第第頁湖北省武漢市部分重點中學2023-2024學年度下學期高一期末聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數z滿足(1?z)i=2，則復數z的虛部為()A．?i B．?1 C．2i D．22．已知向量a與b的夾角為30°，|a|=3，A．1 B．2?3 C．2+3 3．已知一組數據8，4，7，6，5，3，9，10，則這組數據的25%分位數是()A．3.5 B．4 C．4.5 D．54．在某次比賽中運動員五輪的成績互不相等，記為xi(i=1,2,3,4,5)，平均數為A．新數據的極差不可能等于原數據的極差B．新數據的中位數可能等于原數據的中位數C．若x=D．若x=y，則新數據的第40百分位數一定大于原數據的第5．《天工開物》是我國明代科學家宋應星所著的一部綜合性科學技術著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計劃實踐這種方法，為同學們準備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質圓桶，圓桶底面外圓的直徑為20cm，高為20cm.首先，在圓桶的外側面均勻包上一層厚度為1cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向將粘土層分割成四等份(如圖)，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學制作四片瓦，全年級共1000人，需要準備的粘土量(不計損耗)約為(????)?(參考數據：π≈3.14)A．1.3m3 B．1.5m3 C．6．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α//β，l//α B．α⊥β，l⊥βC．α與β相交，且交線平行于l D．α與β相交，且交線垂直于l7．如圖，在平面四邊形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC=30°，∠BAC=45°現將△ACD沿AC折起，并連接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱錐D?ABC的外接球的表面積為A．14 B．34 C．388．已知棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1，點E是棱AB的中點，點F是棱CC1的中點，動點P在正方形A．[13,19] B．[335二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9．供電部門對某社區100位居民6月份人均用電情況進行統計后，按人均用電量分為[0,10)，[10,20)，[20,30)，A．6月份人均用電量人數最多的一組有40人B．6月份人均用電量在[30,40)內的有C．6月份人均用電量不低于20度的有50人D．在這100位居民中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居民用電量在[20,30)10．將一個直徑為8cm的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件可以是()A．底面直徑為8cm，高為6cm的圓柱體B．底面直徑為6cm，高為4cm的圓錐體C．底面邊長為4cm，高為6cm的正四棱柱D．棱長為6cm的正四面體11．已知圓錐SO的底面半徑為10cm，其母線SA長40cm，底面圓周上有一動點B，下列說法正確的有()A．截面SAB的最大面積為100B．若∠AOB=π3，則直線SB與平面SOAC．當三棱錐O?SAB的體積最大時，其外接球的表面積為1700πcD．若C∈SA，且CA=10cm，一只小螞蟻從A點出發繞側面一周到達C點，先上坡后下坡，當它爬行的路程最短時，下坡路段長為18cm三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若D為BC邊的中點，則|13．某水平放置的平面圖形ABCD的斜二測直觀圖是梯形A'B'C'D'(如圖所示)，已知A'14．如圖所示，某甜品店將上半部是半球(半球的半徑為2)，下半部是倒立的圓錐(圓錐的高為4)的冰淇淋模型放到櫥窗內展覽，托盤是邊長為6的等邊三角形ABC金屬片沿三邊中點D，E，F的連線向上折疊成直二面角而成，則半球面上的最高點到平面DEF的距離為．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosA?b（1）求角A的大小;（2）若a=23，求b+c16．如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，AB//DC，AB⊥BC，AB=4，BC=DC=2，PA=PB=3，點M為PB的中點．（1）求證：CM//平面PAD;（2）求二面角P?BD?C的余弦值．17．近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經成為推動消費的一種流行的營銷形式.某直播平臺1200個直播商家，對其進行調查統計，發現所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．（1）該直播平臺為了更好地服務買賣雙方，打算隨機抽取60個直播商家進行問詢交流.如果按照比例分層抽樣的方式抽取，則應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家?（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對(1)中抽取的60個商家的平均日利潤進行了統計(單位：元)，所得頻率分布直方圖如圖2所示.請根據頻率分布直方圖計算下面的問題：(ⅰ)估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數與平均數(結果保留一位小數，求平均數時同一組中的數據用該組區間的中點值作代表);(ⅱ)若將平均日利潤超過430元的商家評為“優秀商家”，估計該直播平臺“優秀商家”的個數．18．如圖所示，在三棱錐O?ABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．（1）證明：OC⊥AB;（2）若△ABC是邊長為2的等邊三角形，點O到平面ABC的距離為263.試問直線OB與平面ABC所成夾角是否為定值，若是則求出該夾角的余弦值;（3）在(2)的條件下，取OB中點為P，并取一點Q使得AQ=λAC(0<λ<1).當直線PQ與平面ABC所成角的正切值最大時.試求異面直線OQ19．已知數據x1，x2，?xn的平均數為x，方差為sx2，數據y1，y2，?，yn的平均數為y，方差為sy2.類似平面向量，定義n維向量OP=(x1?x,x2（1）當n=2時，若向量OP=(?3,?4)，OQ=(5,?12)，求OP與OQ（2）當n=3時，證明：?①3?②（3）當n∈N?，n≥2時，探究(OP

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：(1?z)i則z=1+2i，虛部為2故答案為：D.【分析】本題考查復數的除法運算.先變形得：1?z=2i，再利用復數的除法運算：分子和分母同時乘以i求出2．【答案】A【解析】【解答】解：|=3?2×故答案為：A.【分析】本題考查復數的模長公式.先根據平面向量的模長可得：|a3．【答案】C【解析】【解答】解：數據從小到大排序：3，4，5，6，7，8，9，10，共8個，則8×25%=2，則這組數據的25%分位數是：故答案為：C.【分析】本題考查百分位數的定義.先將數據進行排序，再求出數位，利用百分位數定義可求出25%分位數．4．【答案】B【解析】【解答】解：A：若隨機刪去任一輪的成績，恰好不是最高成績和最低成績，此時新數據的極差等于原數據的極差，A錯誤；B：不妨假設x1當12(x此時新數據的中位數等于原數據的中位數，B正確；C：若x=根據方差的計算公式，分子不變，分母變小，所以方差會變大，則新數據的方差一定大于原數據方差，C錯誤；D：若x=因為5×40%=2，此時原數據的刪去一個數據后的4個數據，從小到大的順序排列，可得4×40%此時新數據的40%顯然新數據的40%分位數小于原數據的40故答案為：B.【分析】本題考查極差、中位數、平均數和方差的定義，百分位數的定義.若刪去任一輪的成績，恰好不是最高成績和最低成績，根據極差的定義可判斷A選項；當12(x2+5．【答案】A【解析】【解答】解：由條件可得四片瓦的體積V=π×11則1000名學生，每人制作4片瓦共需粘土的體積為1000×420π=420000π（c所以共需粘土的體積為約為1.故答案為：A【分析】本題考查圓柱的體積計算公式.先利用圓柱體積公式求出四片瓦的體積，據此可求出需準備的粘土量，選出答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：由m⊥平面α，直線l滿足l⊥m，且l?α，所以l//α，

又n⊥平面β，l⊥n,l?β，所以l//β，

由直線m,n為異面直線，且m⊥平面α,n⊥平面β，則α與β相交，

否則，若α//β則推出【分析】本題考查空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系.根據m⊥平面α，利用直線與平面垂直的性質可推出l//α；根據n⊥平面β，利用直線與平面垂直的性質可推出l//β，進而可推出α與β相交，利用反證法若α//β則推出m//n，與7．【答案】D【解析】【解答】解：∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC,BC?平面∴BC⊥平面ACD，

又∵AD?平面ACD，

∴AD又∵AD⊥DC,BC∩DC=C,BC?平面BCD，DC?平面BCD，∴又∵BD?平面BCD，∴AD⊥BD又∵∠ACB為直角，∴取AB的中點O，連接OC由直角三角形的斜邊上的中線性質OA=OB=OC=OD，可得O為三棱錐D?ABC外接球的球心，由三棱錐D?ABC外接球的表面積為8π，可得外接球的半徑r=∴AB=22∵BC⊥平面ACD，∠∴三棱錐D?ABC的體積為13故答案為：D【分析】先利用平面與平面垂直的性質可推出BC⊥平面ACD，進而可推出AD⊥BC，根據題意利用直線與平面垂直的判定定理可證明AD⊥平面BCD，進而可推出∠ADB為直角，又∠ACB為直角，利用直角三角形的性質可推出外接球的球心為斜邊AB8．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，取BB1上靠近點B的四等分點G，連接EG、由E是棱AB的中點，點F是棱CC1的中點，易得則EG?平面DEF，取C1D1、A1A中點H、J，取D連接B1H、HI、IJ、由正方體的性質易得HI//JB1，又HI?平面DEF，EG?平面DEF，所以HI//平面DEF同理，IJ//平面DEF又IJ∩IH?I，IJ,IH?平面HIJB又PB1//平面DEF，P∈平面A即點P的軌跡為線段IJ，設點D到IJ的距離為d，有S△DIJ=又PDmax=DJ=42故答案為：C.【分析】本題考查平面與平面平行的判定，平面與平面平行的性質.先作出正方體，再取BB1上靠近點B的四等分點G，連接EG、FG，過點B1作出與平面DEF平行的平面，利用正方體的性質和平面與平面平行的判定定理可證明HIJB1//平面DEF，據此可推出點P的軌跡為線段IJ，設點D到IJ的距離為d，利用等面積法可求出9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A：根據頻率分布直方圖知，6月份人均用電量人數最多的一組是[10有100×0.B：6月份人均用電量在[30,40C：6月份人均用電量不低于20度的頻率是(0有100×0.D：用電量在[20,30所以在這100位居民中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居民用電量在[20,30故答案為：ACD【分析】本題考查頻率分布直方圖.觀察可得6月份人均用電量人數最多的一組是[10,20)，利用頻數=頻率×樣本容量可求出人數判定A選項；利用10．【答案】B,D【解析】【解答】解：A：若圓柱的底面直徑為8，此時球心到圓柱底面的距離為0，A錯誤；B：若圓錐的底面直徑為6，則半徑為3，此時球心到圓錐底面的距離為42故圓錐的高最大時為4+7C：若正四棱柱底面邊長為4，則底面外接圓半徑為22此時球心到正四棱柱底面的距離為42故正四棱柱的高最大時為42D：法一：若正四面體的棱長為6，則底面外接圓半徑為23此時球心到正四面體底面的距離為42棱長為6cm的正四面體的高為62?(法二：若將各棱長均為6cm的四面體放入到棱長為3此時正方體的外接球直徑為3×3故答案為：BD.【分析】本題考查球的內接幾何體問題.利用球截面的性質可推出球心到圓柱底面的距離為0，由此可判斷A選項；利用勾股定理可求出球心到圓錐底面的距離，據此可判斷圓錐的高最大時為4+7>4，判斷B選項；先利用勾股定理求出球心到正四棱柱底面的距離，據此可判斷正四棱柱的高最大時為42<6，判斷C選項；法一：先求出底面外接圓半徑，再利用勾股定理求出球心到正四面體底面的距離和棱長為6cm的正四面體的高，通過比較可判斷D選項；法二：將各棱長均為11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A，因為sin∠ASO=OASA所以S△B，如圖，取OA中點H，則BH⊥OA，又BH⊥SO，所以BH⊥面SOA，所以∠BSH為直線SB與平面SOA所成的角，所以sin∠BSH=C，易知當三棱錐O-SAB體積最大時，OB⊥面SOA，此時三棱錐可以補成以OA，OB，OS為三相鄰邊的長方體，所以外接球直徑2R=O外接球表面積為4πD，將圓錐側面展開如下，扇形弧長為20πcm，所以∠AS過S作SD⊥A'C于D，則所求路徑即為由SA'=40所以A'C=50cm，且故答案為：ACD.【分析】本題考查直線與平面所成的角，球內接幾何體問題，圓錐側面展開圖.先利用正弦的定義求出sin∠ASO，利用三角形的面積公式進行計算可得S△SAB≤2S△SOA=10015cm2，據此可判斷A選項；取OA中點H，利用直線與平面的垂直的判定定理可證明BH⊥面SOA，據此可推出∠BSH為直線SB與平面SOA所成的角，利用正弦的定義可求出∠ASB正弦值，判斷B選項；當三棱錐O-SAB體積最大值時，三棱錐可以補成長方體，據此可求出外接球直徑，求出球的表面積，判斷C選項；將圓錐側面展開，過12．【答案】19【解析】【解答】解：由D為BC邊的中點，則AD=則|=1故答案為：19【分析】本題考查平面向量的數量積運算.先根據三角形的中線向量公式可得AD=13．【答案】3【解析】【解答】解：由題可得AB=2A'B'=2，AD=則所得圓臺上底面為以AD為半徑的圓，下底面為以BC為半徑的圓，高為AB，其母線為CD=2故其側面積S=π故答案為：35【分析】本題考查合斜二測法.利用斜二測法可推出圓臺上、下底面半，利用勾股定理可求出母線CD長度，再利用圓臺的側面積公式進行計算可求出該圓臺的側面積.14．【答案】6+【解析】【解答】解：設上面球心為O1，△ABC的圓心為O2，ABC三點在底面投影的正三角形A圓錐的頂點為M，EF邊中點為N，連接DN,BN，則O1由幾何關系可得O1由題意可得BN=DN=12×6×在幾何體中，設△ABC的外接圓半徑為r則由正弦定理可得2r2=由△MBO2∽△MP所以半球面上的最高點到平面DEF的距離為2+4?MO故答案為：6+3【分析】本題考查球內接幾何體問題.先畫出底面展開圖，設上面球心為O1，△ABC的圓心為O2，ABC三點在底面投影的正三角形A1B1C1的中心為O3，圓錐的頂點為M，EF邊中點為N，連接DN,BN15．【答案】（1）由正弦定理得：2sin∴sin∵A∈(0,π2)，∴sinA≠0（2）由正弦定理得：asinA=bsin∴b+c=4∴b+c=43sin(B+π6);

∵△ABC為銳角三角形，

∴π3<B+π6即b+c的取值范圍為(【解析】【分析】本題考查利用正弦定理解三角形.

（1）先利用正弦定理進行邊化角，再利用兩角和的正弦公式可求出cosA=（2）先利用正弦定理化簡可得b=4sinB，c=4sinC，利用輔助角公式化簡可得：b+c=43sin(B+16．【答案】（1）取AP中點G，連接GM，GD，如圖1，

因為M是PB中點，則

MG//AB且MG=12又AB//CD，AB=2CD，

所以MG//CD且MG=CD，

所以MGDC是平行四邊形，所以CM//DG，DG?平面ADP，CM?平面ADP，

所以CM//平面PAD;

（2）取AB中點F，連接PF，CF，CF交BD于點O，連接OP，

由已知AB//DC，AB⊥BC，AB=2CD，得CDFB是正方形，CF⊥BD，PA=PB，則PF⊥AB，因為平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，PF?平面PAB，

所以PF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，

所以PF⊥BD，

又BD⊥FC，PF∩FC=F，PF，FC?平面PFC，所以BD⊥平面PFC，又OP?平面PFC，所以BD⊥OP，所以∠POC是二面角P?BD?A的平面角，

又OF=2，PF=5，

所以cos∠POF=OFOP=即二面角P?BD?C的余弦值為?14【解析】【分析】本題考查直線與平面平行的判定，二面角.

（1）取AP中點G，連接GM，GD，利用三角形的中位線定理可推出MG//AB且MG=12AB，再結合已知條件，利用平行四邊形的判定定理可證明MGDC（2）取AB中點F，連接PF，CF，CF交BD于點O，連接OP，根據條件可證明PF⊥AB，利用平面與平面垂直的性質可證明PF⊥平面ABCD，進而可推出PF⊥BD，再結合條件可證明BD⊥平面PFC，利用直線與平面垂直的性質可得BD⊥OP，據此可得∠POC是二面角P?BD?A的平面角，利用余弦的定義可求出二面角P?BD?C的余弦值.17．【答案】（1）60×(1?25%所以應抽取小吃類24家，生鮮類9家；（2）(i)由題意可得(0.001×3+a+0.003+0.005+0.007)×50=1，

解得a=0.002，設中位數為x，因為(0.001+0.003)×50=0.2，(0.001+0.003+0.007)×50=0.55，所以(x?300)×0.007+0.2=0.5，

解得x≈342.9，平均數為(225×0.001+275×0.003+325×0.007+375×0.005+425×0.002+475×0.001+525×0.001)×50=352.5，所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數為342.9，平均數為352.5．(ii)(450?430所以估計該直播平臺“優秀商家”的個數為168．【解析】【分析】（1）根據分層抽樣的定義利用樣本容量乘以抽取比例可求出答案；（2）①根據頻率和等于1可列出方程，解方程可求出a的值；設中位數為x，利用中位數的定義可列出方程，解方程可求出x的值，求出中位數；利用頻率分布直方圖中平均數的計算公式可求出平均數；②先求出樣本中平均日利潤超過430元的商家評為“優秀商家”的比例，據此可求出總體中“優秀商家”的個數.18．【答案】（1）解：過O作OH⊥平面ABC于點H，延長AH交BC于點M，延長BH交AC于點N，BC?平面ABC，則

OH⊥BC，BC⊥OA，OH∩OA=O，則BC⊥平面OAH，

∵AH?平面OAH∴BC⊥AH;同理由AC⊥OB可證明AC⊥BH，

∴H為△ABC的垂心

∴AB⊥CH，AB⊥OH，CH∩OH=H，則AB⊥平面OHC.OC?平面OHC，

∴AB⊥OC．（2）∵OH⊥平面ABC，

則直線OB與平面ABC所成的角即為∠OBH，

∵△A