第01講空間向量及其線性運算模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解空間向量的概念；2．掌握空間向量的加減數乘運算；3．掌握空間向量的運算律；4．了解共線向量和共面向量定理.知識點1空間向量的有關概念1、空間向量的定義及表示（1）定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量．（2）長度（模）：空間向量的大小叫做向量的長度或模．（3）表示方法：=1\*GB3①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；=2\*GB3②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作QUOTE，其模記為QUOTE或QUOTE．2、幾類特殊向量（1）零向量：長度為0或者說起點和終點重合的向量，記為。規定：與任意向量平行．（2）單位向量：長度為1的空間向量，即．（3）相等向量：方向相同且模相等的向量．（4）相反向量：方向相反但模相等的向量．（5）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．知識點2空間向量的線性運算1、空間向量的加減法空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法（如下圖）．2、空間向量加減法運算律交換律：結合律：小結：空間向量加法的運算的小技巧（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：（2）首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；3、空間向量的數乘運算（1）定義：實數QUOTE與空間向量QUOTE的乘積QUOTE仍是一個向量，稱為向量的數乘運算．（2）幾何意義：當QUOTE時，QUOTE與QUOTE方向相同；當QUOTE時，QUOTE與QUOTE方向相反；當QUOTE時，QUOTE．QUOTE的長度是QUOTE的長度的|QUOTE|倍．（3）運算律：分配律：QUOTE；結合律：QUOTE．知識點3共線向量1、空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量QUOTE，QUOTE，QUOTE∥QUOTE的充要條件是存在實數QUOTE，使得QUOTE.2、直線的方向向量：如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量QUOTE，則對于直線l上任意一點QUOTE，存在實數QUOTE，使得QUOTE.與向量QUOTE平行的非零向量稱為直線l的方向向量．這樣，直線l任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。3、證明空間三點共線的三種思路：對于空間三點P、A、B可通過證明下列結論來證明三點共線（1）存在實數QUOTE，使QUOTE成立.（2）對空間任一點O，有QUOTE.（3）對空間任一點O，有QUOTE.知識點4共面向量1、定義：如圖，如果表示向量QUOTE的有向線段QUOTE所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量QUOTE平行與直線l．如果直線OA平行于平面QUOTE或在平面QUOTE內，那么稱向量QUOTE平行于平面QUOTE．平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2、向量共面的充要條件：如果兩個向量QUOTE，QUOTE不共線，那么向量QUOTE與向量QUOTE，QUOTE共面的充要條件是存在唯一的有序實數對QUOTE，使QUOTE．3、向量共面證明思路（1）證明點P在平面ABC內，可以用QUOTE，也可以用QUOTE，若用QUOTE，則必須滿足QUOTE.（2）判斷三個向量共面一般用QUOTE，證明三線共面常用QUOTE，證明四點共面常用QUOTE（其中QUOTE）考點一：空間向量的概念辨析例1．（23-24高二上·山東日照·月考）下列命題中為真命題的是（

）A．向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】A【解析】選項A：因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確；選項B：將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤；選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤；選項D：兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯誤；故選：A.【變式1-1】（23-24高二上·山東聊城·月考）給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體中，必有；③是向量的必要不充分條件；④若空間向量滿足，，則．其中正確的命題的個數是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【解析】有向線段起點和終點是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯誤；和大小一樣、方向相同，則，故②正確；若，則和的模相等，方向不一定相同，若，則和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分條件，故③正確；向量的平行不具有傳遞性，比如當為零向量時，零向量與任何向量都平行，則不一定平行，故④錯誤.綜上所述，②③正確.故選：B．【變式1-2】（23-24高二上·四川·期中）（多選）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不能比較大小，空間向量的模可以比較大小C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】BD【解析】對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量不能比較大小，空間向量的模可以比較大小，B正確；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：BD.【變式1-3】（23-24高二上·全國·專題練習）（多選）下列命題中正確的是

（

）A．如果,是兩個單位向量，則B．兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同C．若，，為非零向量，且，，則D．空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內【答案】ACD【解析】由單位向量的定義即得，故A正確；共線不一定同向，故B錯誤；因為為非零向量，且，所以，故C正確；在空間任取一點，過此點引兩個與已知非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直線相交于此點，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內，故D正確．故選：ACD考點二：空間向量的線性運算例2.（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知分別是空間四邊形的對角線的中點，點是線段的中點，為空間中任意一點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知：.故選：D【變式2-1】（23-24高二下·河南·月考）在四面體中，為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,故選:A

【變式2-2】（23-24高二下·江蘇揚州·月考）在四面體中，，D為的三等分點（靠近B點），E為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，.故選：C.【變式2-3】（23-24高二下·廣東佛山·月考）如圖，在平行六面體中，為與的交點.若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B.考點三：空間向量共線的判定例3.（23-24高二上·全國·練習）已知空間四邊形ABCD，點E?F分別是AB與AD邊上的點，M?N分別是BC與CD邊上的點，若，，，，則向量與滿足的關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，所以共線，同理，由，，得，所以共線，所以共線，即.故選：B.【變式3-1】（23-24高二上·貴州·開學考試）如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．當時，點在棱上B．當時，點在線段上C．當時，點在棱上D．當時，點在線段上【答案】B【解析】對于，當時，，，所以，則點在棱上，故正確；對于，當時，，，即，即所以點在線段上，故錯誤；對于，當時，，，所以，所以，即，所以點在棱上，故正確；對于，當時，所以，，所以，即，即，所以點在線段上，故正確．故選：．【變式3-2】（23-24高二上·全國·課后作業）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點，判斷與是否共線？【答案】共線.【解析】因為M?N分別是AC?BF的中點，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以.又，所以.所以，即，即與共線.【變式3-3】（23-24高二上·江蘇·專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．【答案】證明見解析．【解析】，，，，，因為、無公共點，故.考點四：由空間向量共線求參數例4.（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數）是平行向量，則的值為（

）A．16 B．-13 C．3 D．-3【答案】C【解析】因為是不共面的空間向量且，故，則，解得，所以.故選：C.【變式4-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，設，即，可得，解得，故.故選：D.【變式4-2】（23-24高二上·遼寧·期中）設向量不共面，已知，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因為，，所以，因為三點共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.【變式4-3】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）設是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點共線，則實數k的值為．【答案】【解析】因為，，可得，又因為三點共線，可設，即，因為不共線，可得，解得，所以實數的值為.考點五：向量（四點）共面的判定例5.（23-24高二下·江蘇泰州·月考）為空間任意一點，若，若，，，四點共面，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，可化簡為：，即，由于，，，四點共面，則，解得：；故選：C【變式5-1】（23-24高二上·福建·月考）在下列條件中，一定能使空間中的四點M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A選項：，所以A錯；B選項：，所以B錯；C選項：原式可整理為，所以C正確；D選項：原式可整理為，，故D錯.故選：C.【變式5-2】（23-24高二上·全國·專題練習）對于空間一點和不共線三點，且有，則（

）A．四點共面 B．四點共面C．四點共面 D．五點共面【答案】B【解析】由，可得，即，根據平面向量的基本定理，可得共面，又因為三個向量有公共點，所以四點共面.故選：B.【變式5-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）若向量，，不共面，則下列選項中三個向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對于A中，設，可得，解得，所以向量共面，不符合題意；對于B中，設，可得，解得所以向量共面，不符合題意；對于C中，設，可得，此時方程組無解，所以向量不共面，符合題意；對于D中，設，可得，解得所以向量共面，不符合題意；故選：C.考點六：由向量（四點）共面求參數例6.（23-24高二下·江蘇·月考）已知向量不共面，則使向量共面的實數x的值是（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】因為共面，所以存在實數，使得，所以，解得.故選：A.【變式6-1】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C為空間中不共面的四點，且，若P，A，B，C四點共面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為P，A，B，C四點共面，所以，所以.故選:C．【變式6-2】（23-24高二下·湖南常德·入學考）已知為空間任意一點，滿足任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】因為為空間任意一點，，所以，所以，因為A，B，C，P滿足任意三點不共線，但四點共面，所以，解得．故選：C．【變式6-3】（23-24高二上·山東·期中）在四面體中，點滿足，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】如圖所示，根據空間向量的線性運算法則，可得，因為，可得，所以.故選：B.一、單選題1．（23-24高二上·江西景德鎮·期末）在空間四邊形中，化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B2．（23-24高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點，則，所以.故選：C3．（23-24高二上·山東濟南·期末）在三棱柱中，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知.故選：D4．（23-24高二上·廣東廣州·期末）在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，中，，A不是；對于B，中，，B不是；對于C，化為，，C不是；對于D，中，，D是.故選：D5．（23-24高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面【答案】C【解析】若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故A錯誤；同理若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故B錯誤；根據空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯誤.故選：C6．（22-23高二下·江蘇宿遷·月考）已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點不共面 D．，，，四點共面【答案】D【解析】對于A，，不存在實數，使得成立，與不共線，A錯誤；對于B，，，，又，不存在實數，使得成立，與不共線，B錯誤；對于C、D，若，，，四點共面，則有，，即，故，故，，，四點共面，C錯誤，D正確.故選：D.二、多選題7．（23-24高二下·云南保山·開學考試）下列關于空間向量的命題中，不正確的是（

）A．長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量B．平行且模相等的兩個向量是相等向量C．若，則D．兩個向量相等，則它們的起點與終點相同【答案】BCD【解析】對于選項A：由相等向量的定義知A正確；對于選項B：平行且模相等的兩個向量也可能是相反向量，B錯；對于選項C：若兩個向量不相等，但模長仍可能相等，例如不共線的單位向量，C錯；對于選項D：相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個向量的有向線段的起點不要求相同，D錯，故選：BCD．8．（23-24高二上·安徽馬鞍山·月考）下列命題正確的是（

）A．若，則與，共面B．若，則共面C．若，則共面D．若，則共面【答案】ABD【解析】選項A，根據共面向量基本定理可知，與，共面；所以選項A是正確的；選項B，根據共面向量