?排列問題題型分類：

1.信號問題

2.數字問題

3.坐法問題

4.照相問題

5.排隊問題

＜組合問題題型分類：

L幾何計數問題

2.加乘算式問題

3.競賽問題

4.選法問題

?常用解題方法和技巧

1.優(yōu)先排列法

2.總體淘汰法

3.合理分類和精確分步

4.相鄰問題用捆綁法

5.不相鄰問題用插空法

6.依次問題用“除法〃

7.分排問題用干脆法

8.試驗法

9.探究法

10.消序法

11.住店法

12.對應法

13.去頭去尾法

14.樹形圖法

15.類推法

16.幾何計數法

17.標數法

18.對稱法

分類相加，分步組合,有序排列，無序組合

＜根底學問（數學概率方面的根本原理）

一.加法原理：做一件事情，完成它有N類方法，

在第一類方法中有Mi中不同的方法，

在其次類方法中有M2中不同的方法，……，

在第N類方法中有Mn種不同的方法，

那么完成這件事情共有M1+M2+.........+Mn種不同的方法。

乘法原理：假如完成某項任務，可分為k個步驟，

完成第一步有m種不同的方法，

完成其次步有112種不同的方法，……

完成第k步有nk種不同的方法，

那么完成此項任務共有n,xn2X……Xnk種不同的方法。

三兩個原理的區(qū)分

■做一件事，完成它假設有n類方法，是分類問題，每一類中的方法都是獨立的，故用加法原

理。

每一類中的每一種方法都可以獨立完成此任務；兩類不同方法中的詳細方法，互

不一樣(用巨婁丕重)；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類(取至婁丕誦)

■做一件事，須要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的假設干個相互聯系的

步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理.

任何一步的一種方法邨丕熊完感此任務，絲費?縣界變■殘夔完成這n步才能完成此

任務；各”讓婺翅J獨女;只要有一步中所實行的方法不同，那么對應的完成此

事的方法也不同

■這樣完成一件事的分“類〃和“步”是有本質區(qū)分的，因此也將兩個原理區(qū)分開來.

四.排列及組合根本公式

1.排列及計算公式

從n個不同元素中，任取m(mWn)個元素根據肯定的依次排成一列，叫做從n個不同元

素中取出m個元素的一個排列：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的全部排列的個數,

叫做從n個不同元素中取出田個元素的排列數，用符號七表示.

P"n=n(n-l)(n-2)...(n-m+1)

行(規(guī)定。川

2.組合及計算公式

從n個不同元素中，任取m(mWn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素

的一個組合；從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的全部組合的個數，叫做從n個不同

元素中取出m個元素的組合數.用符號C*表示.

n!

C=P11/m］二---------

一般當遇到m比擬大時(經常是m>0.5n時)，可用。=CT來簡化計算。

n

規(guī)定：Cn=l,C°n=l.

3.n的階乘(n!)——n個不同元素的全排列

P>n!=nX(n-1)X(n-2)-3X2X1

五.兩個根本計數原理及應用

1.首先明確任務的意義

【例1】從1、2、3、……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，

這樣的不同等差數列有個。

分析:首先要把困難的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。

設a,b,c成等差，,2b=a+c,可知b由a,c確定，

又??,2b是偶數，,a,c同奇或同偶,

即：從1,3,5,……，19或2,4,6,8,……,20這十個數中

選出兩個數進展排列，由此就可確定等差數列，

如：a=Lc=7,那么b=4(即每一組a,c必對應唯一的b,另外1、4、7和7、4、1按

同一種等差數列處理〕

2

.,.C10=10X9=90,同類(同奇或同偶)相加，即此題所求=2X90=180。

【例2】某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距一樣，如圖,

假設規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路途前進,

那么從M到N有多少種不同的走法？

分析:對實際背景的分析可以逐層深化

（―）從M到N必需向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上還是向右，確定了不同的走法。

（三）事實_L,當把向，的步驟確定后，剩下的步驟只能向右。

從而，任務可表達為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數，

???此題答案為:056。

2.留意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合。

采納加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必需前后統一。

留意排列組合的區(qū)分與聯系：全部的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；

同樣，組合如補充一個階段（排序）可轉化為排列問題。

【例3】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A,B兩種作物，每種種植一壟，

為有利于作物生長，要求A,B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有種。

分析:條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟〃這個條件不簡單用一個包含排列

數，組合數的式子表示，因而實行分類的方法。

第一類：A在第一壟，B有3種選擇；

其次類：A在其次壟，B有2種選擇；

第三類：A在第三壟，B有1種選擇，

同理A、B位置互換，共12種。

【典型問題】

第二屆“近庚金杯”少年數學邀請賽?復賽第13題

1.恰殍能被6,7,8,9整除的五板數百多少個?

【分析與解】6、7、8、9的最小公倍數是504,五位數中，最小的是10000,最大為99999.

因為10000+504：19……424,99999+504=198……207.

所以，五位數中，能被504整除的數有198-19-179個.

所以恰好能被6,7,8,9整除的五位數有179個.

①魅級數：***

北京市第九屆“迎春杯”數學競賽?決賽第二題第9題

2.小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1,2,3,…，13.

假如從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數的乘積，可以得到很多不相等的乘積.

那么，其中能被6整除的乘積共有多少個？

【分析與解】這些積中能被6整除的最大一個是13X12=26X6,最小是6.

但在1X6?26X6之間的6的倍數并非都是兩張卡片上的乘積,

其中有25X6,23X6,21X6,19X6,17X6這五個不是.

???所求的積共有26-5=21個.

@）@級數：***

3.1,2,3,4,5,6這6個數中，選3個數使它們的和能被3整除,那么不同的選法有幾種?

【分析與解】被3除余1的有1,4；

被3除余2的有2,5；

能被3整除的有3,6.

從這6個數中選出3個數，使它們的和能被3整除，

那么只能是從上面3類中各選一個，因為每類中的選擇是相互獨立的,

???共有2X2X2二8種不同的選法.

>>級數：***

1993年全國小學數學奧林匹克?總決賽二試第2題

4.同時滿意以下條件的分數共有多少個？

①大于并且小于1；②分子和分母都是質數；③分母是兩位數.

【分析與解】由①知分子是大于1,小于20的質數.

222

假如分子是2,那么這個分數應當在一與一之間，在這之間的只有一符合要求.

10811

假如分子是3,那么這個分數應當在一3與二3之間，15與18之間只有質數17,所以分數是二3.

151817

同樣的道理，當分子是5,7,11,13,17,19時可以得到下表.

分子分數分子分數

71111

2—11

11

3A22UU

13

1767,71，73

51717

5—17

2989)?7

_3719

7—,—19

374197

于是，同時滿意題中條件的分數共13個.

跳）魅級數：***

5.一個六位數能被11整除，它的各位數字非零且互不一樣的.將這個六位數的6個數字重新排列,

最少還能排出多少個能被11整除的六位數？

【分析與解】設這個六位數為嬴兩，那么有S+C+G）、3+"+/）的差為0或11的倍數.

且〃、方、C、〃、6、/均不為0,任何一個數作為首位都是一個六位數.

先考慮a、c、e偶數位內，b、d、/奇數位內的組內交換，有石乂片=36種依次;

再考慮形如機，4*這種奇數位與偶數位的組間調換，也有P；X外;36種依次.

所以，用均不為0的。、b、c、d、e、/最少可以排出36+36=72個能被11整除的數（包含原來的

所以最少還能排出72-1=71個能被11整除的六位數.

的魅級數：**

北京市第一屆“迎春杯”數學競賽?刊賽第35題（有改動）

6.在大于等于1998,小于等于8991的整數中，個位數字與十位數字不同的數共有多少個？

【分析與解】先考慮2000?8999之間這7000個數，個位數字與十位數字不同的數共有7X10X篇=6300.

但是1998,8992?8998這些數的個位數字與十位數字也不同，且1998在1998?8991內，8992?8998這7個數

不在1998?8991之內.

所以在1998-8991之內的個位數字與十位數字不同的有6300+1-7=6294個.

跳）?級數:***

7.個位、十位、百位上的3個數字之和等于12的三位數共有多少個？

【分析與解】12=0+6+6=0+5+7=0+4+8=0+3+9=1+5+6=1+4+7

=1+3+8=1+2+9=2+5+5=2+4+6=2+3+7=2+2+8

=3+4+5=3+3+6=4+4+4.

其中三個數字均不相等且不含。的有7組，每組有尸;種排法，共7XP；=42種排法；

其中三個數字有只有2個相等且不含0的有3組，每組有6?2種排法，共有3X6+2=9種排法;

其中三個數字均相等且不含0的只有1組，每組只有1種排法；

在含有0的數組中，三個數字均不一樣的有3組，每組有2萬種排法，共有3X2X丹=12種排法；

在含有0的數組中，二個數字相等的只有1組，每組有2&+2種排法，共有2種排法.

所以，滿意條件的三位數共有42+9+1+12+2=66個.

⑥勘級數:***

*1***??.?.M9

8.一個自然數，假如它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數為“回文數〃.

例如1331,7,202都是回文數，而220那么不是回文數.

問：從一位到六位的回文數一共有多少個?其中的第1996個數是多少?

【分析與解】我們將回文數分為一位、二位、三位、…、六位來逐組計算.

全部的一位數均是“回文數"，即有9個；

在二位數中，必需為石形式的，即有9個（因為首位不能為0,下同）；

在三位數中，必需為〃%（〃、可一樣，在此題中，不同的字母代表的數可以一樣）形式的,

即有9X10=90個;

在四位數中,必需為。協〃形式的，即有9X10個;

在五位數中,必鎘為abcba形式的,即有9X10X10=900個;

在六位數中,必需為形式的，即有9X10X10=900個.

所以共有9+9+90+90+900+900=1998個，最大的為999999,其次為998899,再次為997799.

而第1996個數為倒數第3個數，即為997799.

所以，從一位到六位的回文數一共有1998個，其中的第1996個數是997799.

卷金級數廣*率等高

9.一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6:24如，那么從8時到9時這段時間里,

此表的5個數字都不一樣的時刻一共有多少個?

【分析與解】設A:BC以?是滿意題意的時刻，有A為8,B、D應從()，】，2,3,4,5

這6個數字中選擇兩個不同的數字，所以有代種選法，而C、E應從剩卜.的7個數字中

選擇兩個不同的數字，所以有乃種選法，所以共有笈乂廳=1260種選法,

即從8時到9時這段時間里，此表的5個數字都不一樣的時刻一共有1260個.

醺。級虹刎健#2

10.有些五位數的各位數字均取自1,2,3,4,5,并且隨意相鄰兩位數字(大減小)的差都是1.

問這樣的五位數共有多少個？

【分析與解】如下表,我們一一列出當首位數字是5,4,3時的狀況.

首位數字43

5-45

5-4-^

’53

所r__

45

有4-44一<

5-43

曲3-4

足4,4i[4’3

2-<

題2

意3—4

4’5

的4—乙

數2-i213

3-

字1-23

2-<

列1

表

3

1

滿意題意的6912

數字個數

因為對稱的原因，當首位數字為1時的情形等同與首位數字為5時的情形,

首位數字為2時的情形等同于首位數字為4時的情形.

所以，滿意題意的五位數共有6+9+12+9+6=42個.

@)麴級數:****.

11.用數字1,2組成一個八位數，其中至少連續(xù)四位都是1的有多少個？

【分析與解】當只有四個連續(xù)的1時，可以為11112***,211112**,*211112*,

**211112,***21111,因為*號處可以隨意填寫1或2,

所以這些數依次有2:于，22,22,2,個，共28個；

當有五個連續(xù)的1時，可以為111112**,2111112*,*2111112,**211111,

依次有2)2,2,22個，共12個;

當有六個連續(xù)的1時，可以為1111112*,21111112,*2111111,依次有2,1,2個，共5個;

當有七個連續(xù)的1時，可以為11111112,21111111,共2個：

當芍八個連續(xù)的1時，只能是11111111,共1個.

所以滿意條件的八位數有28+12+5+2+1=48個.

級數：/**

12.在1001,1002,2000這1000個自然數中，

可以找到多少對相鄰的自然數，滿意它們相加時不進位？

【分析與解】設gcd,卬為滿意條件的兩個連續(xù)自然數，有xyzw^\bcd+1.

我們只用考察面的取值狀況即可.

我們先不考慮數字9的狀況(因為d取9,那么卬為0,也有可能不進位)，

那么“只能取0,1,2,3,4；c只能取0,1,2,3,4；人只能取0,1,2,3,4；

對應的有5X5X5=125組數.

當1=9時，有正歷的下一個數為lb(c+l)O,要想在求和時不進位，必需。+(°+1)<9,

所以c此時只能取0,1,2,3,4；而人也只能取0,1,2,3,4；共有5X5=25組數.

當方=99時，有旃的下一個數為1(6+1)00,要想在求和時不進位，必需〃+7+1)W9,

所以〃此時只能取0,1,2,3,4;共有5組數.

所以，在1001,1002,…，2000這1000個自然數中，可以找到125+25+5=155對相鄰的自然數,

滿意它們相加時不進位.

跳)魅)級數：***

13.把1995,1996,1997,1998,1999這5個數分別填入圖20-1中的東、南、西、北、中5個方格內,

使橫、豎3個數的和相等.那么共有多少種不同填法?

圖20-1

【分析與解】明顯只要有“東"+“西"=“南"+“北”即可，剩下的一個數字即為“中

因為題中五個數的千位、百位、十位均一樣，所以只用考慮個位數字，

明顯有5+9=6+8,5+8=6+7,6+9=7+8.

先考察5+9=6+8,可以對應為“東"+“西"=“南"+“北"，因為"東"、"西"可以調換，“南”、

“北”可以對調，有2義2二4種填法，而“東、西”，"南、北”可以整體對調，于是有4X2=8種填法.

5+8=6+7,6+9=7+8同理均有8種填法，所以共有8X3=24種不同的填法.

跳)魅級數：***-

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北京市第十四屆“迎春杯”數學競賽?決賽第三題第4題

14.在圖20-2的空格內各填入一個一位數，使同一行內左面的數比右面的數大，同一列內上面的數比下面的數

小，并且方格內的6個數字互不一樣，例如圖20-3為一種填法.那么共有多少種不同的填法？

2

3

圖20-2

642

753

圖20-3

【分析與解】為了便利說明，標上字母：

CD2

AB3

要留意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互換.

但是，D只能取4,5,6,因為假如取7,就找不到3個比它大的一位數了.

當D取4,5,6時分別剩下5,4,3個一位大數.有B、C可以互換位置.

全部不同的填法共C；X2+C：X2+C3X2=10X2+4X2+1X2=30種.

補充選講問題

(2003年一零一中學小升初第12題)將一些數字分別填入以下各表中，要求每個小格中填入一個數字，表中的每

橫行中從左到右數字由小到大，每一豎列中從上到下數字也由小到大排列.

(1)將1至4填入表1中，方法有______________種：

(2)將?1至6填入表2中，方法有種；

【分析與解】(1)2種：如圖，1和4是固定的，另外兩格隨意選取，故有2種;

(2)5種：1和6是固定的，其他的格子不確定.有如下5種:

123124125

3|46

456356

(3)42種:由(2)的規(guī)律已經知道,3X2是5種:

對應的不是5種,因為第一排右邊的數限制了其下方的數字，滿意

條件的只有如下幾種:

另外，將以上全部狀況翻轉過來,也是滿意題意的排法，所以共21X2=42種.

的魅級數：****

北京市第九屆“迎春杯”數學競賽?決賽第二題第8題

15.從1至9這9個數字中挑出6個不同的數填在圖20-4的6個圓圈內，

使隨意相鄰兩個圓圈內數字之和都是質數.那么共能找出多少利不同的挑法?

（6個數字一樣、排列次序不同的都算同一種.）

圖20-4

【分析與解】明顯隨意兩個相鄰圓圈中的數一奇一偶，因此，應從2、4、6、8中選3個數填入3個不相鄰的

圓圈中.

第一種情況：填入2、4、6,這時3與9不能同時填入（否則總有一個與6相鄰，和3+6或

9+6不是質數）.沒有3、9的有1種；有3或9的，其他3個奇數1、5、7要去掉1個，因而有2X3=6種，共

1+6=7種.

這時7不能填入（因為7+2,7+8都不是質數），從其余4個奇數中選3個，有4

這時7不能填入，而3與9只能任選1個，因而有2種選法.

這時3與9只能任選1個，1與7也只能任選1個.因而有2X2=4種選法.

4=17種選法

20.一個骰子六個面上的數字分別為0,1,2,3,4,5,現在擲骰子，把每次擲出的點數依

次求和，當總點數超過12時就停頓不再擲了，這種擲法最有可能出現的總點數是幾？

1.從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，那么從甲地到丙地的

不同的走法共有種.

2.甲、乙、丙3個班各有三好學生3,5,2名，現打算推選兩名來自不同班的三好學生去參與校三好學生代表大會，

共有種不同的推選方法.

3.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名參與某天的一項活動，其中一名同學參與上午的活動，一名同學參與下午的活

動.有種不同的選法.

4.從a、b、c、d這4個字母中，每次取出3個按依次排成一列，共有種不同的排法.

5.假設從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，那么選派的方案

有種.

6.有&b,c,d,e共5個火車站，都有來回車，問車站間共須要打算種火車票.

7.某年全國足球甲級聯賽有14個隊參W，每隊都要與其余各隊在主、客場分別競賽一場，共進展場

競賽.

8.由數字1、2、3、4、5、6可以組成個沒有重復數字的正整數.

9.用0到9這10個數字可以組成個沒有重復:數字的三位數.

10.(1)有5本不同的書，從中選出3本送給3位同學每人1本，共有種不同的選法；

(2)有5種不同的書