概率論考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(X=μ)=（）A.1B.0.5C.0D.0.8答案：C2.若A、B為兩個(gè)互斥事件，則P(A∪B)=（）A.P(A)+P(B)B.P(A)P(B)C.P(A)-P(B)D.P(A)/P(B)答案：A3.對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，其分布律為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則∑pk（）A.小于1B.等于1C.大于1D.不確定答案：B4.設(shè)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，E(X2)=（）A.λB.λ2C.λ+λ2D.λ2-λ答案：C5.隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且D(X)=4，D(Y)=2，則D(X-Y)=（）A.2B.4C.6D.8答案：C6.設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則F(+∞)=（）A.0B.0.5C.1D.2答案：C7.若X～B(n,p)，則E(X)=（）A.npB.n(1-p)C.pD.1-p答案：A8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則P(X=a)=（）A.f(a)B.0C.1D.不確定答案：B9.已知事件A、B滿足P(A|B)=P(A)，則（）A.A、B互斥B.A、B對(duì)立C.A、B相互獨(dú)立D.以上都不對(duì)答案：C10.設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，Cov(X,Y)=0，則（）A.X與Y相互獨(dú)立B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.P(X=Y)=1D.E(XY)=E(X)E(Y)答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于概率的性質(zhì)，正確的有（）A.0≤P(A)≤1B.P(Ω)=1，Ω為樣本空間C.P(?)=0D.若A?B，則P(A)≤P(B)答案：ABCD2.設(shè)X是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)F(x)具有下列性質(zhì)（）A.0≤F(x)≤1B.F(x)是單調(diào)不減函數(shù)C.F(-∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1D.F(x)是右連續(xù)函數(shù)答案：ABCD3.對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)，以下說法正確的是（）A.聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)B.如果X與Y相互獨(dú)立，則f(x,y)=fX(x)fY(y)（f為概率密度函數(shù)）C.Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]D.ρXY=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))答案：ABCD4.設(shè)X～N(0,1)，Y=2X+1，則（）A.E(Y)=1B.D(Y)=4C.Y～N(1,4)D.P(Y>1)=0.5答案：ABCD5.下列分布中屬于離散型分布的有（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.均勻分布答案：AB6.若A、B為兩個(gè)事件，則P(A-B)=（）A.P(A)-P(AB)B.P(A)P(B?|A)C.P(A∪B)-P(B)D.P(A)-P(B)答案：AB7.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，則（）A.D(X)=E(X2)-[E(X)]2B.對(duì)任意常數(shù)a，D(X)=D(X+a)C.對(duì)任意常數(shù)a，E(aX)=aE(X)D.對(duì)任意常數(shù)a，D(aX)=a2D(X)答案：ABCD8.以下關(guān)于隨機(jī)變量獨(dú)立性的說法正確的是（）A.若X與Y獨(dú)立，則X2與Y2也獨(dú)立B.若X與Y獨(dú)立，g(X)與h(Y)也獨(dú)立（g、h為函數(shù)）C.若X與Y獨(dú)立，且X與Z獨(dú)立，則X與Y+Z獨(dú)立D.若X與Y獨(dú)立，且X與Z獨(dú)立，則X與YZ獨(dú)立答案：AB9.設(shè)X、Y是兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…，則（）A.∑∑pij=1B.P(X=xi)=∑pij（對(duì)j求和）C.P(Y=yj)=∑pij（對(duì)i求和）D.若X與Y獨(dú)立，則pij=P(X=xi)P(Y=yj)答案：ABCD10.設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(x)，則（）A.f(x)≥0B.∫-∞+∞f(x)dx=1C.P(a<X<b)=∫abf(x)dxD.F(x)=∫-∞xf(t)dt（F為分布函數(shù)）答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.對(duì)于任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）答案：錯(cuò)誤2.若隨機(jī)變量X的期望E(X)存在，則E(X)是一個(gè)常數(shù)。（）答案：正確3.設(shè)X～N(μ,σ2)，則當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，X的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（）答案：正確4.若事件A、B相互獨(dú)立，則A、B一定互斥。（）答案：錯(cuò)誤5.對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤6.設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若Cov(X,Y)=0，則X與Y一定相互獨(dú)立。（）答案：錯(cuò)誤7.若X～B(n,p)，則當(dāng)n很大，p很小，且np=λ時(shí)，X近似服從泊松分布。（）答案：正確8.對(duì)于任意隨機(jī)變量X，D(X)=E(X-E(X))。（）答案：錯(cuò)誤9.設(shè)X是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)F(x)，則P(X>x)=1-F(x)。（）答案：正確10.若X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E(XY)=E(X)E(Y)。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述隨機(jī)變量的定義。答案：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是它的樣本空間，如果對(duì)于每一個(gè)ω∈Ω，有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在Ω上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(ω)，稱X為隨機(jī)變量。2.什么是二項(xiàng)分布？答案：若隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,…,n，其中n是試驗(yàn)次數(shù)，p是每次試驗(yàn)成功的概率，則稱X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n,p)。3.寫出正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。答案：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其概率密度函數(shù)為f(x)=(1/√(2πσ2))e^[-(x-μ)2/(2σ2)]，-∞<x<+∞。4.如何判斷兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立？答案：對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，若P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)對(duì)所有的i,j成立，則X與Y相互獨(dú)立；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，若f(x,y)=fX(x)fY(y)，則X與Y相互獨(dú)立（f為聯(lián)合概率密度函數(shù)，fX、fY分別為X、Y的邊緣概率密度函數(shù)）。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論概率為0的事件與不可能事件的關(guān)系。答案：概率為0的事件不一定是不可能事件。在連續(xù)型隨機(jī)變量的情況下，取到某個(gè)特定值的概率為0，但這個(gè)事件是有可能發(fā)生的；而不可能事件的概率一定為0。2.討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征（期望、方差等）的意義。答案：期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平；方差衡量隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的離散程度，方差越大，隨機(jī)變量的取值越分散，反之越集中。3.舉例說明互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別。答案：擲骰子，事件A為“擲出1點(diǎn)”，事件B為“擲出2點(diǎn)”，A、B互斥，P(A∪B)=P(A