概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）1.2概率第1章隨機(jī)事件與概率01頻率與概率02古典概率03幾何概率本講內(nèi)容301

頻率與概率設(shè)在n

次試驗(yàn)中，事件A

發(fā)生了m

次，

1.頻率與概率則稱為事件A發(fā)生的頻率

.401

頻率與概率頻率的穩(wěn)定性

試驗(yàn)表明：盡管“出現(xiàn)正面”這個(gè)結(jié)果具有偶然性，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，“出現(xiàn)正面”的“可能性”越來接近于常數(shù)0.5.——這個(gè)性質(zhì)稱為“頻率的穩(wěn)定性”.歷史上的幾位數(shù)學(xué)家拋硬幣的試驗(yàn),觀察出現(xiàn)正面的情況試驗(yàn)者投擲次數(shù)正面次數(shù)正面頻率De.Morgan204810610.518Buffon404020480.5069K.Person1200060190.5016K.Person24000120120.5005例如501

頻率與概率

概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀易懂缺點(diǎn)：粗糙模糊不便使用01頻率與概率02古典概率03幾何概率本講內(nèi)容在概率論發(fā)展的歷史上，最早研究的一類最直觀、拋擲一枚均勻的硬幣，或拋擲一顆均勻的骰子，這類隨機(jī)試驗(yàn)，它們都有如下的兩個(gè)特點(diǎn)：702

古典概率??例1最簡(jiǎn)單的問題是等可能摡型，在這類問題中，樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的.基本事件的個(gè)數(shù)有限.??結(jié)論具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)E稱為古典概型.每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E為古典概型，記:對(duì)古典概率的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為對(duì)樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)802

古典概率古典概率概率的古典定義.??注問題，該問題通?？梢越柚帕薪M合公式以及加法和乘法原理等進(jìn)行計(jì)算.

則

樣本空間S中所包含的基本事件的個(gè)數(shù).

事件A中所包含的基本事件的個(gè)數(shù).902

古典概率??加法原理??乘法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第i種方式有ni種方法，則完成這件事共有：n1+n2+?+nm

種不同的方法.設(shè)完成一件事需要m個(gè)步驟，第i個(gè)步驟有ni種方法，則完成這件事共有：n1×n2×…×nm

種不同的方法.1002

古典概率??排列公式??組合公式從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同排列總數(shù).從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同組合總數(shù).

1102

古典概率??例2從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)組成四位數(shù)，則所有可能組成的四位數(shù)共有多少個(gè).解

1202

古典概率??例3從10名辯論賽培訓(xùn)隊(duì)員中選出4名組成一個(gè)參賽隊(duì)，問共有多少種組隊(duì)方法？解按組合的定義，組隊(duì)方法共有

（種）（1）作放回抽樣（每次抽取后記錄結(jié)果，然后放回）；（2）作不放回抽樣（抽取后不再放回）；1302

古典概率??例4

箱中放有a+b個(gè)外形一樣的手機(jī)充電器（不含充電線），其中a個(gè)充電器具有快充功能，其余b個(gè)沒有快充功能，k(k≤a+b)個(gè)人依次在箱中取一個(gè)充電器，求第i(i=1,2,?,k)人取到具有快充功能的充電器（記為事件A）的概率.例1.3（1）放回抽樣的情況下，每個(gè)人都有a+b

種抽取1402

古典概率解法，古典概率的定義:（抽到具有快充功能的充電器）包含a種抽取方法，由于其中a個(gè)充電器具有快充功能，因此事件A由

1502

古典概率（2）在不放回抽樣的情況下，k個(gè)人依次抽取，根據(jù)乘

法原理，完成抽取后樣本空間共有個(gè)基本結(jié)果.于事件A

要求第i人抽到具有快充功能的充電器，由第i人有a種取法，其余k?1人從剩余的a+b?1個(gè)充電器

種取法，中任選k?1

個(gè)，有

種基本結(jié)果，由古典概率的定義：A共包含根據(jù)乘法原理事件因而

1602

古典概率從該例可以看出，無論是放回抽樣還是不放回抽樣，抽到具有快充功能充電器的概率都和抽取順序無關(guān).此問題和抽簽問題類似，因此從概率意義上，抽簽是公平的，不必爭(zhēng)先恐后.設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，現(xiàn)從這N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率.1702

古典概率解超幾何公式.??注令A(yù)={恰有k件次品}??例1.4

01頻率與概率02古典概率03幾何概率本講內(nèi)容古典概型考慮了樣本空間僅包含有限個(gè)樣本點(diǎn)的等(1)設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為μ(S);S1903

幾何概率??幾何概型(古典概型的推廣)可能概率模型，但等可能概型還有其它類型，間為一線段、平面或空間區(qū)域等，幾何概型，思路如下：如樣本空這類等可能概型稱為該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域(2)向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是:S20的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān).03

幾何概率設(shè)事件A是S的某個(gè)區(qū)域，它的面積為μ(A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為：SA21

03

幾何概率22(3)假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件A的概率仍可用確定，只不過把

理解為長(zhǎng)度

或體積即可.03

幾何概率23幾何概率率為:設(shè)樣本空間為有限區(qū)域S,若樣本點(diǎn)落入S內(nèi)任何區(qū)域A中的概率與區(qū)域A的測(cè)度成正比,則樣本點(diǎn)落入A內(nèi)的概03

幾何概率

某城際列車每1小時(shí)發(fā)一班車,某人開完會(huì)后到候車廳候車，求他候車時(shí)間少于10分鐘的概率.??例1.524解以分鐘為單位,記上一班車發(fā)出時(shí)刻為0，下一班車發(fā)出時(shí)刻為60,因此這個(gè)人到達(dá)候車廳的時(shí)間必在區(qū)間(0,60)內(nèi),記“等待時(shí)間短于10分鐘”為事件A，則有03

幾何概率25

于是：03

幾何概率

某銷人員和客戶相約7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等候另一人半個(gè)小時(shí)，過時(shí)就離開.如果每個(gè)人可在指定的一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá)，試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率.??例1.6（會(huì)面問題）

26解記7點(diǎn)為0時(shí)刻，x,y分別表示甲、乙兩人到達(dá)指定03

幾何概率地點(diǎn)的時(shí)刻，則樣本空間為：

27以A表示“兩人能會(huì)面”，如圖所示，根據(jù)題意，這是一個(gè)幾何概型，于是

03

幾何概率則有11212121|x-y|＜Oyx

拓展例題本講內(nèi)容29

古典概率??例1解貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自甲產(chǎn)地，3件來自乙產(chǎn)地.現(xiàn)從貨架上隨機(jī)抽取兩件，求這兩件商品來自同一產(chǎn)地的概率.A1表示“兩件商品都來自甲產(chǎn)地”，A2

表示“兩件商品都來自乙產(chǎn)地”.即樣本空間中有105個(gè)樣本點(diǎn).有從15件商品中取出兩件，共30

古典概率事件A1

要求兩件商品都來自甲產(chǎn)地，因而事件A1

共包

含個(gè)樣本點(diǎn)，個(gè)樣本點(diǎn).

同理事件包含而事件A=“兩件上商品來自同一產(chǎn)地”可以表示A1∪A2

，且事件A1

和事件A2

互斥，k=k1+k2=69個(gè)樣本點(diǎn)，所以這兩件上商品來自同一產(chǎn)地的概率：因而事件A包含

假設(shè)該醫(yī)院白內(nèi)障手術(shù)的時(shí)間沒有規(guī)定,而病人在一周的任一天去醫(yī)院是等可能的.則5次白內(nèi)障手術(shù)都在周二、周四的概率為31??例2解

某醫(yī)院一周曾做過5次白內(nèi)障手術(shù),已知這5次手術(shù)都是在周二和周四進(jìn)行的,請(qǐng)問是否可以推斷該醫(yī)院白內(nèi)障手術(shù)的時(shí)間是有規(guī)定的?

古典概率32人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”（實(shí)際推斷原理），

概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由現(xiàn)在

懷疑假設(shè)的正確性，來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的.從而推斷接待站不是每天都接待

古典概率33??例3某福利彩票游戲規(guī)則：購買者從01~35共35個(gè)號(hào)碼中選取7個(gè)號(hào)碼作為一注進(jìn)行投注，7個(gè)號(hào)碼中6個(gè)為基本號(hào)碼另外1個(gè)號(hào)碼為特別號(hào)碼，每注彩票2元，每期銷售彩票總金額的50%用來作為獎(jiǎng)金.

古典概率獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置為一等獎(jiǎng)：選7中6+1（不考慮基本號(hào)碼的順序）；二等獎(jiǎng)：選7中6；三等獎(jiǎng)：選7中5+1；四等獎(jiǎng)：選7中5；五等獎(jiǎng)：選7中4+1；六等獎(jiǎng)：選7中4；七等獎(jiǎng)：選7中3+1.試計(jì)算單注中獎(jiǎng)概率.34解這一類型彩票游戲可以看作不放回摸球問題：袋中有35個(gè)（同類型）球，其中6個(gè)紅球1個(gè)黃球，28個(gè)一個(gè)白球.現(xiàn)不放回從袋中取7個(gè)球，求7個(gè)球中恰有i個(gè)紅球和j個(gè)黃球的概率，i=0,1,…6；j=0,1.

因此中一等獎(jiǎng)的概率

古典概率

35類似可求得單注中k等獎(jiǎng)的概率pk，k＝2,…,7，它們分別為：

古典概率36單注中獎(jiǎng)概率為：

通過以上可以看出單注中獎(jiǎng)的概率不到2%，而中頭獎(jiǎng)的概率僅有百萬分之一點(diǎn)五左右，根據(jù)實(shí)際推斷原理，偶爾買一次彩票就中大獎(jiǎng)幾乎是不可能的.

古典概率37??例4

（分房模型）設(shè)有k

個(gè)不同的球,每個(gè)球等可能地落入N

個(gè)盒子中（），設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無限，求下列事件的概率：（1）某指定的k

個(gè)盒子中各有一球；（2）某指定的一個(gè)盒子恰有m個(gè)球（）；

（3）恰有k個(gè)盒子中各有一球.

古典概率（1）某指定的k

個(gè)盒子中各有一球（3）恰有k

個(gè)盒子中各有一球（每個(gè)盒子至多一球）（2）某指定的一個(gè)盒子恰有m

個(gè)球()38

古典概率解

某班級(jí)有k(k≤365)個(gè)人，求k

個(gè)人的生日均不相同的概率.??例4（“分房模型”的應(yīng)用）下一講揭曉.等價(jià)于：恰有k

個(gè)盒子中各有一球39

古典概率

問：如何求“至少有兩人同生日”的概率？解40

古典概率??例5袋子里有1~10號(hào)球，任取3個(gè)，求：(1)最小號(hào)碼為5的概率；(2)最大號(hào)碼為5的概率；(3)中間號(hào)碼為5的概率。

則只需從前3次中任選