高等代數考試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設A是n階方陣，若|A|=0，則（）A.A可逆B.A滿秩C.A的秩小于nD.A的行向量組線性無關答案：C2.向量組α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)，α4=(1,1,1)的極大線性無關組所含向量個數為（）A.1B.2C.3D.4答案：C3.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩陣為A，則A的主對角線元素之和為（）A.6B.5C.4D.3答案：A4.在數域P上，n元齊次線性方程組Ax=0的基礎解系所含向量個數為（）A.n-r(A)B.r(A)C.nD.n+r(A)答案：A5.設A,B是n階方陣，且AB=BA，則下列結論正確的是（）A.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2B.(AB)^k=A^kB^kC.A與B有相同的特征值D.A與B相似答案：A6.設λ是矩陣A的特征值，則矩陣A^2的特征值為（）A.λB.λ^2C.2λD.1/λ答案：B7.設V是數域P上的n維線性空間，α1,α2,…,αn是V的一組基，β∈V，若β在這組基下的坐標為(x1,x2,…,xn)，則（）A.β=x1α1+x2α2+…+xnαnB.β=(x1,x2,…,xn)C.x1α1+x2α2+…+xnαn=0D.以上都不對答案：A8.設A是3階方陣，|A|=-1，則|-2A|等于（）A.8B.-8C.2D.-2答案：A9.若線性變換σ在基α1,α2下的矩陣為A=(12;34)，則σ(α1+α2)在基α1,α2下的坐標為（）A.(1,1)AB.A(1,1)^TC.(1,0)A+(0,1)AD.A(1,0)^T+A(0,1)^T答案：B10.設多項式f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的有理根為（）A.1B.-1C.2D.-2答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.設A,B是n階方陣，則下列等式正確的是（）A.|AB|=|A||B|B.(A+B)^T=A^T+B^TC.(AB)^T=B^TA^TD.如果A可逆，則(A^-1)^T=(A^T)^-1答案：ABCD2.以下關于向量組的說法正確的是（）A.向量組的極大線性無關組不唯一B.向量組的秩等于其極大線性無關組所含向量個數C.向量組α1,α2,…,αn線性相關當且僅當存在不全為零的數k1,k2,…,kn使得k1α1+k2α2+…+knαn=0D.若向量組α1,α2,…,αn可由向量組β1,β2,…,βm線性表示，則r(α1,α2,…,αn)≤r(β1,β2,…,βm)答案：ABCD3.設二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2ax1x2+2bx2x3+2cx1x3，要使其為正定二次型，則（）A.a^2<1B.b^2<1C.c^2<1D.1-a^2-b^2-c^2+2abc>0答案：ABCD4.設A是n階方陣，λ是A的特征值，則下列關于特征值的說法正確的是（）A.kλ是kA的特征值（k為常數）B.λ^m是A^m的特征值（m為正整數）C.1/λ是A^-1的特征值（當A可逆時）D.f(λ)是f(A)的特征值（f(x)是多項式）答案：ABCD5.設V是數域P上的線性空間，σ是V上的線性變換，則（）A.σ(0)=0B.σ(-α)=-σ(α)C.σ(kα+lβ)=kσ(α)+lσ(β)（k,l∈P）D.如果α1,α2,…,αn是V的一組基，那么σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)也是V的一組基答案：ABC6.設A,B是n階方陣，若A與B相似，則（）A.|A|=|B|B.秩(A)=秩(B)C.A與B有相同的特征值D.A與B有相同的特征向量答案：ABC7.設多項式f(x),g(x)∈P[x]，則（）A.如果g(x)整除f(x)，則g(x)是f(x)的一個因式B.若f(x)=g(x)q(x)+r(x)，其中q(x),r(x)∈P[x]且r(x)的次數小于g(x)的次數，則q(x)是f(x)除以g(x)的商式，r(x)是余式C.(f(x),g(x))=(g(x),f(x))D.如果(f(x),g(x))=1，則存在u(x),v(x)∈P[x]使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1答案：ABCD8.設α=(1,2,3)，β=(3,2,1)，則（）A.α+β=(4,4,4)B.α-β=(-2,0,2)C.3α=(3,6,9)D.2α-3β=(-7,-2,3)答案：ABCD9.設A是3階方陣，其特征值為1,2,3，則（）A.|A|=6B.A可逆C.A的特征多項式為(x-1)(x-2)(x-3)D.A相似于對角矩陣diag(1,2,3)答案：ABCD10.設線性方程組Ax=b，其中A是m×n矩陣，x是n維列向量，b是m維列向量，則（）A.當r(A)=r(A,b)時，方程組有解B.當r(A)<r(A,b)時，方程組無解C.當m=n且|A|≠0時，方程組有唯一解D.當r(A)=n時，方程組有唯一解（不論m與n的關系）答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.若n階方陣A的秩為n-1，則A的伴隨矩陣A的秩為1。（）答案：正確2.向量組α1=(1,0),α2=(0,1),α3=(1,1)線性相關。（）答案：錯誤3.二次型f(x1,x2)=x1^2-x2^2是正定二次型。（）答案：錯誤4.設A是n階方陣，若A有n個不同的特征值，則A可相似對角化。（）答案：正確5.設V是數域P上的線性空間，α,β∈V，若kα=kβ且k≠0，則α=β。（）答案：正確6.設A,B是n階方陣，若AB=E，則BA=E。（）答案：正確7.多項式f(x)=x^3+1在有理數域上可約。（）答案：錯誤8.設A是3階方陣，其特征值為λ1=1,λ2=2,λ3=3，則A的跡為6。（）答案：正確9.設α1,α2,…,αn是n維向量組，若α1=0，則α1,α2,…,αn線性相關。（）答案：正確10.設A是n階方陣，若A^2=A，則A的特征值只能是0或1。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：矩陣A可逆的充要條件有：（1）|A|≠0；（2）A的秩等于其階數；（3）A可表示為有限個初等矩陣的乘積；（4）A的行（列）向量組線性無關；（5）Ax=0只有零解；（6）對于任意n維列向量b，Ax=b有唯一解等。2.求向量組α1=(1,2,3),α2=(2,-1,4),α3=(3,1,2)的秩。答案：將向量組構成矩陣A=(123;2-14;312)，對A進行初等行變換化為行階梯形矩陣，可得A的秩為3。3.什么是正定二次型？答案：設f(x1,x2,…,xn)是實二次型，如果對于任意一組不全為零的實數c1,c2,…,cn，都有f(c1,c2,…,cn)>0，則稱f(x1,x2,…,xn)是正定二次型。4.設A是n階方陣，λ是A的特征值，求A^3-2A+E的特征值。答案：若λ是A的特征值，則A^3-2A+E的特征值為λ^3-2λ+1。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組Ax=b的解的情況與系數矩陣A的秩和增廣矩陣(A,b)的秩的關系。答案：當r(A)=r(A,b)時，方程組Ax=b有解，若r(A)=r(A,b)=n（n為未知數個數），則有唯一解；若r(A)=r(A,b)<n，則有無窮多解。當r(A)<r(A,b)時，方程組無解。2.討論如何判斷一個n階方陣是否可相似對角化。答案：（1）如果n階方陣A有n個不同的特征值，則A可相似對角化；（2）若A的每個特征值的代數重數等于其幾何重數，則A可相似對角化。3.討論向量組線性相關與線性無關的判定方法。答案：（1）定義法：若存在不全為零的數k1,k2,…,kn使得k1α1+