第三章：圓錐曲線的方程綜合檢測卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高二上·廣西玉林·月考）拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】變形為，故，解得，故焦點坐標為.故選：C2．（23-24高二上·重慶·期中）橢圓：的左右焦點分別是，，P在橢圓上，且，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】由題意知橢圓：的長軸長為，又P在橢圓上，，故，故選：D3．（23-24高二下·江蘇南京·月考）與雙曲線有公共焦點，且離心率為的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線可知，且焦點在x軸上，則焦點為，設橢圓的方程是，則，解得，所以橢圓的方程是.故選：C.4．（23-24高二上·廣東惠州·月考）已知橢圓的左?右焦點分別為，若上存在無數個點滿足：，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設橢圓的半焦距為，因為上存在無數個點滿足：，所以以為直徑的圓與橢圓有四個交點，則，所以，所以．故選：D．5．（22-23高二上·安徽·期中）已知雙曲線的離心率為，若點與點都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由點在雙曲線上，得，則，即，整理得，解得或，當時，，此時方程無解，當時，，而，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：B6．（23-24高二上·重慶·月考）已知為坐標原點，拋物線（）的焦點為，拋物線上的點滿足，的面積為，則該拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，由可得，解得，故，解得，故.又，故，解得.故拋物線的準線方程為.故選：B7．（23-24高二下·江西·月考）若，分別是雙曲線：的右支和圓：上的動點，且是雙曲線的右焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，雙曲線：則，，，設左焦點為，則，即，所以，當且僅當、在線段與雙曲線右支、圓的交點時取等號.故選：A8．（23-24高二下·河南·月考）已知是雙曲線C：的左、右焦點，直線l是C的一條漸近線，垂足為P．若C的離心率為，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設的一條漸近線為由題意知由的離心率為得即在中，在中，所以所以故選:C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（23-24高二上·河北·月考）已知曲線的方程為，則（

）A．當時，曲線表示一個圓B．當時，曲線表示橢圓C．當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線D．當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】當時，曲線是，故A正確；當時，曲線表示一個圓，故B錯誤；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，故C正確；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，故D正確.故選：ACD.10．（23-24高二下·廣東湛江·月考）已知橢圓，且兩個焦點分別為，，是橢圓上任意一點，以下結論正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．的周長為12C．的最小值為3 D．的最大值為16【答案】BD【解析】橢圓，則對于A：，故A錯誤；對于B：的周長為，故B正確；對于C：的最小值為，故C錯誤；對于D：，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：BD．11．（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知為坐標原點，拋物線的焦點為，經過點且斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），若，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】選項A：過點作軸的垂線，垂足為，則，所以，所以，由拋物線定義可得，，所以，解得，故A正確．選項B：由A得拋物線的方程為，，直線的方程為，聯立直線方程與拋物線的方程并化簡，得，得或，所以，故，故，B錯誤．選項C：由，，得，故C正確．選項D：由上知，得，故，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（20-21高二上·湖北武漢·期中）雙曲線的左焦點到其漸近線的距離為.【答案】【解析】由雙曲線，得，則，解得，則左焦點，漸近線方程為：.由對稱性，不妨取其中一條漸近線，即，則左焦點到漸近線的距離.故答案為：.13．（22-23高二上·安徽蕪湖·月考）過點且和拋物線C：有且僅有一個公共點的直線方程是．【答案】或或【解析】設直線方程為或（當斜率不存在時），當直線與拋物線相切時只有一個公共點，滿足題意，此時：由，得，由得，此時切線方程為；經檢驗，也是拋物線的切線方程；當直線與拋物線對稱軸軸平行時，直線與拋物線也只有一個交點，此時直線方程為；故答案為：或或.14．（23-24高二下·河南·月考）橢圓的左、右焦點分別為，，過且斜率大于0的直線l與C相交于A，B兩點．若內切圓的半徑為，則l的斜率為．【答案】【解析】由橢圓方程，則，，所以焦點，設，，，內切圓的半徑為，則．聯立方程組，整理得，則，，則由，得，解得或（舍去）．又l的斜率大于0，所以，l的斜率為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸．15．（23-24高二上·廣東揭陽·月考）求符合下列條件的曲線的標準方程(1)求經過點，的橢圓的標準方程；(2)求與橢圓有公共焦點，且過點的雙曲線的標準方程．【答案】(1)；(2)【解析】（1）橢圓過點，，根據橢圓的性質可知，，焦點在軸，所以橢圓方程為.（2）橢圓的標準方程為，故，可得焦點坐標為，設雙曲線的方程為，故，，整理有，解得或（舍）所以，，所以雙曲線方程為.16．（23-24高二下·山東煙臺·月考）已知直線與拋物線交于A，B兩點，F為拋物線的焦點.(1)若，求m的值；(2)求線段AB中點M的軌跡方程.【答案】(1)；(2)【解析】（1）聯立方程，消去y得，由得，設，，則，由拋物線定義知：，解得，符合題意，所以.（2）設點，則由題意得，因為，所以，把即代入得，所以點M的軌跡方程為.17．（23-24高二上·重慶璧山·月考）橢圓C：過點P（，1）且離心率為，F為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點．(1)求橢圓C的方程；(2)若面積為3，求直線的方程．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知可得，解得，所以，橢圓的標準方程為.（2）當直線與軸重合時，不符合題意，設直線的方程為，聯立，可得，，設，由韋達定理可得，，則，則，解得，所以直線的方程為.18．（23-24·廣東江門·二模）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為2的直線與交于A，B兩點，且．(1)求的方程；(2)過點作軸的平行線是動點，且異于點，過點作AP的平行線交于，兩點，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）設．因為點的坐標為，所以，由得，則，從而得，所以的方程為．（2）證明：因為點的坐標為，直線MN的斜率不為0，所以設直線MN的方程為．設，由可得，則所以．由（1）可知，因為點A，P的縱坐標分別為，且，所以可得，即．19．（23-24高二下·湖北·月考）已知雙曲線的漸近線上一點與右焦點的最短距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)為坐標原點，直線與雙曲線的右支交于、兩點，與漸近線交于、兩點，與在軸的上方，與在軸的下方．（ⅰ）求實數的取值范圍．（ⅱ）設、分別為的面積和的面積，求的最大值．【答案】(1)；(2