PAGEPAGE1《三角形的中位線》教案【教學目標】理解三角形中位線的概念，探索并證明三角形的中位線定理；能應用三角形的中位線定理解決相關問題.【教學重難點】教學重點是探索并證明三角形的中位線定理；教學難點是探索并證明三角形的中位線定理。【教學過程】教學環節教學內容設計意圖前面我們研究平行四邊形時，常常把它分成幾個三角形，利用三角形全等的性質研究平行四邊形的有關問題，今天我們利用平行四邊形的知識解決三角形的問題。問題1：如圖1，DC是△ABC的中線，思考下列問題：有什么數量關系？ADBD1AB,2與的面積有什么關系？ S S 1S .2延長到使連接四形是什么四邊形？倍長中線是由三角形中線構造全等三角形的 用方法此外根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.如圖2，△ABC中，DC是△ABC的中線，點E是AC的中點，連接DE，1、開門見山提出今天的學習內容，讓學生初步明確接下來的主要研究方法。2（1）從學生熟悉的中線引入，逐步過渡到兩個中點的情況，由淺入一、復習2）引通過添加輔助線，引導學生發現倍知新長中線除了可以構造全等三角形外，還可以構造平行四邊形，為接下來的學習做鋪墊.3、繼續利用中線平分三角形面積的性質，得到新的結論，讓學生自然地發現連接兩個中點的線段比中S S 1S則可以得到三角形的中線因此 2 ，S 1S4.發學習興趣。A像這樣連接三角形兩邊中點的線段叫做三角 形的中位線． D EB C問題2:如圖是的中位線與BC有怎樣的關系？分析：兩條線段的關系有兩種——位置關系和數量關系，通過觀察，我們可以猜想與平行，那么與有什么數量關系呢？我們的一半。猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半問題3:如何證明這個猜想？分析：1、這個猜想的結論有兩個對于線段平行，我們可以用同位角、內錯角相等或者同旁內角互補進行證明，也可以用最近學習的平行四邊形的性質證明線段相等的方法有很多，其中包括最近學習的平行四邊形的對邊相等，而圖中沒有現成的平行四邊形，因此我們嘗試構造與有關的平行四邊形。那么如何構造平行四邊形呢？2上截取，或過作。的方法，通過倍長，我們得到，而是中點，因此、可以得到平行四邊形，所以和平行且相等，而D是中點，通過代換，得到平行且等于的一半，就得到我們的兩個結論了，下面我們來看詳細證明過程。1、對于線段的關系，引導學生從數量關系和位置關系兩方面進行分析，進而通過直觀觀察和實驗操作——平移線段，從而得到猜想。二、深入探索，證明猜想2、通過詳細、嚴謹的分析，引導學生聯系已學的知識與方法，證明定理，體會其中的數學思想方法，提高學生的推理論證能力。小結：回顧整個證明過程，我們通過構造了平行四邊形，把三角形的問題轉化為平行四邊形的問題，利用平行四邊形的判定及性質完成證明.歸納定理：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三 A邊且等于第三邊的一半．D E的1B C中點，則21如圖兩點被池塘隔開在外選一點連 A 接AC和BC.怎么測出A，B兩點間的距離？依據是什么？C B法取中點連接根?=1?, A 測2量可得的長度； MC N BP法二：延長至使延長至使連接根據??=1??,測量可得的長度. A2MC N B Q2、如圖，在中分別是的中 ，以這些點為頂點，在圖中，你能畫出多少個平行四邊形？為什么？三個，分別是□ADFE，1、通過兩道教材的課后練習鞏固學生對定理的理解；三、鞏固2、其中練習1是練習，體一個實際問題，可悟思想以讓學生感受數學來源于數學，引導學生運用三角形的中位線定理解決，從兩個角度進行作圖求解，感悟轉化思想。。四、課堂華主題今天這節課我們探索并證明了三角形的中位線定理，三角形的中位線有廣泛的應用。通過回顧本節課體會轉化思想。五、作業布置1、必做《陽光學業評價》 34頁：第7題2、選做：查閱相關資料，探究“三角形中位線定理”的其他證法勵學生繼續探究“三角形中位線定理”的其他證和學習興趣。知能演練提升能力提升1.從下面所給的∠A,∠B,∠C,∠D的度數之比中,能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()A.2∶3∶2∶3 B.2∶2∶3∶3C.1∶2∶3∶4 D.1∶2∶2∶32.已知:點D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,如圖所示.求證:DE∥BC,且DE=12BC證明:延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,DC,AF,又AE=EC,則四邊形ADCF是平行四邊形,接著以下是排序錯誤的證明過程:①∴DF∥BC;②∴CF∥AD,即CF∥BD;③∴四邊形DBCF是平行四邊形;④∴DE∥BC,且DE=12BC則正確的證明順序應是()A.②→③→①→④ B.②→①→③→④C.①→③→④→② D.①→③→②→④3.如圖,在?ABCD中,O是BD的中點,EF過點O,下列結論:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四邊形ABOE=S四邊形CDOF,其中正確結論的個數為()A.1 B.2 C.3 D.44.如圖,在△ABC中,D,E分別是邊AC,AB的中點,連接BD.若BD平分∠ABC,則下列結論錯誤的是()A.BC=2BE B.∠A=∠EDAC.BC=2AD D.BD⊥AC5.已知一個四邊形的邊長分別是a,b,c,d,其中a,c為對邊,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,則該四邊形為.

6.如圖,在平行四邊形ABCD中,點M為邊AD上一點,AM=2MD,點E,點F分別是BM,CM的中點,若EF=6,則AM的長為.

7.如圖,點D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,連接BE,過點C作CF∥BE,交DE的延長線于點F,若EF=3,則DE的長為.

8.如圖,在正六邊形ABCDEF中,M,N是對角線BE上的兩點.添加下列條件中的一個:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四邊形AMDN是平行四邊形的是(填序號).

9.如圖,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC,CF⊥BE,連接AE,G是AB的中點,連接GF,若AE=4,求GF.10.如圖,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,順次連接E,F,G,H,得到的四邊形EFGH叫中點四邊形.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.創新應用★11.右圖是某市部分街道的示意圖,A,D,F在同一直線上,F是CE的中點,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE.甲、乙兩人同時從住所B地步行到F地辦公,若甲走的路線是B—A—E—F;乙走的路線是B—D—C—F,假設兩人行走的速度相同,那么誰先到達辦公地點F?請說明理由.★12.在勞動課上,老師要求同學們做一個含有45°角的平行四邊形木板,現只有一塊如圖所示的等腰直角三角形的木板,請你在不浪費材料的前提下設計出一種合理的方案,并證明你的方案正確.知能演練·提升能力提升1.A2.A3.C∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正確;∴S△ABD=S△CDB=12S平行四邊形ABCD,∠ODE=∠OBF.∵O是BD的中點,∴OD=OB又∵∠DOE=∠BOF,∴△ODE≌△OBF(ASA),∴S△ODE=S△OBF,EO=FO≠ED,故②不正確;∵S△ABD=S△CDB,S△ODE=S△OBF,∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF,即S四邊形ABOE=S四邊形CDOF,故④正確.綜上所述,正確結論的個數為3.4.C易知DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,BC=2DE.又BD平分∠ABC,可得∠EBD=∠EDB,∴DE=BE=AE.∴BC=AB=2BE,∠A=∠EDA,故選項A,B都正確;又D為AC的中點,∴BD⊥AC.故選項D也正確.5.平行四邊形由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,可得(a-c)2+(b-d)2=0,即a=c,b=d,則這個四邊形一定是平行四邊形.6.8∵點E,點F分別是BM,CM的中點,∴EF是△BCM的中位線.∵EF=6,∴BC=2EF=12.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC=12.∵AM=2MD,∴AM=8.7.32∵D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點∴DE為△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=12BC∵CF∥BE,∴四邊形BCFE為平行四邊形,∴BC=EF=3,∴DE=12BC=38.①②④解析如圖,連接AD,交BE于點O.①∵在正六邊形ABCDEF中,∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°,AB=DE,∴△AOB和△DOE是等邊三角形,∴OA=OD,OB=OE.又BM=EN,∴OM=ON,∴四邊形AMDN是平行四邊形,故①符合題意.②∵∠FAN=∠CDM,∠CDA=∠DAF,∴∠OAN=∠ODM,∴AN∥DM.又∠AON=∠DOM,OA=OD,∴△AON≌△DOM(ASA),∴AN=DM,∴四邊形AMDN是平行四邊形,故②符合題意.③∵AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN,∴△ABM與△DEN不一定全等,不能得出四邊形AMDN是平行四邊形,故③不符合題意.④∵∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,AB=DE,∴△ABM≌△DEN(AAS),∴AM=DN.∵∠AMB+∠AMN=180°,∠DNE+∠DNM=180°,∴∠AMN=∠DNM,∴AM∥DN,∴四邊形AMDN是平行四邊形,故④符合題意.故答案為①②④.9.解在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BEC,∴CB=CE.∵CF⊥BE,∴BF=EF.∵G是AB的中點,∴GF是△ABE的中位線,∴GF=12AE∵AE=4,∴GF=2.10.證明連接BD(圖略).∵E,H分別是AB,AD的中點,∴EH是△ABD的中位線.∴EH=12BD,EH∥12同理得FG=12BD,FG∥12∴EH=FG,EH∥FG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.創新應用11.解同時到達.理由:如圖,連接BE,交AD于點G.∵BA∥DE,BD∥AE,∴四邊形ABDE是平行四邊形.∴AB=DE,BD=AE,EG=GB.又F是CE的中點,∴GF是△EBC的中位線,∴GF∥BC.∵EC⊥BC,∴EC⊥GF,∴GF是EC的垂直平分線,∴DE=DC,∴AB=DC.因此,有BA+AE+EF=BD+DC+CF,所以兩人同時到達F地.12.解方案:如圖,取AC,BC的中點E,D,連接ED,沿著ED鋸開,使點E不變,點C與點