第第頁浙江省紹興市2023-2024學年高一下學期6月期末數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數1?2i的共軛復數是()A．1?2i B．1+2i C．?1+2i D．?1?2i2．用斜二測畫法畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖，所得圖形的面積是()A．4 B．22 C．2 D．3．十名工人某天生產同一批零件，生產的件數分別是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，則這組數據的極差、眾數、第一四分位數分別是()A．3，17，12 B．5，16，14 C．7，17，14 D．7，17，134．已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列命題正確的是()A．若m//α，n?α，則m//nB．若m//α，m//β，則α//βC．若m?α，α⊥β，則m⊥βD．若m⊥α，n⊥α，則m//n5．已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=CD=1，AD=3，若BD=xBCA．34 B．1 C．54 6．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB?bcosA．?18 B．18 C．?7．如圖是一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(C)=5，n(A∪B)=16，則()A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件C互為對立 D．事件A與事件C相互獨立8．如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=3.面積為3的平行四邊形ACEF繞AC旋轉，且E?平面A．平面EFB⊥平面EFD B．平面ABF⊥平面ABCC．平面ABF⊥平面BCF D．平面ABF⊥平面ADF二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9．下列說法正確的是()A．復數2+i的模為5B．復數z=1?i的虛部為?1C．若z1=2i，zD．若復數z1，z2滿足z10．已知一組樣本數據x1，x2，x3，x4，x5，x6的標準差s≠0A．2x1，2x2，2x3B．x1?x，x2?x，xC．x1，x2，x4，D．2x1?x，2x2?x11．如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F，G分別為棱A．EG⊥GFB．平面EFG經過棱AB中點HC．平面EFG截該正方體，截面面積的最大值為3D．點D到平面EFG距離的最大值為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．拋擲兩枚質地均勻的骰子，則事件“兩枚骰子的點數都為奇數”的概率是．13．已知向量a與b的夾角為60°，|a|=|b|=1，則向量a在向量14．正四棱錐的外接球半徑為R，內切球半徑為r，則Rr的最小值為四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(0,2)，（1）求|AB|及向量OA與（2）若AB//(2OA+t16．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側面PAB是正三角形，AD⊥平面PAB，M，N分別為AB，PC的中點．（1）證明：MN//平面PAD；（2）求四棱錐P?ABCD的體積．17．某機構對甲、乙兩個工廠生產的一批零件隨機抽取部分進行尺寸檢測，統計所得數據分別畫出了如下頻率分布直方圖：根據乙工廠零件尺寸的頻率分布直方圖估計事件“乙工廠生產的零件尺寸不低于60?cm”的頻率為0.70．（1）估計甲工廠生產的這批零件尺寸的平均值；（2）求乙工廠頻率分布直方圖中a，b的值，并求乙工廠被測零件尺寸的中位數(結果保留兩位小數)；（3）現采用分層抽樣的方法，從甲工廠生產的零件中隨機抽取尺寸在[40,50)和[70,80)內的零件3個，從乙工廠生產的零件中隨機抽取尺寸在[40,50)和[80,90)內的零件18．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AB⊥DE，AB//EF，AB=BD=6，EF=4，∠EAD=∠EAB，cos∠EAB=（1）證明：BD⊥平面ACE；（2）求點E到平面ABCD的距離；（3）求側面ADE與側面BCF所成二面角的正切值．19．克羅狄斯·托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四邊形(所有內角都小于180°的四邊形)中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號．已知圓O是凸四邊形ABCD的外接圓，其中CD=3（1）若圓O的半徑為r，且∠CBD=2∠ABD，(ⅰ)求∠ABD的大小；(ⅱ)求AC?BD的取值范圍(用r表示（2）若AD=1，BC=2，∠ADC∈2π3,

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由共軛復數的定義可知1?2i的共軛復數為1+2故答案為：B.【分析】根據共軛復數的定義即可得解.2．【答案】C【解析】【解答】解：用斜二測畫法畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖如圖，根據斜二測畫法的規則可知，O'A=2，O'所以直觀圖的面積為O'故答案為：C.【分析】由斜二測畫法的規則畫出直觀圖，即可得解.3．【答案】C【解析】【解答】解：從小到大排序，10,極差為17?10=7，眾數為17，10×2500=2故答案為：C.【分析】排序，由極差，眾數以及第一四分位數的定義，代入計算即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：A、若m//α,n?α，則B、若m//α,m//β，則C、若m?α,α⊥β，則m可能與β平行，可能與βD、垂直于同一平面的兩條直線平行，故D正確.故答案為：D.【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系逐一分析求解．5．【答案】B【解析】【解答】解：建立平面直角坐標系，如圖，

A(0因為BD=xAD=AB+BD=CD→=CB→所以2+2y=2x，x?y=1.故答案為：B.【分析】建立平面直角坐標系，由平面向量基本定理求BD=xBC+yBA，6．【答案】A【解析】【解答】解：因為acos由正弦定理可得sinA又因為sinC=所以sinA即?2sin又B∈(0,π)故答案為：A.【分析】利用正弦定理和誘導公式及兩角和的正弦公式計算即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵n(AB、∵∵n∴P(A)P(C、∵∴P(A)+P(D、由圖可知n(A∩C)=0，所以P(故答案為：B.【分析】根據互斥事件和對立事件以及事件相互獨立的定義逐項判斷即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，

過D作直線DM∥AC在矩形ABCD中，AB=1,BC=3平行四邊形ACEF的面積為3，所以平行四邊形ACEF的高為32△ABC中，令D到AC的距離為h，所以1所以平行四邊形ACEF繞AC旋轉時，會經過B、D，形成如圖所示半圓由旋轉體的性質可知，AC⊥平面BNM，所以又BN?平面BNM在半圓BNM中，BM為直徑，所以BN⊥NM，EF∩NM=N，EF?平面因為BN?平面EFB，所以故答案為：A.【分析】利用旋轉體的性質，發現B、D在平行四邊形ACEF繞AC旋轉得到的旋轉體上，從而得到EF⊥BN，9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、|2+B、z=1?i的虛部為?1C、虛數不能比較大小，故C錯誤；D、令z1=i故答案為：AB.【分析】根據復數模長公式和虛部的定義可判斷AB；根據虛數不能比較大小可判斷C；舉反例可判斷D.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因為x1,x2,x3A、2x1,B、x1?xC、s2=又x1,x設數據x1,x2,所以s12>D、2x1?故答案為：ACD.【分析】根據方差（標準差）的性質及方差公式逐項判斷即可.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：如圖，

B、記M為D1C1的中點，棱AB的中點取線段A1D1上的點N使得A1N=λ，設正方體ABCD?A1B1C1D1的中心為O，則所以O在平面EFG內，而FG∥BC1∥HM，故所以平面EFG截該正方體的截面就是O為中心的六邊形EHGFMN，所以H一定在平面EFG內，故B正確；A、B中已經證明FG∥MH，同理有NE∥因為A1N=A1E=CF=CG=從而EN=FG=λ2+由于EN=FG=2?λ故四邊形ENMH和GFMH都為等腰梯形，從而OE=ON，OF=OG.這表明線段EF和GN互相平分且長度相等，所以四邊形是EGFN矩形，故EG⊥GF，故A正確；C、由于四邊形ENMH和GFMH都是等腰梯形，且上底均為2?λ，下底均為腰長均為λ2?2λ所以它們的面積都等于12所以截面EHGFMN的面積S=(當λ=34D、因為DO=12DB1所以D到平面EFG的距離不超過32當λ=12時，E而OE=OF=OG=22，所以點D和點O到所以點D和點O在平面EFG的投影同樣滿足到E,所以點D和點O在平面EFG的投影都是△EFG所以由點D和點的投影是同一點，知DO垂直于平面EFG.從而由O在平面EFG內，知點D到平面EFG的距離就是DO的長，即32所以，點D到平面EFG的距離的最大值是32故答案為：ABD.【分析】記M為D1C1的中點，取線段A1D1上的點N使得A1N=λ12．【答案】1【解析】【解答】解：記A=“兩枚骰子的點數都為奇數”，拋擲兩枚質地均勻的骰子，可能結果有6×6=36個，其中事件A包含的基本事件有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3所以P(故答案為：14【分析】根據古典概型的概率公式計算即可.13．【答案】3【解析】【解答】解：a?(a+b向量a在向量a+b上的投影向量的模為故答案為：32【分析】計算出|a+b14．【答案】2【解析】【解答】解：如圖，

設正四棱錐P?ABCD底面邊長為a，高為h，底面ABCD的中心為M，連接PM,BM則BM=22a，PM=h設外接球球心為O1，內切球球心為O2，則O1，O因為PO1=B在Rt△O1MB中，(因為VP?ABCD=13a2h=13a令k=ha，得令t=4k2令m=t?1(m>0)，得Rr=m2+2m+22m=m故答案為：2+1【分析】設出底面邊長和高，結合正四棱錐外接球與內切球性質用底面邊長及高表示出外接球半徑與內切球半徑，作商，多次換元后結合基本不等式即可得解.15．【答案】（1）因為AB=(?3,?1)設向量OA與OB的夾角為θ，則cosθ=因為θ∈[0,π]，所以θ=π（2）因為2OA又AB//(2所以3(t+4)+所以t=?2．【解析】【分析】（1）求出AB的坐標，求出|AB（2）求出2OA16．【答案】（1）證明：如圖，取PD的中點Q，連接AQ，QN，因為在△PDC中，Q，N分別為PD，PC的中點，所以QN//CD，且QN=1因為在正方形ABCD中，M為AB的中點，所以AM//CD，且AM=1所以AM//QN，且AM=QN，所以四邊形AMNQ是平行四邊形，所以MN//AQ，又AQ?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN//平面PAD．（2）解：連接PM，因為AD⊥平面PAB，PM?平面PAB，所以AD⊥PM，因為側面PAB是正三角形，M為AB的中點，所以PM⊥AB，因為AB?AD=A，AB，AD?平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，所以四棱錐P?ABCD的體積V=1【解析】【分析】（1）取PD的中點Q，連接AQ，QN，可得四邊形AMNQ是平行四邊形，從而證明線線平行，由線面平行的判定定理即可得證；（2）連接PM，證明PM垂直于底面，從而確定PM為錐體的高，再利用體積公式求解即可.17．【答案】（1）因為35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.2+75×0.1+85×0.05=55.5，所以，估計甲工廠生產的這批零件尺寸的平均值為55.5cm.（2）由10a+0.2+0.15=0.7，得a=0.035，由0.05+10b+0.15=0.3，得b=0.01.設乙工廠被測零件尺寸的中位數為x，則0.005×10+0.01×10+0.015×10+0.035×(x?60)=0.5，解得x=655所以，乙工廠被測零件尺寸的中位數為65.71cm．（3）因為采用分層抽樣，所以，從甲工廠生產的零件中抽取尺寸在[40,50)內的零件2個，尺寸在[70,80從乙工廠生產的零件中抽取尺寸在[40,50)內的零件2個，尺寸在[80,90從8個零件中任取2個零件的取法有28種，兩個零件的尺寸都在[40,50)內的取法有所以兩個零件的尺寸都在[40,50)內的概率為【解析】【分析】（1）結合頻率分布直方圖，由平均數的公式代入計算即可；（2）由頻率之和為1即可求得a,（3）由分層抽樣可得抽取的8個零件中[40，50)個數為4，再由古典概型的概率的公式計算即可.18．【答案】（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因為∠EAB=∠EAD，AB=AD，AE=AE，所以△EAB≌△EAD，所以EB=ED．設AC∩BD=G，連接EG，

則G為BD的中點，BD⊥EG，又EG∩AC=G，EG、AC?平面ACE，所以BD⊥平面ACE．（2）解：如圖，

過點E作EH⊥AC，垂足為H，因為BD⊥平面ACE，EH?平面ACE，所以BD⊥EH，又BD∩AC=G，BD、AC?平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD，所以點E到平面ABCD的距離即為線段EH的長度．因為DE⊥AB，EH⊥AB，DE，EH?平面EDH，所以AB⊥平面EDH，又DH?平面EDH，所以AB⊥DH，易知△ABD為正三角形，所以點H為△ABD的中心．延長DH交AB于點I，則I為AB的中點，因為所以AB⊥平面EDH，EI?平面EDH，所以EI⊥AI，在Rt△AEI中，AI=3，cos∠EAB=所以AE=4，因為AH=3所以EH=A所以點E到平面ABCD的距離為2．（3）解：過點H作BC的平行線分別交AB，CD于點J，K，則BJ=CK=4，因為EF=4，AB//EF，所以EF//BJ，EF=BJ，EF//CK，EF=CK，所以四邊形EFCK和四邊形EFBJ均為平行四邊形，所以EK//CF，EJ//BF，所以平面JKE//平面BCF．過點E作直線m//JK，則平面ADE∩平面JKE=m，過點H作HL⊥AD，垂足為L，連接LE．因為HL⊥JK，EH⊥JK，HL，EH?平面EHL，HL∩EH=H，所以JK⊥平面EHL，所以m⊥平面EHL，又LE，EH?平面EHL，所以m⊥LE，m⊥EH，所以∠LEH為二面角A?m?J的平面角