第三章函數的概念與性質專題詳解函數的概念構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）.（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關.相同函數的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同(兩點必須同時具備)考點一：定義域的求法一．已知函數解析式型即給出函數的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數的定義域求函數的定義域需要從這幾個方面入手：（1）分母不為零（2）偶次根式的被開方數非負.（3）對數中的真數部分大于0.（4）指數、對數的底數大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等.(6)中x例1：求下列函數的定義域二、抽象函數型抽象函數是指沒有給出解析式的函數，不能用常規方法求解，一般表示為已知一個抽象函數的定義域求另一個抽象函數的定義域，一般有兩種情況.舉一反三已知函數f(x)的定義域是[1，4]，求函數f(2x+1)的定義域.舉一反三復合函數定義域綜合求解舉一反三三、逆向思維型即已知所給函數的定義域求解析式中參數的取值范圍.特別是對于已知定義域為,求參數的范圍問題通常是轉化為恒成立問題來解決.舉一反三考點二：求函數值域二、值域是函數y=f(x)中y的取值范圍.常用的求值域的方法：（1）直接法（2）圖象法（數形結合）（3）函數單調性法（4）配方法（5）換元法（包括三角換元）（6）反函數法（逆求法）（7）分離常數法（8）判別式法（9）復合函數法（10）不等式法（11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數學的始終.1.利用常見函數的值域來求（直接法）一次函數y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；例2求下列函數的值域2.二次函數在區間上的值域(最值)：例3求下列函數的最大值、最小值與值域：單調性法換元法5．平方法6．分離常數法7，數型結合法（1）用分段函數的形式表示該函數;（2）在所給的坐標系中畫出該函數的圖像,并根據圖像直接寫出該函數的定義域、值域(不要求寫作圖及解答過程)10，反解法11、判別式法12.復合函數法二、函數的三種表示法是：解析法；圖象法；列表法.eq\o\ac(○,1)函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；eq\o\ac(○,2)解析法：必須注明函數的定義域；eq\o\ac(○,3)圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；eq\o\ac(○,4)列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．注意啊：解析法：便于算出函數值.列表法：便于查出函數值.圖象法：便于量出函數值一：分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數.在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式.分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集舉一反三題型二：圖像法舉一反三1．（多選）下列選項中所給圖象是函數圖象的為（）A．B．C． D．2（多選）．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是（）A．在t1時刻，甲車的速度大于乙車的速度B．t0時刻后，甲車的速度小于乙車的速度C．在t0時刻，兩車的位置相同D．在t0時刻，甲車在乙車前面題型三：列表法例3：1．下表表示y是x的函數，則函數的值域是（）xy101舉一反三001四：求解析式湊配法2.換元法3.待定系數法方程組法例7：已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x).5.賦值法A．4 B．12 C．16 D．36四．函數的單調性1、定義：注意：函數單調性定義中的x1,x2有三個特征,一是任意性，二是有大小，三是同屬于一個單調區間．2、鞏固概念：定義的另一種表示方法強調幾點：①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性．②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．③單調性是對定義域的某個區間上的整體性質，不能用特殊值說明問題.熟記以下結論，可迅速判斷函數的單調性．1．函數y＝－f（x）與函數y＝f（x）的單調性相反．3．在公共區間內，增函數＋增函數＝增函數，增函數－減函數＝增函數等3．判斷函數單調性的方法（1）定義法．（2）直接法．運用已知的結論，直接得到函數的單調性，如一次函數，二次函數的單調性均可直接說出．圖象法．5.單調性性質：①增函數+增函數=增函數；②減函數+減函數=減函數；③增函數減函數=增函數；④減函數增函數=減函數；注：上述結果中的函數的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數定義域的交集.6.復合函數單調性的判斷方法：增函數增函數增函數增函數增函數增函數增函數增函數減函數減函數減函數減函數減函數減函數小結：同增異減.研究函數的單調性，定義域優先考慮.且復合函數的單調區間是它的定義域的某個子區間.題型一：定義法證明或判斷函數的單調性A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數題型二：求函數的單調區間A．是奇函數，且在(0,+∞)單調遞增 B．是奇函數，且在(0,+∞)單調遞減C．是偶函數，且在(0,+∞)單調遞增 D．是偶函數，且在(0,+∞)單調遞減題型三：根據函數的單調性求參數題型四：根據圖像判斷函數的單調性題型五：復合函數的單調性題型六：根據函數的單調性解不等式題型七：根據函數的單調性比較大小題型8：根據解析式判斷函數的單調性題型九：單調性綜合應用例9：1．（2021·全國·高考真題（文））下列函數中是增函數的為（

）五.奇函數、偶函數的定義（4）非奇非偶函數：無奇偶性的函數是非奇非偶函數.2．奇(偶)函數的基本性質(1)對稱性：奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于軸對稱．(2)單調性：奇函數在其對稱區間上的單調性相同，偶函數在其對稱區間上的單調性相反．3.判斷函數奇偶性的方法（1）圖像法（2）定義法eq\o\ac(○,1)首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關系；eq\o\ac(○,3)作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．題型一判斷函數的奇偶性例1：判斷下列函數的奇偶性：題型二利用函數的奇偶性求函數值A． B． C． D．舉一反三A． B． C． D．題型三利用函數的奇偶性求函數解析式舉一反三類型四：根據奇偶性求參數A．1 B．0 C．1 D．舉一反三類型五：利用奇偶性求范圍問題A． B． C． D．六、函數的周期性幾種特殊的抽象函數：具有周期性的抽象函數：類型一：判斷周期函數類型二：周期性求值求值A．－8 B．－4 C．12 D．20類型三：周期性求函數解析式A． B． C． D．類型三：周期+奇偶性七．函數對稱性（異號對稱）題型一：對稱性的判定題型二：由函數對稱性求函數值A．3 B．4 C． D．題型三：由周期性與對稱性求函數解析式A． B．題型四：由周期性與對稱性比較大小題型五函數性質的綜合應用A．1010 B．1011 C．1012 D．1013奇偶性周期性及對稱性綜合應用A． B． C．0 D．1八．冪函數1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數．2．冪函數的圖像及性質y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性增x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減增增x∈(0，＋∞)時，減；x∈(－∞，0)時，減3.冪值的大小比較（1）直接法:當冪指數相同時,可直接利用冪函數的單調性來比較.（2）轉化法:當冪指數不同時,可以先轉化為相同冪指數,再運用單調性比較大小.（3）中間值法:當底數不同且冪指數也不同而不能運用單調性比較大小時,可選取適當的中間值與兩數分別比較,從而達到比較大小的目的.4.冪函數性質的應用利用冪函數的性質解不等式,實際上就是利用冪函數的單調性,將不等式的大小關系轉化為自變量的大小關系,解不等式(組)求參數范圍時,注意分類討論思想的應用.題型一：冪函數的定義A．0 B．2 C．4 D．5題型二：冪函數的定義域例2：（