進才中學2024-2025學年第二學期高三年級數學最后一考2025.5一、填空題（本大題共有12題，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1.函數的定義域為.【答案】2．已知扇形的弧長為，面積為，則扇形所在圓的半徑為．【答案】33．若復數滿足（是虛數單位），則的虛部是.【答案】24．樣本數據24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位數為.【答案】5．向量滿足，且與夾角的余弦值為，則．【答案】6．有3名男生與2名女生排成一隊照相，2名女生互不相鄰的概率為__________.【答案】7．數列的通項公式是，的前項和為，則取得最小值時.【答案】8．如圖所示為函數的圖象，則不等式的解集為．【答案】9.隨機變量，，若，則實數的值為__________.【答案】95.510．已知是橢圓的左焦點，過點的直線與圓交于，兩點，與在軸右側交于點，且，則的離心率為．【答案】11.（教材）如圖，要在和兩地之間修一條筆直的隧道，現從地和地測量得到：，，，，為確定隧道的方向，可求得（精確到）【答案】52.5°【解析】設，由題意，在△ADC中，；在△BDC中，；在△BDA中，；將上述三式相乘，得，從而有，得，所以12.已知向量與單位向量所成的角為60°，且滿足對任意的，恒有，則（）的最小值為.【答案】二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14每題4分，15～16每題5分）13.下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D14．下列各組向量中，能作為基底的是（）A．， B．C． D．【答案】C15.已知函數在區間[a,b]上的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.在a到b之間的平均變化率大于在a到b之間的平均變化率B.在a到b之間的平均變化率小于在a到b之間的平均變化率C.對于任意x0∈(a,b)，在x=x0處的瞬時變化率總大于在x=D.存在x0∈(a,b)，使得在x=x0處的瞬時變化率小于在【答案】D16.已知曲線，為曲線上任一點，命題P:曲線與直線恰有四個公共點；命題Q:曲線與直線相切；下列說法正確的是（

）.A.命題P和命題Q都為真 B.命題P為真，命題Q為假 C.命題P為假，命題Q為真 D.命題P和命題Q都為真【答案】C三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中點，Q是BD中點，E是DD1中點．（1）求證：PQ∥平面D1DCC1；（2）求異面直線CE和DP所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：連接.∵底面正方形，是中點，∴是中點，又是中點，平面平面平面取中點，連接，設正方體棱長為.∴又是中點，故四邊形是平行四邊形，∴∴或其補角中的銳角或直角為異面直線和所成角.在∴異面直線和所成角的余弦值為．18．（本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）已知，.（1）求函數在區間上的最大值和最小值；（2）設的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若，，，求.【答案】（1）最小值為；最大值為.（2）【解析】（1）由題.，當，即時，函數取最小值為；當，即時，函數取最大值為.（2）由題，即.，.由正弦定理，，由余弦定理，.，.19.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）某市環保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡調查問卷，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分（滿分為100分），統計結果如下：組別頻數2515020025022510050（1）已知此次問卷調查的得分，的近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），求.參考數據：若，則，，（2）在（1）的條件下，環保部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：=1\*GB3①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；=2\*GB3②每次贈送的機制為“贈送20元話費的概率為，贈送40元話費的概率為”.現市民甲要參加此次問卷調查，記該市民參加問卷調查獲贈的話費為元，求的分布與期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】（1）易知，所以（2）由題，且，.所以.所以數學期望.20．（本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，點，過的直線交于，兩點，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標分別為，，當時，求直線的斜率；(3)設為軸上一點，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點的坐標.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）由題意可設直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯立消去，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設，因為.因為，.所以，當時，為定值.所以.21.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求的值；(3)當時，證明：有2個零點．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】（1）當時，，則，所以，，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）函數的定義域為，且，①當時，易得，在上單調遞減，又，所以當時，，不符合題意；②當時，由，得時，即在上單調遞增；由，得時，即在上單調遞減，所以，因為，則其等價于，即．令，則，所以當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，因恒成立，故．（3）．令，得，令，則與有相同的零點，且．令，則，因為