專題06數列必考題型分類訓練【三年高考真題練】一．選擇題（共2小題）1．（2020?上海）計算：＝（）A．3 B． C． D．52．（2022?上海）已知等比數列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，則下列選項判斷正確的是（）A．若S2022＞S2021，則數列{an}是遞增數列 B．若T2022＞T2021，則數列{an}是遞增數列 C．若數列{Sn}是遞增數列，則a2022≥a2021 D．若數列{Tn}是遞增數列，則a2022≥a2021二．填空題（共7小題）3．（2021?上海）已知等差數列{an}的首項為3，公差為2，則a10＝．4．（2020?上海）計算：＝．5．（2022?上海）已知等差數列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，若S5＝0，則Si（i＝0，1，2，…，100）中不同的數值有個．6．（2021?上海）已知{an}為無窮等比數列，a1＝3，an的各項和為9，bn＝a2n，則數列{bn}的各項和為．7．（2021?上海）在無窮等比數列{an}中，（a1﹣an）＝4，則a2的取值范圍是．8．（2020?上海）已知數列{an}是公差不為零的等差數列，且a1+a10＝a9，則＝．9．（2021?上海）已知ai∈N*（i＝1，2，…，9）對任意的k∈N*（2≤k≤8），ak＝ak﹣1+1或ak＝ak+1﹣1中有且僅有一個成立，a1＝6，a9＝9，則a1+…+a9的最小值為．三．解答題（共5小題）10．（2020?上海）已知各項均為正數的數列{an}，其前n項和為Sn，a1＝1．（1）若數列{an}為等差數列，S10＝70，求數列{an}的通項公式；（2）若數列{an}為等比數列，a4＝，求滿足Sn＞100an時n的最小值．11．（2022?上海）已知在數列{an}中，a2＝1，其前n項和為Sn．（1）若{an}是等比數列，S2＝3，求Sn；（2）若{an}是等差數列，S2n≥n，求其公差d的取值范圍．12．（2022?上海）數列{an}對任意n∈N*且n≥2，均存在正整數i∈[1，n﹣1]，滿足an+1＝2an﹣ai，a1＝1，a2＝3．（1）求a4可能值；（2）命題p：若a1，a2，?，a8成等差數列，則a9＜30，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由；（3）若a2m＝3m，（m∈N*）成立，求數列{an}的通項公式．13．（2021?上海）已知數列{an}滿足an≥0，對任意n≥2，an和an+1中存在一項使其為另一項與an﹣1的等差中項．（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8為正數，求證：a2、a5、a8成等比數列，并求出公比q；（3）已知數列中恰有3項為0，即ar＝as＝at＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求ar+1+as+1+at+1的最大值．14．（2020?上海）已知數列{an}為有限數列，滿足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣am|，則稱{an}滿足性質P．（1）判斷數列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質P，請說明理由；（2）若a1＝1，公比為q的等比數列，項數為10，具有性質P，求q的取值范圍；（3）若{an}是1，2，3，…，m的一個排列（m≥4），{bn}符合bk＝ak+1（k＝1，2，…，m﹣1），{an}、{bn}都具有性質P，求所有滿足條件的數列{an}．

【三年自主招生練】一．選擇題（共1小題）1．（2020?上海自主招生）非零實數a，b，c，若，，成等差數列，則下列不等式成立的是（）A．|b|≤|ac| B．|b|≤ C．b2≥|ac| D．a2≤b2≤c2二．填空題（共4小題）2．（2020?上海自主招生）小于1000的正整數中，既不是5的倍數也不是7的倍數的整數有個．3．（2020?上海自主招生）[++…+]＝．4．（2020?上海自主招生）向量數列滿足，且滿足，令，則當Sn取最大時，n的值為．5．（2020?上海自主招生）實數a，b滿足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，則（an+bn）＝．三．解答題（共3小題）6．（2022?上海自主招生），求的值．7．（2022?上海自主招生）數列{an}，a1＝2，a2＝6，an+2﹣2an+1+an＝2，求．8．（2021?上海自主招生）若數列{an}滿足，求．【最新模擬練】一．選擇題（共9小題）1．（2022?楊浦區模擬）數列{an}為等差數列，a1＞0且公差d＞0，若lga1，lga3，lga6也是等差數列，則其公差為（）A．lgd B．lg2d C．lg D．lg2．（2022?奉賢區二模）已知a，b，c，d成等比數列，則下列三個數列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比數列的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022?黃浦區二模）記方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正實數．當a1，a2，a3成等比數列時，下列選項中，能推出方程③有兩個不相等的實根的是（）A．方程①有實根，且②有實根 B．方程①有實根，且②無實根 C．方程①無實根，且②有實根 D．方程①無實根，且②無實根4．（2022?崇明區二模）已知無窮等比數列{an}中a1＝2，|a2|＜2，它的前n項和為Sn，則下列命題正確的是（）A．數列{Sn}是遞增數列 B．數列{Sn}是遞減數列 C．數列{Sn}存在最小項 D．數列{Sn}存在最大項5．（2022?上海模擬）已知數列{an}是公比為q的等比數列，則“q＞0”是“數列{lgan}為等差數列”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要6．（2022?普陀區二模）數列{an}的前n項的和Sn滿足，則下列選項中正確的是（）A．數列{an+1+an}是常數列 B．若，則{an}是遞增數列 C．若a1＝﹣1，則S2022＝1013 D．若a1＝1，則{an}的最小項的值為﹣17．（2022?青浦區二模）設各項均為正整數的無窮等差數列{an}，滿足a338＝2022，且存在正整數k，使a1，a338，ak成等比數列，則公差d的所有可能取值的個數為（）A．1 B．4 C．5 D．無窮多8．（2022?寶山區模擬）已知函數f（x）＝（x＞0），數列{an}滿足a1＝1，an+1＝f（an），記數列{an}的前n項和為Sn，則（）A．3＜S2022＜4 B．＜S2022＜3 C．4＜S2022＜ D．＜S2022＜59．（2022?徐匯區校級模擬）已知數列{an}滿足：當an≠0時，；當an＝0時，an+1＝0；對于任意實數a1，則集合{n|an≤0，n＝1，2，3，?}的元素個數為（）A．0個 B．有限個 C．無數個 D．不能確定，與a1的取值有關二．填空題（共25小題）10．（2022?徐匯區三模）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2+a8＝15﹣a5，則S9等于．11．（2022?寶山區校級模擬）已知各項均為正數的等比數列{an}，若a4﹣a5＝2a6，則的值為．12．（2022?浦東新區二模）首項為1，公比為的無窮等比數列{an}的各項和為．13．（2022?嘉定區二模）若數列{an}是首項為，公比為的無窮等比數列，且數列{an}各項的和為a，則實數a的值為．14．（2022?徐匯區校級模擬）已知數列{an}的前n項和Sn＝2n﹣2，則數列{an}的通項公式為．15．（2022?靜安區二模）數列{an}滿足a1＝2，，若對于大于2的正整數n，，則a102＝．16．（2022?普陀區二模）已知等差數列{an}（n∈N*）滿足，則a5＝．17．（2022?奉賢區模擬）已知等差數列{an}滿足a5+a2n﹣5＝n（n∈N，n≥3），則a1+a3+a5+a7+…+a2n﹣3+a2n﹣1＝．18．（2022?寶山區校級二模）等差數列{an}的前9項和為18，第9項為18，則{an}的通項公式為．19．（2022?金山區二模）已知等比數列{an}各項均為正數，其中a1＝1，a2+a3＝12，則{an}的公比為．20．（2022?青浦區二模）已知數列{an}的通項公式為，數列{bn}是首項為1，公比為q的等比數列，若bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，10，則公比q的取值范圍是．21．（2022?虹口區二模）已知等比數列{an}的前n項和為Sn，公比q＞1，且a2+1為a1與a3的等差中項，S3＝14．若數列{bn}滿足bn＝log2an，其前n項和為Tn，則Tn＝．22．（2022?閔行區校級模擬）已知數列{an}滿足++…+＝（n∈N*），則an＝．23．（2022?徐匯區校級模擬）正項等比數列{an}滿足：a3+a6﹣a1﹣a4＝6，則a5+a8的最小值為．24．（2022?青浦區校級模擬）數列{an}滿足a1＝1，an+1＝Sn，則數列{an}的通項公式為．25．（2022?寶山區二模）已知直線與直線互相平行且距離為m．等差數列{an}的公差為d，且a7a8＝35，a4+a10＜0，令Sn＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，則Sm的值為．26．（2022?長寧區二模）已知數列{an}滿足：對任意n∈N*，都有|an+1﹣an|＝n，．設數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝0，則S8的最大值為．27．（2022?寶山區模擬）在數列{an}中，已知a1＝a5＝1，且an+1＝，則正整數d＝．28．（2022?閔行區校級二模）已知函數，正數數列{an}滿足an+1＝f（an），若對任意正整數n，不等式|an+2﹣an+1|≤λ|an+1﹣an|都成立，則實數λ的最小值為．29．（2022?閔行區二模）已知無窮等比數列{an}的各項均為正整數，且，則滿足條件的不同數列{an}的個數為．30．（2022?浦東新區二模）若各項均為正數的有窮數列{yn}滿足yi+1≥yi+1，（n≥3，1≤i≤n﹣1，i∈N*，n∈N*），y1+y2+y3+?+yn＝2022，則滿足不等式yn+n≥M的正整數M的最大值為．31．（2022?金山區二模）已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝3an﹣1（n∈N*），函數f（x）定義域為R，對任意x∈R都有f（x+1）＝．若f（2）＝1﹣，則f（a2022）的值為．32．（2022?黃浦區校級模擬）設角數列{an}的通項為an＝（n﹣1）+φ，n∈N*，其中k為常數且φ∈（0，）．若存在整數k∈[3，40]，使{an}的前k項中存在ai，aj（i≠j）滿足cosai＝cosaj，則φ的最大值為．33．（2022?靜安區模擬）已知等差數列{an}中，，設函數，記yn＝f（an），則數列{yn}的前9項和為．34．（2022?奉賢區二模）設項數為4的數列{an}滿足：ai∈{﹣1，0，1}，i∈{1，2，3，4}且對任意1≤k＜l≤4，k∈N，l∈N，都有|ak+ak+1+?+al|≤1，則這樣的數列{an}共有個．三．解答題（共22小題）35．（2022?松江區二模）在等差數列{an}中，已知a1+a2＝10，a3+a4+a5＝30．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若數列{an+bn}是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{bn}的前n項和Sn．36．（2022?長寧區二模）甲、乙兩人同時分別入職A、B兩家公司，兩家公司的基礎工資標準分別為：A公司第一年月基礎工資數為3700元，以后每年月基礎工資比上一年月基礎工資增加300元；B公司第一年月基礎工資數為4000元，以后每年月基礎工資都是上一年的月基礎工資的1.05倍．（1）分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎工資收入總量（精確到1元）；（2）設甲、乙兩人入職第n年的月基礎工資分別為an、bn元，記cn＝an﹣bn，討論數列{cn}的單調性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基礎工資高于乙的月基礎工資，并說明理由．37．（2022?閔行區二模）已知{an}是公差為d的等差數列，前n項和為Sn，a1，a2，a3，a4的平均值為4，a5，a6，a7，a8的平均值為12．（1）求證：；（2）是否存在實數t，使得對任意n∈N*恒成立，若存在，求出t的取值范圍，若不存在，請說明理由．38．（2022?寶山區校級二模）數列{an}滿足條件：若存在正整數k和常數q?{0，1}，使得an+k＝qan對任意n∈N*恒成立，則稱數列{an}具有性質P（k，q），也稱為類周期k數列．（1）判斷數列是否具有性質P（k，q）并說明理由；（2）數列{an}具有性質P（3，2），且a1＝1，前4項成等差，求{an}的前100項和；（3）若數列{an}既是類周期2數列，也是類周期3數列，求證：{an}為等比數列．39．（2022?普陀區二模）設Sn是各項為正的等比數列{an}的前n項的和，且S2＝3，a3＝4，n∈N*．（1）求數列{an}的通項公式；（2）在數列{an}的任意ak與ak+1項之間，都插入k（k∈N*）個相同的數（﹣1）kk，組成數列{bn}，記數列{bn}的前n項的和為Tn，求T100的值．40．（2022?楊浦區模擬）已知a為實數，數列{an}滿足：①a1＝a；②an+1＝（n∈N*）．若存在一個非零常數T∈N*，對任意n∈N*，an+T＝an都成立，則稱數列{an}為周期數列．（1）當a＝3時，求a1+a2+a3+a4的值；（2）求證：存在正整數n，使得0≤an≤3；（3）設Sn是數列{an}的前n項和，是否存在實數a滿足：①數列{an}為周期數列；②存在正奇數k，使得Sk＝2k．若存在，求出所有a的可能值；若不存在，說明理由．41．（2022?徐匯區三模）記實數a、b中較小者為min{a，b}，例如min{1，2}＝1，min{1，1}＝1，對于無窮數列{an}，記hk＝min{a2k﹣1，a2k}．若對任意k∈N*均有hk＜hk+1，則稱數列{an}為“趨向遞增數列”．（1）已知數列{an}、{bn}的通項公式分別為，判斷數列{an}、{bn}是否為“趨向遞增數列”？并說明理由；（2）已知首項為1，公比為q的等比數列{cn}是“趨向遞增數列”，求公比q的取值范圍；（3）若數列{dn}滿足d1、d2為正實數，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，求證：數列{dn}為“趨向遞增數列”的必要非充分條件是{dn}中沒有0．42．（2022?寶山區模擬）設數列{an}，{bn}的項數相同，對任意不相等的正整數s，t都有（as﹣at）（bs﹣bt）＞0（＜0），則稱數列{an}，{bn}成同序（反序）．（1）若an＝，bn＝logan，且{an}，{bn}成反序，求a的取值范圍；（2）記等差數列{an}的前n項和為Sn，公差為d，求證：{an}和{Sn}同序的充要條件是d（a1+d）＞0；（3）若數列{an}的通項公式為an＝qn﹣1（q≠1，q＞0）其前n項的和為Sn，令bn＝，研究{an}，{bn}是成同序，反序，還是其它情況？請說明理由．43．（2022?楊浦區二模）已知數列{an}滿足：a1＝1，an+1＝﹣an或an+1＝an+2，對一切n∈N*都成立．記Sn為數列{an}的前n項和．若存在一個非零常數T∈N*，對于任意n∈N*，an+T＝an成立，則稱數列{an}為周期數列，T是一個周期．（1）求a2、a3所有可能的值，并寫出a2022的最小可能值；（不需要說明理由）（2）若an＞0，且存在正整數p，q（p≠q），使得與均為整數，求ap+q的值；（3）記集合，求證：數列{an}為周期數列的必要非充分條件為“集合S為無窮集合”．44．（2022?寶山區校級模擬）設有數列{an}，若存在唯一的正整數k（k≥2），使得ak＜ak﹣1，則稱{an}為“k墜點數列”．記{an}的前n項和為Sn．（1）判斷：是否為“k墜點數列”，并說明理由；（2）已知{an}滿足a1＝1，|an+1﹣an|＝a+1，且是“5墜點數列”，若，求a的值；（3）設數列{an}共有2022項且a1＞0．已知a1﹣ap﹣1+aq﹣1＝s，a2+a3+?+a2022＝t．若{an}為“p墜點數列”且{Sn}為“q墜點數列”，試用s，t表示S2022．45．（2022?崇明區二模）已知集合M＝{x|1≤x≤m，x∈Z}（Z是整數集，m是大于3的正整數）．若含有m項的數列{an}滿足：任意的i，j∈M，都有ai∈M，且當i≠j時有ai≠aj，當i＜m時有|ai+1﹣ai|＝2或|ai+1﹣ai|＝3，則稱該數列為P數列．（1）寫出所有滿足m＝5且a1＝1的P數列；（2）若數列{an}為P數列，證明：{an}不可能是等差數列；（3）已知含有100項的P數列{an}滿足a5，a10，?，a5k，?，a100（k＝1，2，3，?，20）是公差為d（d＞0）等差數列，求d所有可能的值．46．（2022?靜安區二模）若數列{an}同時滿足下列兩個條件，則稱數列{an}具有“性質A”．①（n∈N*）；②存在實數A，使得對任意n∈N*，有an≥A成立．（1）設，試判斷{an}，{bn}是否具有“性質A”；（2）設遞增的等比數列{cn}的前n項和為Sn，若，證明：數列{Sn}具有“性質A”，并求出A的取值范圍；（3）設數列{dn}的通項公式，若數列{dn}具有“性質A”，其滿足條件的A的最大值A0＝10，求t的值．47．（2022?青浦區二模）治理垃圾是改善環境的重要舉措．A地在未進行垃圾分類前每年需要焚燒垃圾量為200萬噸，當地政府從2020年開始推進垃圾分類工作，通過對分類垃圾進行環保處理等一系列措施，預計從2020年開始的連續5年，每年需要焚燒垃圾量比上一年減少20萬噸，從第6年開始，每年需要焚燒垃圾量為上一年的75%（記2020年為第1年）．（1）寫出A地每年需要焚燒垃圾量與治理年數n（n∈N*）的表達式；（2）設An為從2020年開始n年內需要焚燒垃圾量的年平均值，證明數列{An}為遞減數列．48．（2022?金山區二模）對于集合A＝{a1，a2，a3，?，an}，n≥2且n∈N*，定義A+A＝{x+y|x∈A，y∈A且x≠y}．集合A中的元素個數記為|A|，當時，稱集合A具有性質Γ．（1）判斷集合A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4，5}是否具有性質Γ，并說明理由；（2）設集合B＝{1，3，p，q}（p，q∈N，且3＜p＜q）具有性質Γ，若B+B中的所有元素能構成等差數列，求p、q的值；（3）若集合A具有性質Γ，且A+A中的所有元素能構成等差數列，問：集合A中的元素個數是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．49．（2022?黃浦區校級模擬）已知數列{an}，{bn}滿足：存在k∈N*，對于任意的n∈N*，使得bn+k＝an+an+k，則稱數列{bn}與{an}成“k級關聯”．記{bn}與{an}的前n項和分別為Tn，Sn．（1）已知，判斷{bn}與{an}是否成“4級關聯”，并說明理由；（2）若數列{bn}與{an}成“2級關聯”，其中，且有b1＝1，b2＝2，求|T2022﹣S2022|的值；（3）若數列{bn}與{an}成“k級關聯”且有bn＝2022，求證：{Sn}為遞增數列當且僅當a1，a2，?，a2k＞0．50．（2022?奉賢區二模）已知數列{an}和{bn}，其中，n∈N*，數列{an+bn}的前n項和為Sn．（1）若an＝2n，求Sn；（2）若{bn}是各項為正的等比數列，Sn＝3n，求數列{an}和{bn}的通項公式．51．（2022?嘉定區二模）若項數為k（k∈N*且k≥3）的有窮數列{an}滿足：|a1﹣a2|≤|a2﹣a3|≤???≤|ak﹣1﹣ak|，則稱數列{an}具有“性質M”．（1）判斷下列數列是否具有“性質M”，并說明理由；①1，2，4，3；②2，4，8，16．（2）設bm＝|am﹣am+1|（m＝1，2，???，k﹣1），若數列{an}具有“性質M”，且各項互不相同．求證：“數列{an}為等差數列”的充要條件是“數列{bm}為常數列”；（3）已知數列{an}具有“性質M”．若存在數列{an}，使得數列{an}是連續k個正整數1，2，???，k的一個排列，且|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+???+|ak﹣1﹣ak|＝k+2，求k的所有可能的值．52．（2022?虹口區二模）對于項數為m的數列{an}，若滿足：1≤a1＜a2＜?＜am，且對任意1≤i≤j≤m，ai?aj與中至少有一個是{an}中的項，則稱{an}具有性質P．（1）分別判斷數列1，3，9和數列2，4，8是否具有性質P，并說明理由；（2）如果數列a1，a2，a3，a4具有性質P，求證：a1＝1，a4＝a2?a3；（3）如果數列{an}具有性質P，且項數為大于等于5的奇數．判斷{an}是否為等比數列？并說明理由．53．（2022?徐匯區校級模擬）設自然數n≥3，若由n個不同的正整數a1，a2，…，an構成的集合S＝{a1，a