概率論與數理統計（慕課版）4.3協方差和相關系數第4章數字特征與極限定理2前面我們介紹了一維隨機變量的數學期望和方差,對于二維隨機變量,除每個分量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯系,我們現在要討論的就是反映分量之間關系的數字特征——協方差和相關系數第3講

協方差和相關系數01協方差和相關系數的概念02協方差的計算03協方差和相關系數的性質04隨機變量的矩本講內容稱為X,Y的協方差.記為若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的記為協方差和相關系數的概念4??定義01

協方差和相關系數的概念相關系數協方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系,但它還受X與Y本身度量單位的影響.5??解釋為了克服這一缺點,對協方差進行標準化,從而引入了相關系數的概念.01

協方差和相關系數的概念01協方差和相關系數的概念02協方差的計算03協方差和相關系數的性質04隨機變量的矩本講內容cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).由協方差的定義及期望的性質,可得cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)即=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)計算協方差的簡單公式702

協方差的計算的聯合分布律為設保險公司對投保人的汽車保險和財產保險分別設定了免賠額(單位：元),現任選一位同時投保汽車保險和財產保險的客戶,X表示其汽車保單的免賠額,Y表示其財產保單的免賠額,隨機變量

YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y),8??例102

協方差的計算

YX

01002001000.20.10.20.52500.050.150.30.50.250.250.5902

協方差的計算1002

協方差的計算11解設隨機變量（X,Y）在區域上服從均勻分布，求??例2因為區域D的面積為所以(X,Y)的概率密度為則02

協方差的計算12同理故02

協方差的計算設(X,Y)~N(

1,

2;

12,

22;

)利用二維正態分布及協方差相關系數的計算公式可得二維正態分布的數字特征1302

協方差的計算01協方差和相關系數的概念02協方差的計算03協方差和相關系數的性質04隨機變量的矩本講內容存在常數a,b(a≠0),使P(Y=aX+b)=1,即X和Y以概率1線性相關協方差和相關系數的性質1503

協方差和相關系數的性質X,Y相互獨立X,Y不相關若稱X,Y不相關.顯然,若X與Y獨立,

cov(X,Y)=0,反之,X與Y之間沒有線性關系并不表示沒有關系！顯然是不相互獨立的X,Y不相關16??例303

協方差和相關系數的性質因為若X~N(0,1)且Y=X2,問X與Y是否不相關？是否相互獨立？17解??例4因為X~N(0,1),密度函數為偶函數,于是由得這說明X與Y是不相關的,但Y=X2顯然,X與Y是不相互獨立的.所以03

協方差和相關系數的性質若(X,Y)服從二維正態分布,X,Y相互獨立X,Y不相關X,Y相互獨立X,Y不相關相關系數含義及重要結論1803

協方差和相關系數的性質19解??例503

協方差和相關系數的性質已知求由方差、協方差的性質及相關系數定義利用性質簡化計算

因為X與Y相互獨立,所以則由協方差的性質設隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態分布思考：還有其他方法嗎？20解??例6已知其中a,

b為常數,求U和V的相關系數03

協方差和相關系數的性質

2103

協方差和相關系數的性質01協方差和相關系數的概念02協方差的計算03協方差和相關系數的性質04隨機變量的矩本講內容

2304

隨機變量的矩矩——X的k

階原點矩——X的k

階中心矩——X,Y的k+l

階混合原點矩——X,Y的k+l

階混合中心矩拓展例題本講內容設離散型隨機變量X與Y的聯合分布律為

YX-10100.070.180.1510.080.320.20求X與Y的相關系數25??例102

協方差的計算由于解2602

協方差的計算從而X與Y的相關系數設隨機變量（X,Y）具有概率密度27??例2其他求02

協方差的計算28其他02

協方差的計算29解設X,與Y為兩隨機變量,且已知求:??例3的數學期望;02

協方差的計算（2）（3）的方差.（1）(1)(2)3002

協方差的計算(3)31解

習題課??例4設隨機變量

服從區間

上的均勻分布，令

，求利用性質簡化計算將一枚硬幣重復擲??次,X與Y分別表示正面向上和反面向上的次數,則X與Y的相關系數等于32解??例5所以所以03

協方差和相關系數的性質33證明設二維隨機變量(X,Y)的概率密度證明:??例603

協方差和相關系數的性質（2）X與Y