線\(l\)與\(y\)軸的交點坐標為\((0,b)\)C.若直線\(l\)過點\((x_0,y_0)\)，則\(y_0=kx_0+b\)D.直線\(l\)的斜率\(k\)的取值范圍是\(R\)4.下列說法正確的是（）A.等比數列的公比\(q\neq0\)B.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，則\(b^2=ac\)C.若數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=qa_n\)（\(q\)為常數），則\(\{a_n\}\)是等比數列D.等比數列\(\{a_n\}\)中，若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)5.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同的平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同的直線，下列說法正確的有（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)C.若\(m\perp\alpha\)，\(m\paralleln\)，則\(n\perp\alpha\)D.若\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，\(m\subset\alpha\)，\(m\perpl\)，則\(m\perp\beta\)6.已知函數\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，下列說法正確的有（）A.當\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)時，\(f(x)\)是偶函數B.\(f(x)\)的最小正周期是\(\pi\)C.當\(\varphi=0\)時，\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調遞增D.\(f(x)\)的值域是\([-1,1]\)7.已知圓\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，則下列說法正確的有（）A.圓心\(C\)的坐標為\((1,2)\)B.圓\(C\)的半徑\(r=2\)C.點\((3,2)\)在圓\(C\)上D.直線\(x=3\)與圓\(C\)相切8.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為\(\triangleABC\)內角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊，下列說法正確的有（）A.若\(A\gtB\)，則\(a\gtb\)B.若\(a^2+b^2\gtc^2\)，則\(\triangleABC\)是銳角三角形C.若\(a=2\)，\(b=3\)，\(\sinA=\frac{1}{3}\)，則\(\sinB=\frac{1}{2}\)D.若\(a\sinA=b\sinB\)，則\(\triangleABC\)是等腰三角形9.已知函數\(f(x)\)的導函數為\(f^\prime(x)\)，下列說法正確的有（）A.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞增B.若\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞減，則\(f^\prime(x)\leq0\)在區間\((a,b)\)上恒成立C.\(f(x)\)的極值點處\(f^\prime(x)=0\)D.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)不一定是\(f(x)\)的極值點10.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}\)，則下列說法正確的有（）A.目標函數\(z=3x-y\)的最大值為\(4\)B.目標函數\(z=3x-y\)的最小值為\(-2\)C.目標函數\(z=x+2y\)的最大值為\(6\)D.目標函數\(z=x+2y\)的最小值為\(4\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數\(y=\sinx\)的圖象關于原點對稱。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.若向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec{b}\)。（）6.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是\((1,0)\)。（）7.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數列，則\(2b=a+c\)。（）8.函數\(f(x)=x^3\)在\(R\)上是增函數。（）9.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)。（）10.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是\(\frac{1}{4}\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)在區間\([0,3]\)上的最值。答案：\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，對稱軸\(x=1\)。當\(x=1\)時，\(y_{min}=2\)；當\(x=3\)時，\(y_{max}=6\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(\{a_n\}\)的通項公式。答案：設公差為\(d\)，\(d=\frac{a_5-a_3}{2}=2\)，\(a_1=a_3-2d=1\)，通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線斜率\(k=2\)，由點斜式得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{3}{5}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在等比數列中，當公比\(q\)滿足什么條件時，數列是遞增數列？答案：當首項\(a_1\gt0\)，\(q\gt1\)或首項\(a_1\lt0\)，\(0\ltq\lt1\)時，等比數列是遞增數列。因為\(a_{n+1}-a_n=a_1q^{n-1}(q-1)\)，根據\(a_1\)與\(q\)取值判斷其正負。2.探討直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數法，聯立直線與圓方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.說說如何利用導數求函數的單調區間。答案：先求函數定義域，再對函數求導。令導數大于\(0\)，解不等式得函數的單調遞增區間；令導數小于\(0\)，解不等式得函數的單調遞減區間。注意區間要在定義域內。4.討論在\(\triangleABC\)中，\(\sinA\gt\sinB\)與\(A\gtB\)之間的關系。答案：在\(\triangleABC\)中，\(\sinA\gt\sinB\)等價于\(A\gtB\)。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)得\