第20講雙曲線的簡單幾何性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．依據(jù)雙曲線的方程、圖形研究雙曲線的幾何性質(zhì)；2．據(jù)幾何條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決相關(guān)的問題；3．能綜合利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決相關(guān)的問題.知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的幾何性質(zhì)1、幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長：eq\a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x2、雙曲線漸近線求法根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線的方法中，最簡單實(shí)用的就是把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中等號(hào)右邊的“1”改成“0”，就得到了雙曲線的漸近線方程．3、對(duì)雙曲線離心率的理解在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度．在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個(gè)重要特征．因?yàn)?，所以?dāng)?shù)闹翟酱?，漸進(jìn)線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，也就越大，故反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大，它的“張口”越大．知識(shí)點(diǎn)2等軸雙曲線與共軛雙曲線1、等軸雙曲線的性質(zhì)在雙曲線中，若，則雙曲線的長軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質(zhì)有：（1）離心率：等軸雙曲線的離心率為：；（2）漸近線：等軸雙曲線的漸近線為：；等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45°和135°．2、共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線時(shí)一對(duì)共軛雙曲線．例如，雙曲線與是一對(duì)共軛雙曲線，其性質(zhì)如下：（1）已對(duì)共軛雙曲線有相同的漸進(jìn)線；（2）已對(duì)共軛雙曲線有相同的焦距；（3）共軛雙曲線的漸近線與直線及的四個(gè)交點(diǎn)，以及雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)，八點(diǎn)共圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為（半焦距）；（4）由于，，則，可知共軛雙曲線的離心率雖然不同，但離心率的倒數(shù)的平方和等于常數(shù)1．知識(shí)點(diǎn)3直線與雙曲線的位置關(guān)系1、直線與雙曲線的位置關(guān)系將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，（1）當(dāng)，即，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)，即，設(shè)該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；【注意】直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)．2、弦長公式：若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，則或（）．3、中點(diǎn)弦問題與橢圓的解題策略一樣，既可以聯(lián)立直線與雙曲線的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，也可以用點(diǎn)差法建立斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的等式關(guān)系求解考點(diǎn)一：由雙曲線方程研究幾何性質(zhì)例1．（23-24高二上·河北鄭口·月考）若雙曲線的實(shí)軸長為，則正數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線實(shí)軸長為，有，又，.故選：A.【變式1-1】（23-24高二下·安徽淮北·開學(xué)考試）若雙曲線的虛軸長與實(shí)軸長相等，則的值為（

）A．4 B． C． D．1【答案】C【解析】依題意，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，由于虛軸長與實(shí)軸長相等，所以，即，即，解得.故選：C【變式1-2】（23-24高二·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線與，下列說法正確的是（

）A．兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn) B．兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)C．兩個(gè)雙曲線有公共漸近線 D．兩個(gè)雙曲線的離心率相等【答案】C【解析】雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在x軸上，而雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在y軸上，故A、B錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；雙曲線的離心率，而雙曲線的離心率，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式1-3】（23-24高二上·重慶·月考）曲線（）與曲線（）的（

）A．焦距相等 B．離心率相等C．焦點(diǎn)相同 D．頂點(diǎn)相同【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，可知表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其焦距為，又因?yàn)椋瑒t，可知曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其焦距為，所以其焦距相等，離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)均不相同.故選：A.考點(diǎn)二：由幾何性質(zhì)求雙曲線的方程例2.（23-24高二下·浙江·月考）過點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以設(shè)其方程為，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，則雙曲線方程為.故選：B．【變式2-1】（23-24高二下·河北邢臺(tái)·月考）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意雙曲線的一條漸近線方程為，所以，又與橢圓有公共的焦點(diǎn)，所以，解得，從而的方程為.故選：A.【變式2-2】（23-24高二上·四川眉山·月考）已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】結(jié)合題意：雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為，因?yàn)殡p曲線離心率為，所以，解得，故雙曲線的方程為.故選：B.【變式2-3】（23-24高二上·安徽宣城·月考）與雙曲線有相同離心率和相同漸近線的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線中，，，，漸近線，對(duì)于A：，，，，漸近線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，，，漸近線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，，，漸近線，故C正確；對(duì)于D：，，，，漸近線，故D錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)三：求雙曲線離心率的值例3.（23-24高二下·黑龍江大慶·月考）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率為（）A．2 B． C．2或 D．或2【答案】A【解析】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且一條漸近線的傾斜角為，所以，所以，又，所以，又，所以.故選：A【變式3-1】（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）若雙曲線的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，則，即，雙曲線的漸近線方程為不妨取，又點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，可得，所以，所以雙曲線的離心率．故選：C．【變式3-2】（23-24高二下·湖北·月考）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在第一象限，延長交于多一點(diǎn)，若且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)?，由雙曲線的對(duì)稱性知四邊形為矩形.在中，由，得，化簡得.在中，由，得，化簡得，即離心率.故選：A.【變式3-3】（23-24高二上·浙江杭州·期末）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，，直線交雙曲線的另一支于點(diǎn)，，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，由雙曲線定義得，故，由勾股定理得，即①，連接，則，故，由勾股定理得，即②，由②得，代入①得，故.故選：C考點(diǎn)四：求雙曲線離心率的范圍例4.（23-24高二上·安徽馬鞍山·月考）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若M在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于M在以為直徑的圓上，故，設(shè)，則，，根據(jù)雙曲線的定義，所以，所以，，所以，故在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：D．【變式4-1】（23-24高二上·遼寧沈陽·月考）雙曲線：的左、右焦點(diǎn)為,，若點(diǎn)在雙曲線右支上,且，則雙曲線離心率的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由點(diǎn)在雙曲線右支上，且，根據(jù)雙曲線的定義，可得，可得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得，可得，所以，又因?yàn)?，所以離心率的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)，可得D項(xiàng)，不符合題意.故選：D.【變式4-2】（23-24高二上·廣東江門·期末）設(shè)雙曲線的離心率為，雙曲線漸近線的斜率的絕對(duì)值小于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，有，即，由，得，所以，即的取值范圍是.故選：B【變式4-3】（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·月考）已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，記，，則，又①，∴，∴，②，由①②得，又，∴，解得，即．故選：D考點(diǎn)五：與雙曲線漸近線相關(guān)的問題例5.（23-24高二下·陜西安康·期末）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，即雙曲線的漸近線方程為.故選：A【變式5-1】（23-24高二下·山西長治·月考）已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以，所以.故選：C【變式5-2】（23-24高二下·湖南長沙·月考）已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與雙曲線的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，滿足A，B均在y軸右側(cè)，且為正三角形，則雙曲線E的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，根據(jù)對(duì)稱性可知，從而，不妨設(shè)A在第一象限，其中一條漸近線方程為，令得，則，故，故，可得漸近線方程為．故選：B【變式5-3】（23-24高二下·河南·月考）（多選）已知雙曲線，M為C右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAMB的周長的可能取值有（

）A．5 B．8 C．6 D．【答案】BC【解析】雙曲線，M為C右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，兩條漸近線方程為，則兩條漸近線互相垂直，，所以，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形OAMB的周長為，結(jié)合選項(xiàng)可知，8，6適合題意，故選：BC．考點(diǎn)六：直線與雙曲線的位置關(guān)系例6.（23-24高二·全國·課堂例題）直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】方法一：聯(lián)立直線與雙曲線的方程，，得，方程組無解，說明直線與雙曲線沒有交點(diǎn).方法二：由，得，所以雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，因此交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選：A【變式6-1】（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期中）雙曲線與直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，當(dāng)時(shí)，直線與漸近線重合，此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).故選：C【變式6-2】（23-24高二上·遼寧沈陽·月考）過點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，則滿足條件的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】C【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與雙曲線方程聯(lián)立可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，時(shí)，；時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，整理可得，因?yàn)椋杂袃蓚€(gè)不等的實(shí)數(shù)根，又因?yàn)椴皇堑母源藭r(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè).綜上可知直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)時(shí)，直線有4條.故選：C.【變式6-3】（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┤绻本€經(jīng)過雙曲線的中心，且與該雙曲線不相交，則的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，雙曲線的中心為，因?yàn)橹本€經(jīng)過雙曲線的中心，所以設(shè)直線方程為，由，消去得，，因?yàn)橹本€與該雙曲線不相交，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，所以，即，解得或，所以直線l的斜率的取值范圍是：.故選：B.考點(diǎn)七：直線與雙曲線的交點(diǎn)及弦長例7.（23-24高二·全國·課堂例題）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則弦長．【答案】8【解析】由雙曲線，得，，焦點(diǎn)為，傾斜角，法一：直線斜率，直線方程為，聯(lián)立消得，，由韋達(dá)定理知，代入弦長公式，得.法二：.故答案為：8.【變式7-1】（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則．【答案】【解析】設(shè)雙曲線與直線交于兩點(diǎn)，由消去整理得，則，解得，且，所以．由，解得，所以．故答案為：【變式7-2】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則這樣的直線l有（

）A．0條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】由題意，，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，在方程中，令，則，此時(shí)，符合題意，當(dāng)直線的斜率不等于時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立，消得，則，解得，設(shè)，則，故，解得，綜上所述，符合題意得直線有條.故選：C.【變式7-3】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)；(2)【解析】（1）根據(jù)題意由可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，即，所以，所以可得的方程為；（2）如下圖所示：依題意設(shè)，聯(lián)立與的方程，消去整理可得，則；且，解得；所以，解得，滿足，符合題意；所以直線的方程為.考點(diǎn)八：雙曲線的中點(diǎn)弦問題例8.（23-24高二上·江蘇南通·月考）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為(

)A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】設(shè)，則有，化簡得，即.故選：B【變式8-1】（23-24高二上·四川成都·期中）設(shè)A，B為雙曲線上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以線段AB存在，故選：C【變式8-2】（22-23高二上·北京·期中）已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：設(shè)，則，所以，解得，則，.弦長|MN|.故選：D.【變式8-3】（23-24高二上·山東泰安·月考）直線被雙曲線所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】【解析】設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，代入直線方程可得，所以截得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.考點(diǎn)九：雙曲線的綜合問題例9.（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知雙曲線的一條漸近線為，且雙曲線的虛軸長為．(1)求雙曲線的方程；(2)記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)、，若的面積為，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）由題意可得，可得，因此，雙曲線的方程為.（2）若直線與軸重合，則直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，解得，由韋達(dá)定理可得，，則，，解得，合乎題意，所以，直線的方程為或.【變式9-1】（22-23高二上·全國·期中）已知雙曲線過點(diǎn)且與雙曲線有共同的漸近線，，分別是的左、右焦點(diǎn)．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意可設(shè)的方程為，將代入可得，，解得，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，則，點(diǎn)在第一象限，，且，，，的取值范圍是．【變式9-2】（23-24高二上·四川自貢·月考）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求曲線的方程；(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)；(2)【解析】（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，則，故曲線的方程為．（2）設(shè)，，，，由題意建立方程組，消去，得，又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，，有，解得．所以的取值范圍是．【變式9-3】（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，直線過點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線與直線的斜率之積為定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，【解析】（1）令雙曲線半焦距為，依題意，，由，解得，則雙曲線的方程為，（2）法一：顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，設(shè)，則，直線的斜率分別為，法二：①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，的方程為，易得②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，、由,消去得：，設(shè)，則：直線的斜率分別為，一、單選題1．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·月考）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由焦距為4可得，即，又，所以，可得，即；則的漸近線方程為.故選：B2．（23-24高二上·福建南平·月考已知頂點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長為，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線實(shí)軸長為，漸近線方程為，所以，解得，，則，所以該雙曲線的焦點(diǎn)為，故選：C3．（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，實(shí)軸長為4，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】雙曲線C的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)閷?shí)軸長為，所以，所以C的方程為，故選：D.4．（23-24高二上·山東青島·月考）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是、，過的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，則滿足的直線有A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【解析】雙曲線，過的直線垂直于軸時(shí)，；雙曲線兩個(gè)頂點(diǎn)的距離為，滿足的直線有條，一條是通徑所在的直線，另兩條與右支相交.故選：C5．（23-24高二上·新疆·期末）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】設(shè)該弦為，設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)椋栽撓掖嬖?，故選：D6．（23-24高二下·浙江·月考）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線左支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知雙曲線左支上存在點(diǎn)使得，設(shè)，則，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與雙曲線的左頂點(diǎn)重合，從而雙曲線左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為，故，即，故，即離心率的取值范圍為.故選：B二、多選題7．（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知，則關(guān)于雙曲線與雙曲線，下列說法中正確的是（

）.A．有相同的焦距 B．有相同的焦點(diǎn)C．有相同的離心率 D．有相同的漸近線【答案】AC【解析】由雙曲線，可得，則焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，離心率為；又由雙曲線，可得，則焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，離心率為，所以雙曲線和有相同的焦距，離心率相同，焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程不同.故選：AC.8．（23-24高二上·廣東·期末）已知直線，雙曲線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，與的左支有兩個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，與的左支有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【解析】由題意直線過定點(diǎn)