§3全稱量詞與存在量詞

3.1全稱量詞與全稱命題3.2存在量詞與特稱命題3.3全稱命題與特稱命題的否認1.理解全稱命題和特稱命題．2.能鑒定全稱命題和特稱命題的真假．3.理解全稱命題、特稱命題的否認之間的關系．4.能對的地對含有一種量詞的命題進行否認.1.對全稱命題和特稱命題的理解．(重點)2.對不含量詞的全稱命題和特稱命題真假的判斷．(易混點)3.對全稱命題和特稱命題的否認的理解．(重點)4.寫出全稱命題和特稱命題的否認．(易混點)[提示]充足2．命題有四種形式，否命題相對于原命題來說否認的什么？[提示]既否認條件又否認結論．全稱命題與特稱命題全稱命題特稱命題量詞在一些命題的條件中，“所有”“每一個”“任何一個”“任意一個”“一切”等都是在指定范圍內，表示

的含義，這樣的詞叫作全稱量詞在一些命題中，“有些”“至少有一個”“有一個”“存在”等都有表示

的含義，這樣的詞叫作存在量詞命題含有全稱量詞的命題含有存在量詞的命題形式對M中任意一個x，有p(x)成立，可簡記為任意的x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)，即在M中存在一個元素x0，使p(x0)成立．否定存在x0∈M，p(x0)不成立．

的否定是

.任意的x∈M，非p(x)．

的否定是

.整體或全部個別或一部分全稱命題特稱命題特稱命題全稱命題1．下列命題中是全稱命題并且是真命題的是()A．每個二次函數的圖象都開口向上B．對任意非正數c，若a≤b＋c，則a≤bC．存在一條直線與兩個相交平面都垂直D．存在一種實數x0使不等式x02－3x0＋6<0成立答案：B2．命題“有的函數沒有解析式”的否認是()A．有的函數有解析式B．任何函數都沒有解析式C．任何函數都有解析式D．多數函數有解析式解析：原命題是特稱命題，它的否認應是全稱命題．答案：C3．下列語句：①有一種實數a不能取對數；②全部不等式的解集A，都有A?R；③有的向量方向不定；④自然數的平方是正數．其中全稱命題有________(填序號)，特稱命題有__________(填序號)．解析：由于①③含有存在量詞，因此①③為特稱命題；由于“自然數的平方是正數”的實質是“任意一種自然數的平方都是正數”．②含有全稱量詞，故②④均為全稱命題．答案：②④①③4．指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假：(1)當a＞1時，則對任意x，曲線y＝ax與曲線y＝logax有交點．(2)被5整除的整數的末位數字都是0.(3)有的四邊形沒有外接圓．解析：(1)、(2)是全稱命題，(3)是特稱命題，對(1)當a＞1時，y＝ax與y＝logax都是增函數且兩函數是互為反函數；圖象有關直線y＝x對稱故沒有交點．因此(1)是假命題．對于(2)∵末位數字是5的整數也能被5整除．∴(2)是假命題．對于(3)∵只有對角互補的四邊形才有外接圓，∴(3)是真命題.判斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的對角線不相等；(5)若一種四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直．首先擬定命題中含有的量詞，再判斷命題的形式．[解題過程]

序號結論理由(1)全稱命題可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°(2)特稱命題含有存在量詞“有的”(3)全稱命題含有全稱量詞“任意”(4)全稱命題可以改為所有矩形的對角線不相等(5)全稱命題若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形1.判斷下列語句與否是全稱命題或存在性命題：①有一種實數a，a不能取對數；②全部不等式的解集A，都有A?R；③三角函數都是周期函數嗎？④有的向量方向不擬定；⑤自然數的平方是正數．解析：∵①④含有存在量詞，∴命題①④為存在性命題；又∵“自然數的平方是正數”的實質是“任意一種自然數的平方都是正數”，∴②⑤均含有全稱量詞，故為全稱命題．③不是命題．總而言之：①④為存在性命題，②⑤為全稱命題，③不是命題．判斷下列命題的真假：(1)p：全部的單位向量都相等；(2)p：任一等比數列{an}的公比q≠0；(3)p：存在x0∈R，x02＋2x0＋3≤0；(4)p：存在等差數列{an}，其前n項和Sn＝n2＋2n－1.2.判斷下列命題的真假．(1)全部的素數都是奇數；(2)有一種實數，使x2＋2x＋3＝0；(3)有些整數只有兩個正因數；(4)全部奇數都能被3整除．解析：(1)2是素數，但不是奇數，因此，全稱命題“全部素數都是奇數”是假命題．(2)對于任意x，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的實數x不存在，因此特稱命題“有一種實數，使x2＋2x＋3＝0”是假命題．(3)由于存在整數3只有兩個正因數1和3，因此特稱命題“有些整數只有兩個正因數”是真命題．(4)由于存在奇數1不能被3整數，因此全稱命題“全部奇數都能被3整除”是假命題．(2011·遼寧卷)已知命題p：?n∈N,2n＞1000，則?p為()A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000解析：由于特稱命題的否認是全稱命題，因而?p為?n∈N,2n≤1000.答案：A寫出下列命題的否認，并判斷其真假．(1)p：任意的x∈R，都有|x|＝x；(2)p：任意的x∈R，x3>x2；(3)p：最少有一種二次函數沒有零點；(4)p：存在一種角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1.[解題過程](1)p是全稱命題．p的否認是：存在x0∈R，有|x0|≠x0，如x0＝－1，|－1|＝1≠－1.因此p的否認是真命題．(2)p是全稱命題．p的否認是：存在x0∈R，x03≤x02，如x0＝－1時，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，因此p的否認是真命題．(3)p是特稱命題．p的否認是：全部二次函數都有零點，如二次函數y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0.任意的x0∈R，y＝x02＋2x0＋3≠0.因此p是真命題，因此p的否認是假命題．(4)p是特稱命題．p的否認是：任意的α∈R，sin2α＋cos2α＝1，設任意角α終邊與單位圓的交點為P(x，y)．則sinα＝y，cosα＝x，顯然有sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1，因此p的否認是真命題．3.判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否認．(1)三角形的內角和為180°；(2)每個二次函數的圖象都開口向下；(3)存在一種四邊形不是平行四邊形；(4)存在一種實數x0，使得3x0<0.解析：(1)全稱命題，且為真命題．否認：三角形的內角和不全為180°，即存在一種三角形，且它的內角和不等于180°.(2)全稱命題，且為假命題．否認：存在一種二次函數的圖象開口不向下．(3)特稱命題，且為真命題．否認：全部四邊形都是平行四邊形．(4)特稱命題，且為假命題．否認：對于全部實數x，都滿足3x≥0.1．全稱量詞概念：短語“對全部的”“任意一種”在邏輯中普通叫做全稱量詞，用符號“?”表達，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．注意下列幾點：(1)將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)…表達，變量x的取值范疇用M表達，那么，全稱命題“對M中任意一種x，有p(x)成立”，可簡記為?x∈M，p(x)；(2)全稱命題就是陳說某集合全部元素都含有某種性質的命題．例如p：對全部整數x，x2－1＝0，q：對全部整數x,5x－1是整數，其中命題p、q都是全稱命題．2．存在量詞概念：短語“存在一種”“最少有一種”在邏輯中普通叫做存在量詞，用符號“?”表達，含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．注意下列幾點：(1)特稱命題“存在M中的一種x，使p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．(2)存在命題就是陳說在某集合中有(存在)某些元素含有某種性質的命題．同一種全稱命題、存在命題，由于自然語言的不同，能夠有不同的表述辦法．現列表總結于下，在實際應用中能夠靈活地選擇：命題全稱命題“?x∈A，p(x)”存在命題“?x∈A，p(x)”表述方法所有的x∈A，p(x)成立存在x∈A，使p(x)成立對一切x∈A，p(x)成立至少有一個x∈A，使p(x)成立對每一個x∈A，p(x)成立對有些x∈A，使p(x)成立任選一個x∈A，使p(x)成立對某個x∈A，使p(x)成立凡x∈A，都有p(x)成立有一個x∈A，使p(x)成立1．含有一種量詞的命題的否認．含有一種量詞的全稱命題的否認，有下面的結論：全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否認綈p：?x0∈M，綈p(x0)．全稱命題的否認是特稱命題．含有一種量詞的特稱命題的否認，有下面的結論：特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否認綈p：?x∈M，綈p(x)．特稱命題的否認是全稱命題．全稱命題的否認是存在命題，存在命題的否認是全稱命題，即它們互為否認形式．在寫兩種命題的否認時，要牢牢掌握形式上的兩個變化，全稱量詞與特稱量詞的變化，條件p(x)和綈p(x)的變化．2．常見量詞及其否認形式常見量詞及其否認形式以下表.量詞否定詞量詞否定詞等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一個一個都沒有至多有一個至少有兩個都是不都是是不是沒有至少有一個屬于不屬于◎寫出下列命題的否認形式的命題．(1)矩形的四個角都是直角；(2)全部的方程都有實數解；(3)4＜3.【錯解】(1)矩形的四