《雙曲線的幾何性質》教學教案1_第1頁
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文檔簡介

4/4雙曲線的幾何性質學習目標：1．能用對比的方法分析雙曲線的范圍、對稱性、頂點等幾何性質2．掌握雙曲線的漸近線的概念和證明；3．明確雙曲線方程中的幾何意義；重、難點：雙曲線的范圍、對稱性、頂點和漸近線。（一）復習：1．雙曲線的定義和標準方程；2．橢圓的性質；（二）新課講解：以雙曲線標準方程為例進行說明。1．范圍：觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。注意：從雙曲線的方程如何驗證？從標準方程可知，由此雙曲線上點的坐標都適合不等式，即，即雙曲線在兩條直線的外側。2．對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。3．頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。在作圖時，我們常常把虛軸的兩個端點畫上（為要確定漸進線），但要注意他們并非是雙曲線的頂點。4．漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。5．等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為：，當時交點在軸，當時焦點在軸上。（三）．例題分析：例1．求雙曲線的實半軸和虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程。解：把方程化標準方程：，由此可知，實半軸長，虛半軸長；，焦點的坐標是漸近線方程為，即。例2．雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面（如下左圖），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高，選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到）。解：如圖（上右圖），建立坐標系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合；這時，上、下口的直徑平行于軸，且，；設曲線的方程為：令點的坐標為，則點的坐標為，因為點在雙曲線上，所以化簡，得解得∴所求雙曲線的方程為：。例3．求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程。解：∵與雙曲線有共同漸近線故設所求雙曲線的方程為又∵過點∴∴所求雙曲線的方程為即。補充：求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程。（四）．課堂小結：方程（）（）圖象關系范

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