概率論與數理統計考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2)，則P(X≤μ)=（）A.0.5B.0C.1D.無法確定答案：A2.若事件A與B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=（）A.0.7B.0.12C.0D.0.5答案：A3.設X是離散型隨機變量，其分布律為P(X=k)=1/5，k=1,2,3,4,5，則E(X)=（）A.3B.4C.5D.6答案：A4.設X～B(n,p)，已知E(X)=2.4，D(X)=1.44，則n,p的值分別為（）A.n=6,p=0.4B.n=8,p=0.3C.n=4,p=0.6D.n=3,p=0.8答案：A5.設隨機變量X的概率密度函數為f(x)，則f(x)一定滿足（）A.f(x)≥0且∫(-∞,+∞)f(x)dx=1B.f(x)>0且∫(-∞,+∞)f(x)dx=1C.f(x)≥0且∫(-∞,+∞)f(x)dx≤1D.f(x)>0且∫(-∞,+∞)f(x)dx≤1答案：A6.若隨機變量X與Y相互獨立，且D(X)=4，D(Y)=9，則D(X-Y)=（）A.13B.5C.-5D.25答案：B7.設總體X～N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，則樣本均值X?～（）A.N(μ,σ2)B.N(μ,σ2/n)C.N(0,1)D.N(nμ,nσ2)答案：B8.對于總體X的未知參數θ，θ?是θ的無偏估計量，則有（）A.E(θ?)=θB.D(θ?)=θC.E(θ?)>θD.E(θ?)<θ答案：A9.設X?,X?,X?是來自總體X的樣本，下面哪個統計量不是總體均值μ的無偏估計量（）A.(X?+X?+X?)/3B.X?C.0.2X?+0.3X?+0.5X?D.2X?-X?答案：D10.在假設檢驗中，原假設H?，備擇假設H?，犯第一類錯誤是指（）A.H?為真，接受H?B.H?為真，拒絕H?C.H?為真，接受H?D.H?為真，拒絕H?答案：B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關于概率的性質，正確的有（）A.0≤P(A)≤1B.P(Ω)=1，Ω為樣本空間C.P(?)=0D.若A?B，則P(A)≤P(B)答案：ABCD2.設X和Y是兩個隨機變量，若E(XY)=E(X)E(Y)，則（）A.X與Y不相關B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.Cov(X,Y)=0D.X與Y相互獨立答案：ABC3.對于正態分布N(μ,σ2)，以下說法正確的是（）A.概率密度函數關于x=μ對稱B.μ決定了分布的位置C.σ決定了分布的形狀D.當σ越大，曲線越“瘦高”答案：ABC4.設X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，總體均值為μ，總體方差為σ2，則（）A.E(X?)=μB.D(X?)=σ2/nC.∑(i=1ton)(X?-X?)2是σ2的無偏估計量D.(1/n)∑(i=1ton)(X?-μ)2是σ2的無偏估計量答案：ABD5.以下關于二項分布X～B(n,p)的說法正確的是（）A.當n=1時，二項分布就是兩點分布B.E(X)=npC.D(X)=np(1-p)D.其概率質量函數為P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)答案：ABCD6.設隨機變量X的分布函數為F(x)，則（）A.F(-∞)=0B.F(+∞)=1C.F(x)是單調不減函數D.F(x)是右連續的答案：ABCD7.若X與Y是隨機變量，且Y=aX+b（a≠0），則（）A.E(Y)=aE(X)+bB.D(Y)=a2D(X)C.Cov(X,Y)=aD(X)D.ρ(X,Y)=±1答案：ABCD8.在假設檢驗中，影響β錯誤（第二類錯誤）概率大小的因素有（）A.樣本容量nB.原假設H?與備擇假設H?的差異C.顯著性水平αD.總體分布答案：AB9.設總體X的分布中含有未知參數θ，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，以下關于極大似然估計的說法正確的是（）A.是使似然函數取最大值的參數值B.不一定唯一C.是無偏估計量D.當樣本容量n足夠大時，具有很好的性質答案：ABD10.設隨機變量X服從指數分布，其概率密度函數為f(x)=λe^(-λx)(x≥0)，則（）A.E(X)=1/λB.D(X)=1/λ2C.無記憶性D.是連續型隨機變量答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若事件A與B相互獨立，則A與B一定互斥。（×）2.隨機變量的分布函數一定是連續函數。（×）3.若X～N(0,1)，Y=3X+2，則Y～N(2,9)。（√）4.樣本方差S2=(1/(n-1))∑(i=1ton)(X?-X?)2是總體方差σ2的無偏估計量。（√）5.對于任意兩個隨機變量X和Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)。（×）6.在假設檢驗中，若原假設H?被拒絕，則備擇假設H?一定被接受。（×）7.若隨機變量X服從均勻分布U(a,b)，則E(X)=(a+b)/2。（√）8.設X?,X?是來自總體X的樣本，則(X?+X?)/2是總體均值μ的無偏估計量。（√）9.若X與Y的相關系數ρ(X,Y)=0，則X與Y相互獨立。（×）10.對于離散型隨機變量，其概率質量函數的值一定小于1。（√）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述隨機變量的分類及特點。答案：隨機變量分為離散型和連續型。離散型隨機變量的取值是可列個孤立的值，其概率分布用分布律P(X=x?)=p?表示；連續型隨機變量的取值是某個區間或整個實數軸上的數值，其概率分布用概率密度函數f(x)表示，且滿足f(x)≥0，∫(-∞,+∞)f(x)dx=1。2.什么是無偏估計量？舉例說明。答案：設θ是總體的未知參數，θ?是θ的估計量，如果E(θ?)=θ，則稱θ?是θ的無偏估計量。例如，設X?,X?,…,X?是來自總體X(均值為μ)的樣本，則樣本均值X?=(1/n)∑(i=1ton)X?是μ的無偏估計量，因為E(X?)=μ。3.簡述正態分布的性質。答案：正態分布N(μ,σ2)的概率密度函數關于x=μ對稱；μ決定了分布的位置，σ決定了分布的形狀；當σ越小，曲線越“瘦高”，當σ越大，曲線越“矮胖”；其線性變換Y=aX+b（a≠0）仍服從正態分布N(aμ+b,a2σ2)。4.解釋假設檢驗中的第一類錯誤和第二類錯誤。答案：第一類錯誤是原假設H?為真時，卻拒絕了H?；第二類錯誤是原假設H?為假時，卻接受了H?。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論樣本容量n對估計量精度的影響。答案：樣本容量n越大，估計量的精度越高。因為對于很多估計量，其方差與1/n有關，如樣本均值的方差D(X?)=σ2/n，n增大時，方差減小，估計量更接近真實值，精度提高。2.如何判斷兩個隨機變量是否相互獨立？答案：可以從定義判斷，如果P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)對任意x,y成立，則X與Y相互獨立；也可從期望判斷，如果E(XY)=E(X)E(Y)，則X與Y不相關，但不相關不一定相互獨立，對于正態分布，不相關等價于相互獨立。3.討論大數定律在實際中的應用。答案：大數定律表明當樣本容量n足夠大