第3講概率及隨機變量的分布列目錄第一部分：知識強化第二部分：重難點題型突破突破一：古典概型突破二：互斥（對立）事件，事件相互獨立突破三：條件概率突破四：離散型隨機變量的數學期望和方差突破五：超幾何分布突破六：二項分布突破七：正態分布第三部分：沖刺重難點特訓第一部分：知識強化1、古典概型的概率計算公式2、概率的基本性質（性質1、性質2、性質5）注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質3，否則不能使用該加法公式.3、相互獨立事件的概念性質1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨立性質2：如果事件與相互獨立，則與，與，與也相互獨立4、條件概率①一般地，每個隨機試驗都是在一定條件下進行的，這里所說的條件概率是指隨機試驗結果的部分信息已知（即在原試驗條件下，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發生的概率.②事件在“事件已發生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件下的概率在很多情況下是不同的.③當題目涉及“在…前提下”等字眼時，一般為條件概率.若題目沒有出現上述字眼，但已知事件的發生影響了所求事件的概率，也是條件概率.（2）條件概率的性質5、事件的相互獨立性（3）易混淆“相互獨立”和“事件互斥”兩事件互斥是指兩事件不可能同時發生，兩事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響，兩個事件相互獨立不一定互斥.6、離散型隨機變量的均值和方差一般地，若離散型隨機變量的概率分布為：…………7、重伯努利試驗的概率公式8、二項分布（2）二項分布的均值與方差9、超幾何分布如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布．10、正態分布（1）正態分布（2）標準正態分布（3）正態分布的原則：正態分布在三個特殊區間的概率值上述結果可用右圖表示.第二部分：重難點題型突破突破一：古典概型1．（2022·廣西·模擬預測（理））將3個1和4個0隨機排成一行，則3個1任意兩個1都不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川雅安·模擬預測（理））甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現有A，B，C三個小區可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區去服務．則甲不在A小區、乙不在B小區服務的概率為（

）A． B． C． D．3．（2022·河南安陽·模擬預測（文））為推動就業與培養有機聯動、人才供需有效對接，促進高校畢業生更加充分更高質量就業，教育部今年首次實施供需對接就業育人項目．現安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開展項目對接，若每所高校至少對接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·上海·華師大二附中模擬預測）5個同學報名參加志愿者活動，每人可從3項活動中任選一項參加.則其中恰有2項活動有同學報名的概率是__________.5．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（理））龍馬負圖如圖所示．數千年來被認為是中華文化的源頭，傳說伏羲通過龍馬身上的圖案（河圖）畫出“八卦”．其結構是一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八為友居左，四與九同道居右，五與十相守居中，其中白圈為陽數，墨點為陰數．若從陽數和陰數中分別隨機抽出1個，則被抽到的2個數的數字之和超過12的概率為______．6．（2022·河南新鄉·一模（文））某機構為調查我國公民對申辦奧運會的態度，隨機選了100位市民調查，結果統計如下．支持不支持合計年齡不大于50歲30年齡大于50歲1025合計100(1)根據已有數據，把表格填寫完整．(3)已知在被調查的年齡大于50歲的支持者中有6名男性，其中3名是醫生，現從這6名男性中隨機抽取3人，求至少有2名醫生的概率．0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6357．（2022·貴州·模擬預測（文））2022年“中國航天日”線上啟動儀式在4月24日上午舉行，為普及航天知識，某校開展了“航天知識競賽”活動，現從參加該競賽的學生中隨機抽取50名，統計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學生被評為“航天達人”，將數據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名同學的平均成績；突破二：互斥（對立）事件，事件相互獨立1．（2022·湖北·丹江口市第一中學模擬預測）一個口袋中有大小、形狀完全相同的4個紅球，3個藍球，3個白球，現從袋中隨機抽取3個球．事件甲：3個球的顏色互不相同；事件乙：恰有2個紅球；事件丙：至多有1個藍球；事件丁：3個球顏色均相同．則下列結論正確的是（

）A．事件甲與事件丁為對立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍C．事件丙和事件丁相互獨立 D．事件甲與事件丙相互獨立2．（2022·江蘇·二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數有了突飛猛進的提升.某校為提升學生的綜合素養、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立3．（2022·廣西·南寧三中二模（文））從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，現有如下說法：①至少有一個黑球與都是黑球是互斥事件；②至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件；③恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥事件；④至少有一個黑球與都是紅球是對立事件.在上述說法中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全國·模擬預測）分別擲兩枚質地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結果相同”記為事件，那么事件與，與間的關系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立突破三：條件概率A． B． C． D．2．（2022·福建·莆田華僑中學模擬預測）甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．A． B． C． D．6．（2022·湖南·長沙一中一模）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6．從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球的數字是1”，B表示事件“第二次取出的球的數字是2”．C表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，D表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則下列命題正確的序號有______．8．（2022·天津市新華中學模擬預測）某志愿者召開春季運動會，為了組建一支朝氣蓬勃?訓練有素的賽會志愿者隊伍，欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________；至少有一名是女志愿者的概率為__________．9．（2022·天津河北·一模）袋子中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為_______；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為_______.突破四：離散型隨機變量的數學期望和方差A． B．2 C． D．2．（2022·廣西桂林·模擬預測（文））設0＜a＜1．隨機變量X的分布列是X0a1P則當a在（0，1）內增大時，（

）A．E（X）不變 B．E（X）減小 C．V（X）先增大后減小 D．V（X）先減小后增大A．10 B．117 C．38 D．35012P012P7．（2022·云南·昆明一中模擬預測（理））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干個，每個生日蛋糕成本為60元，售價為100元．如果賣不完，剩下的蛋糕作垃圾處理，現收集并整理了該店100天生日蛋糕的日需求量（單位：個）如下表：需求量101112131415頻數8202427147將這100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發生的概率．(1)若蛋糕店某一天制作生日蛋糕13個，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列和數學期望；(2)若蛋糕店計劃一天制作13個或14個生日蛋糕，以每日銷售利潤的數學期望為決策依據，你認為應制作13個還是14個？請說明理由．8．（2022·北京十四中高三期中）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，現隨機抽取100個學生進行調查，獲得數據如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學生支持方案二的條件下，該學生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望；突破五：超幾何分布1．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）從一批含有13件正品，2件次品的產品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設抽取的次品數為ξ，則E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．42．（2022·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（理））在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（

）3．（2022·全國·高三專題練習）某地個貧困村中有個村是深度貧困，現從中任意選個村，下列事件中概率等于的是（

）A．至少有個深度貧困村 B．有個或個深度貧困村C．有個或個深度貧困村 D．恰有個深度貧困村4．（2022·全國·高三專題練習）已知件產品中有件次品，從中任取件，則任意取出的件產品中次品數的數學期望為________．5．（2022·江蘇·蘇州中學高三階段練習）文化月活動中，某班級在宣傳欄貼出標語“學好數學好”，可以不同斷句產生不同意思，“學/好數學/好”指要學好的數學，“學好/數學/好”強調數學學習的重要性，假設一段時間后，隨機有個字脫落．6．（2022·江蘇·南京師大附中高三階段練習）隨著經濟的發展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園、場館，投入健身運動中，成為一道美麗的運動風景線．某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機抽取人進行調查，得到如下表的統計數據：周平均鍛煉時間少于小時周平均鍛煉時間不少于小時合計歲以下歲以上（含）合計(2)現從歲以上（含）的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于小時，用分層抽樣法抽取人做進行一步訪談，最后再從這人中隨機抽取人填寫調查問卷．記抽取人中周平均鍛煉時間是不少于小時的人數為，求的分布列和數學期望．7．（2022·福建省福州第一中學高三階段練習）班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班名女同學，名男同學中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析．(1)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）(2)如果隨機抽取的名同學的數學，物理成績（單位：分）對應如下表：學生序號i1234567數學成績60657075858790物理成績70778085908693（i）若規定分以上（包括分）為優秀，從這名同學中抽取名同學，記名同學中數學和物理成績均為優秀的人數為，求的分布列和數學期望；（結果用最簡分數表示）76838125268．（2022·江蘇·句容碧桂園學校高三開學考試）為了研究高三年級學生的性別與體重是否超過55kg的關聯性，某機構調查了某中學所有高三年級的學生，整理得到如下列聯表．性別體重合計超過55kg不超過kg男180120300女90110200合計270230500參考公式和數據：(2)按性別采用分層隨機抽樣的方式在該中學高三年級體重超過55kg的學生中抽取9人，再從這9人中任意選取3人，記選中的女生數為X，求X的分布列與期望．突破六：二項分布1．（2022·上海奉賢·高三期中）甲乙兩選手進行圍棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制（前兩局各有勝負則進行第三局），則甲最終獲勝的概率為（

）A．0.72 B．0.704 C．0.604 D．0.648A． B． C． D．A．3 B． C．4 D．A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）將一顆質地均勻的骰子（它是一種各面上分別標有點數1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現一次6點向上的概率是______.8．（2022·四川·綿陽中學高三階段練習）小區為了加強對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區封閉期間生活不受影響，小區超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應.為做好甲類生活物資的供應，超市對社區居民戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調查，得到了以下頻率分布直方圖.(1)估計奶茶愛好者的平均年齡；（同一組數據用該區間的中點值作代表）(3)以頻率替代概率進行計算，若從該地區所有奶茶愛好者中任選人，求人中年齡在歲以下的人數的分布列和期望.10．（2022·甘肅·蘭州西北中學高三期中（理））為豐富學生的校園生活，提升學生的實踐能力和綜合素質能力，培養學生的興趣愛好，某校計劃借課后托管服務平臺開設書法興趣班．為了解學生對這個興趣班的喜歡情況，該校隨機抽取了本校100名學生，調查他們對這個興趣班的喜歡情況，得到數據如下：喜愛不喜愛合計男402060女301040合計7030100以調查得到的男、女學生喜歡書法興趣班的頻率代替概率．(1)從該校隨機抽取1名男學生和1名女學生，求這2名學生中恰有1人喜歡書法興趣班的概率；(2)從該校隨機抽取4名女學生，記X為喜歡書法興趣班的女生人數，求X的分布列與期望．突破七：正態分布A．9 B．8 C． D．6(1)求這300名同學物理平均成績與第三四分位數的估計值；（結果精確到1）(1)根據頻率分布直方圖，估計位農民的年平均收入（單位：千元）（同一組數據用該組數據區間的中點值表示）；10．（2022·全國·高三專題練習）某收費APP（手機應用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設計?方便的操作方式和實用的強大功能深得用戶喜愛.為回饋市場并擴大用戶量，該APP在2022年以競價形式做出優惠活動，活動規則如下：①每月1到15日，大家可通過官網提交自己的報價（報價低于原價），但在報價時間截止之前無法得知其他人的報價和當月參與活動的總人數；②當月競價時間截止后的第二天，系統將根據當期優惠名額，按出價從高到低的順序給相應人員分配優惠名額，獲得優惠名額的人的最低出價即為該APP在當月的優惠價，出價不低于優惠價的人將獲得數額為原價減去優惠價的優惠券，并可在當月該APP時使用.小明擬參加2022年7月份的優惠活動，為了預測最低成交價，他根據網站的公告統計了今年2到6月參與活動的人數，如下表所示：時間t（月）23456參與活動的人數y（萬人）0.50.611.41.7(2)某自媒體對200位擬參加今年7月份活動的人進行了一個抽樣調查，得到如表所示的頻數表：報價X（單位：元）頻數206060302010①求這200人的報價X（單位：元）的平均值和方差（同一區間的報價用該價格區間的中點值代替）；第三部分：沖刺重難點特訓一、單選題A． B． C． D．2．（2022·河南省浚縣第一中學高三階段練習（文））第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會后，打算從冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項這四個項目中任意選兩項進行系統的學習，則小林沒有選擇冰壺的概率為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）袋內裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，設事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B不是相互獨立事件C．B與C是對立事件 D．A與C是相互獨立事件4．（2022·全國·高三專題練習）設靶子上的環數取1~10這10個正整數，脫靶計為0環．某人射擊一次，設事件“中靶”，事件“擊中環數大于5”，事件“擊中環數大于1且小于6”，事件“擊中環數大于0且小于6”，則下列關系正確的是（

）A．B與C互斥 B．B與C互為對立C．A與D互為對立 D．A與D互斥5．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列如下：236Pa6．（2022·河南·上蔡縣