抓“不變量”解題

專題簡析：

一些分數的分子與分母被施行了加減變化，解答時關鍵要分析哪些量變了，

哪些量沒有變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不

變量進行分析后，再轉化并解答。

例L

437

將方的分子與分母同時加上某數后得d，求所加的這個數。

解法一：因為分數的分子與分母加上了一個數,所以分數的分子與分母的差不變,

仍是18,所以，原題轉化成了一各簡單的分數問題：”一個分數的分子

7

比分母少18,切分子是分母的G,由此可求出新分數的分子和分母

7

分母：（61-43）4-（1-）=81

7

分子：81X-=63

81-61=20或63-43=20

437

解法二：—的分母比分子多18,-的分母比分子多2,因為分數的與分母的

o1y

7

差不變，所以將6的分子、分母同時擴大（18?2二）9倍。

7

①7的分子、分母應擴大：（61-43）4-（9-7）=9（倍）

y

②約分后所得的:在約分前是：（

yyyAyoi

③所加的數是81-61=20

答：所加的數是20。

練習1：

972

1、分數百的分子和分母都減去同一個數，新的分數約分后是二，那么減去

lolO

的數是多少？

IQ

2、分數忘的分子、分母同加上一個數后得二，那么同加的這個數是多少？

16O

35

3、—的分子、分尾加上同一個數并約分后得彳，那么加上的數是多少？

<1?/I

4、將噂這個分數的分子、分母都減去同一個數，新的分數約分后是?，那么

iyo

減去的數是多少？

例2：

將一個分數的分母減去2得g,如果將它的分母加上1,則得|,求這個分

數。

解法一：因為兩次都是改變分數的分母，所以分數的分子沒有變化，由“它的分

母減去2得!”可知，分母比分子的,倍還多2。由“分母加1得|“

可知，分母比分子的弓倍少1,從而將原題轉化成一個盈虧問題。

分子：(2+1)=12

3

分母：12X5-1=17

解法二：兩個新分數在未約分時，分子相同。

2412412

①將兩個分數化成分子相同的分數,且使分母相差3嗔=-=-=-

6O10010

②原分數的分母是：

18-1=17或15+2=17

19

答：這個分數為百O

練習2：

73

1、將一個分數的分母加上2得G,分母加上3得；o原來的分數是多少？

2、將一個分數的分母加上2得；,分母加上2得(o原來的分數是多少？

34

3、將一個分數的分母加上5得三，分母加上4得wo原來的分數是多少？

iy

4、將一個分數的分母減去9得羨，分母減去6得3o原來的分數是多少?

5

在一個最簡分數的分子上加一個數，這個分數就等于7O如果在它的分子上

減去同一個數，這個分數就等于1,求原來的最簡分數是多少。

解法一：兩個新分數在未約分時，分母相同。將這兩個分數化成分母相同的分數,

即，言，;q。根據題意，兩個新分數分子的差應為2的倍數，所

I1JL乙AJL

107

以分別想R和R的分子和分母再乘以2。所以

5_W_20]__7__U

7=28'2=TZ=28

17

故原來的最簡分數是右o

解法二：根據題意，兩個新分數的和等于原分數的2倍。所以

17

答：原來的最簡分數是右o

練習3：

5

1、一個最簡分數，在它的分子上加一個數，這個分數就等于6O如果在它的

O

分子上減去同一個數，這個分數就等于9,求這個分數。

2、一個最簡分數，在它的分子上加一個數，這個分數就等于與o如果在它的

分子上減去同一個數，這個分數就等于1,求這個分數。

7

3、一個分數，在它的分子上加一個數，這個分數就等于3o如果在它的分子

3

上減去同一個數，這個分數就等于E,求這個分數。

o

例4：

73

將一個分數的分母加3得G，分母加5得。原分數是多少？

解法一：兩個新分數在未約分時，分子相同。將兩個分數化成分子相同的分數，

791321

BP-=77,7=77o根據題意，兩個新分數的分母應相差2,而現在

yz?jZo

2121721

只相差1,所以分別將方和蕨的分子和分母再同乘以2。則G=荷=

z/zoy

4232142

匚□4，74=￡Zo=左00。所以，原分數的分母是（54—3=）51o原分數是

42

57°

9

解法二：因為分子沒有變，所以把分子看做單位“1”。分母加3后是分子的彳，

449

分母加5后是分子的Q,因此，原分數的分子是（5-3）^（--T）

Oo?

42

=42。原分數的分母是42+7X9-3=51,原分數是三。

D1

練習4：

54

1、一個分數，將它的分母加5得士,加8得三，原來的分數是多少？（用兩

b□

種方法）

2、將一個分數的分母減去3,約分后得當；若將它的分母減去5,則得（o原

IO

來的分數是多少？（用兩種方法做）

3、把一個分數的分母減去2,約分后等于彳o如果給原分數的分母加上9,約

5

分后等于，o求原分數。

例5：

有一個分數，如果分子加1,這個分數等于:：如果分母加1,這個分數就等

于:，這個分數是多少？

根據“分子加1,這個分數等于）”可知，分母比分子的2倍多2；根據“分

母加1這個分數就等于:”可知，分母比分子的3倍少lo所以，這個分數

O

3

的分子是（1+2）4-（3-2）=3,分母是3X2+2=8。所以，這個分數是［。

O

練習5：

1、一個分數，如果分子加3,這個分數等于:，如果分母加上1,這個分數等

于;，這個分數是多少？

2、一個分數，如果分子加5,這個分數等于1,如果分母減3,這個分數等于

I,這個分數是多少？

3、一個分數，如果分子減1,這個分數等于￡；如果分母加11，這個分數等

于1,這個分數是多少？

答案：

練1

1、412、173、374、16

練2

21121220

1、252、3、4、

2341

練3

92531

1、詫2、3、

4245

練4

6084165

1、672、3

101、222

練5

1、二79

2、3、

2024

特殊工程問題

專題簡析：

有些工程題中，工作效率、工作時間和工作總量三者之間的數量關系很不明

顯，這時我們就可以考慮運用一些特殊的思路，如綜合轉化、整體思考等方法來

解題。

例1:

修一條路，甲隊每天修8小時，5天完成；乙隊每天修10小時，6天完成。

兩隊合作，每天工作6小時，幾天可以完成？

把前兩個條件綜合為“甲隊40小時完成”，后兩個條件綜合為“乙隊60小

時完成”。則

1.15X8+10X6（天）

或（5X87ox6）X6]=4（天）

答：4天可以完成。

練習1：

1、修一條路，甲隊每天修6小時，4天可以完成；乙隊每天修8小時，5天可

以完成。現在讓甲、乙兩隊合修，要求2天完成，每天應修幾小時？

2、一項工作，甲組3人8天能完成，乙組4人7天也能完成。現在由甲組2

人和乙組7人合作，多少天可以完成？

3、貨場上有一堆沙子，如果用3輛卡車4天可以完成，用4輛馬車5天可以

運完，用20輛小板車6天可以運完。現在用2輛卡車、3輛馬車和7輛小

板車共同運兩天后，全改用小板車運，必須在兩天內運完。問：后兩天需

要多少輛小板車？

例2：

有兩個同樣的倉庫A和B,搬運一個倉庫里的貨物，甲需要1（）小時，乙需

要12小時，丙需要15小時。甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫，同時開始搬運。

中途丙轉向幫助乙搬運。最后，兩個倉庫同時搬完，丙幫助甲、乙各多少時'日J?

設搬運一個倉庫的貨物的工作量為“1”。總整體上看，相當于三人共同完成

工作量“2”

①三人同時搬運r

1113、

2.5F玉）=8（小時）

②丙幫甲搬了

（14X8）4=3（小時）

③丙幫乙搬了

8-3=5（小時）

答：丙幫甲搬了3小時，幫乙搬了5小

時。

練習2：

1、師、徒兩人加工相同數量的零件，師傅每小時加工自己任務的上，徒弟每

小時加工自己任務的2.師、徒同時開始加工.師傅完成任務后立即幫助

13

徒弟加工，直至完成任務，師傅幫徒弟加工了幾小時？

2、有兩個同樣的倉庫A和B,搬運一個倉庫里的貨物，甲需要18小時，乙

需要12小時，丙需要9小時。甲、乙在A倉庫，丙在B倉庫，同時開始

搬運。中途甲又轉向幫助兩搬運。最后，兩個倉庫同時搬完。甲幫助乙、

丙各多少小時？

3、甲、乙兩人同時加工一批零件，完成任務時，甲做了全部零件的，,乙每

小時加工12個零件，甲單獨加工這批零件要12小時，這批零件有多少個？

例3：

一件工作，甲獨做要20天完成，乙獨做要12天完成。這件工作先由甲做了

若干天，然后由乙繼續做完，從開始到完工共用了14天。這件工作由甲先做了

幾天？

解法一：根據兩人做的工作量的和等于單位“1”列方程解答，很容易理解。

解：設甲做了x天，則乙做了（14-x）天。

/X+T7TX（14-X）=1

乙UJL乙

X=5

解法二：假設這14天都由乙來做，那么完成的工作量就是1X14,比總工作量

1乙

多1,乙每天的能夠做量比甲每天的工作兩哦得得

得，因此甲做匕?二5（天）

練習3：

1、一項工程，甲獨做12天完成，乙獨做4天完成。若甲先做若干天后，由乙

接著做余下的工程，直至完成全部任務，這樣前后共用了6天，甲先做了

幾天？

2、一項工程，甲隊單獨做需30天完成，乙隊單獨做需40天完成。甲隊單獨

做若干天后，由乙隊接著做，共用35天完成了任務。甲、乙兩隊各做了多

少天？

3、一項工程，甲獨做要50天，乙獨做要75天，現在由甲、乙合作，中旬乙

休息幾天，這樣共用40天完成。求乙休息的天數。

例4：

甲、乙兩人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此,

兩人共用了10天才完成。如果由甲單獨加工這批零件，需要多少天才能完成？

解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率.最后求出甲單獨做需要的

天數。

17

①甲、乙同時做的工作量為鼻X（10-3）=-

OO

71

②乙單獨做的工作量為1—6=6

oo

③乙的工作效率為54-3=^?

o

④甲的工作效率為2一1=1

o“1Z

⑤甲單獨做需要的天數為=12（天）

1乙

解法二：從題中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙兩人多做了（10-8二）2天。

由此可知，甲3天的工作量相當于這批零件的2?8=1/4

34-[（10-8）4-8]=12（天）或

3X[84-（10-8）]=12（天）

答：甲單獨做需要12天完成。

練習4：

1、甲、乙兩人合作某項工程需要12天。在合作中，甲因輸請假5天，因此共

用15天才完工。如果全部工程由甲單獨去干，需要多少天才能完成？

2、一段布，可以做30件上衣，也可做48條褲子。如果先做20件上衣后，還

可以做多少條褲子？

3、一項工程，甲、乙合作6小時可以完成，同時開工，中途甲通工廠2.5小

時，因此，經過7.5小時才完工。如果這項工程由甲單獨做需要多少小時？

4、一項工程，甲先單獨做2天，然后與乙合作7天，這樣才完成全工程的一

半，已知甲、乙工作效率的比是3：2,如果這件工作由乙單獨做，需要多

少天才能完成？

例5：

放滿一個水池的水，如果同時開放①②③號閥門，15小時放滿；如果司時

開放①③⑤號閥門，12小時可以放滿；如果同時開放②?⑤號閥門，8小時可以

放滿。問：同時開放這五個閥門幾小時可以放滿這個水池？

從整體入手，比較條件中各個閥門出現的次數可知，①③號閥門各出現

3次，②④⑤號閥門各出現2次。如果上小電弓再加一個1，則是五

個閥門各放3小時的總水量。

一［???VW）?汴1考-31=6（小時）

練習5：

1、完成一件工作，甲、乙合作需15小時，乙、丙兩人合作需12小時，甲、

丙合作需10小時。甲、乙丙三人合作需幾小時才能完成？

2、一項工程，甲干3夭，乙干5天可以完成9，甲干5夭、乙干3天可完

成2。甲、乙合干需幾天完成？

3、完成一件工作，甲、乙兩人合作需20小時，乙、丙兩人合作需28小時,

丙、丁兩人合作需30小時。甲、丁兩人合作需幾小時？

4、一項工程，由一、二、三小隊合干需18天完成，由二、三、四小隊合干

需15天完成，由一、二、四小隊合干需12天完成，由一、三、四小隊

合干需20天完成。由第一小隊單獨干需要多少天？

答案：

練1

——交=7.5小時

2、II忐乂2七X7）=3天

3、（1）共同運兩天后，還剩這堆黃沙的

111乂7）義2=；

L(3X4X2+4X5*5+20X6

（2）后兩天需要小板車：7+（,）八:X2）=15輛

4ZUAO

練2

1、24-舄+卷）-10=2小時

2、2彳+)=8小時

甲幫乙：X8)=6小時

1Zlo

甲幫丙：(1-1X8)=2小時

y1o

515

3、解法一：12X(-4--)4-(1-^)=240個

o1Zo

解法二：124-(8-5)X5X12=240個

練3

1、(；X6—1)-r—yr)=3天

2、甲：(1一點X35)?(吉一小=15天

乙：35—15=20天

3、40-(1-77X40)-T—=25天

□UZb

練4

1、5X[12+(15-12)]=20天

2、48-48+30X20=16條

3、2,5X[64-(7.5-6)]=10小時

練5

111.,,

1、—【r東F飛)*】=8小時

2、14-[(1)4-(3+5)]=9.6天

3、-(M卷/)=21小時

11111.丁

人-r【/(史玉々與)+3J=54天

周期工程問題

專題簡析：

周期工程問題中，工作時工作人員（或物體）是按一定順序輪流交替工作的。

解答時，首先要弄清一個循環周期的工作量，利月周期性規律，使貌似復雜的問

題迅速地化難為易。其次要注意最后不滿一個周期的部分所需的工作時間，這樣

才能正確解答。

例1：一項工程，甲單獨做需要12小時，乙單獨做需要18小時。若甲做1小時

后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時……兩人如此交替工作，問完成

任務時需共用多少小時？

把2小時的工作量看做一個循環，先求出循環的次數。

①需循環的次數為：1小（3）巖>7（次）

1Zlo0

②7個循環后剩下的工作量是：1-（J）X7蕓

1ZlooO

1?1

③余下的工作兩還需甲做的時間為：F（小時）

Ou1乙J

④完成任務共用的時間為：2X7+（二14，（小時）

答：完成任務時需共用14；小時。

練習1：

1、一項工程，甲單獨做要6小時完成，乙單獨做要10小時完成。如果按甲、乙;

甲、乙……的順序交替工作，每次1小時，需要多少小時才能完成？

2、一部書稿，甲單獨打字要14小時，乙單獨打字要2（）小時。如果先由甲打1

小時，然后由乙接替甲打1小時；再由甲接替乙打1小時……兩人如此交替

工作，打完這部書稿共需用多少小時？

3、一項工作，甲單獨完成要9小時，乙單獨完成要12小時。如果按照甲、乙；

甲、乙……的順序輪流工作，每人每次工作1小時，完成這項工程的2/3共

要多少時間？

例2：一項工程，甲、乙合作261天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這

樣交替輪流做，恰好用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替

輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項工程由甲單獨做要多少天才能

完成？

由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數為奇數，否則不論

“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數必定相同。根據“甲先”的輪

流方式為奇數，兩種輪流方式的情況可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙之甲

豎線左邊做的天數為偶數，誰先做沒關系。豎線右邊可以看出，乙做一天等

于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。

①甲每天能做這項工程的1?26,xg二±

O1T乙XV

②甲單獨做完成的時間1磊:40（天）

答：這項工程由甲單獨做需要40天才能完成。

練習2：

1、一項工程，乙單獨做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪

流交替做，也恰好用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流

交替做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項工程由甲獨做幾天可以完成？

2、一項工程，甲單獨做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪

流交替做，恰好也用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流

交替做，比上次輪流做要多:天才能完成。這項工程由甲、乙合作合作兒天

O

可以完成？

3、一項工程，甲、乙合作12m小時可以完成。如果第一小時甲做，第二小時乙

做，這樣輪流交替做，也恰好用整數小時完成。如果第一小時乙做，第二小

時甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多1小時才能完成。這項工程由

甲獨做幾小時可以完成？

4、蓄水池有一跟進水管和一跟排水管。單開進水管5小時灌滿一池水，單開排

水管3小時排完一池水。現在池內有半池水，如果按進水、排水；進水、排

水……的順序輪流依次各開1小時，多少小時后水池的水剛好排完？

例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數

天數完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完

成時所用的天數后，還剩60個不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、

乙每天各做多少個？

由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數為奇數，否則不論

“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數必定相同。根據“甲先”的輪

流方式為奇數，兩種輪流方式的情況可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲...乙甲乙剩60個

豎線左邊做的天數為偶數，誰先做沒關系。豎線右邊可以看出，剩下的60

個零件就是甲、乙工作效率的差。

甲每天做的個數為：604-(5-3)X5=150(個)

乙每天做的個數為：604-(5-3)X3=90(個)

答:甲每天做150個，乙每天做90個。

練習3：

1、一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數

天完成。如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪

流完成時所用的天數后，還剩84個不能完成。已知師、徒工作效率的比是7：

4o師、徒二人每天各做多少個？

2、一項工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數天完成。

2

如果死一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做要多三天才能完成。如果讓

□

甲、乙二人合作，只需2-天就可以完成。現在，由乙獨做需要幾天才能完

成？

3、紅星機械廠有1080個零件需要加工。如果第一小時讓師傅做，第二小時讓徒

弟做，這樣交替輪流，恰好整數小時可以完成。如果第一小時讓徒弟做，第

二小時讓師傅做，這樣交替輪流，做到上次輪流完成時所用的天數后，還剩

60個不能完成。如果讓師、徒二人合作，只需3小時36分就能完成。師、

徒每小時各能完成多少個？

例4：打印一部稿件，甲單獨打要12小時完成，乙單獨打要15小時完成。現在,

甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1

小時；甲工作1小時，乙工作2小時……如此這樣交替下去，打印這部書稿共

要多少小時？

根據已知條件，我們可以把6小時的工作時間看做一個循環。在每一個循環

中，甲、乙都工作了3小時。

11Q

①每循環一次，他們共完成全部工程的（石+-）義3=會

ID

99

②總工作量里包含幾個9/20：1=2-

91

③甲、乙工作兩人循環后，剩下全工程的卜布X2=—

乙ULv

④由斗

所以，求甲工作1小時后剩下的工作由乙完成還需的時

*11

間為(------------=

1012"T54

⑤打印這部稿件共需的時間為：6X2+1+］二吟（小時）

答：打印這部稿件共需13；小時。

練習4：

1、一個水池安裝了甲、乙兩根進水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開

乙管，18分鐘能把空池灌滿。現在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，

乙2分鐘，甲2分鐘，乙1分鐘，甲1分鐘，乙2分鐘.如此交替下去，

灌滿一池水共需幾分鐘？

2、一件工作，甲單獨做，需12小時完成；乙單獨做需15小時完成。現在，甲、

乙兩人輪流工作，甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2

小時；甲工作2小時，乙工作1小時……如此交替下去，完成這件工作共需

多少小時？

3、一項工程，甲單獨做要50天完工，乙單獨做需60天完工。現在，自某年的

3月2日兩人一起開工，甲每工作3天則休息1天，乙每工作5天則休息一

52

天，完成全部工程的箕為幾月幾日？

4、一項工程，甲工程隊單獨做完要150天，乙工程隊單獨做完需180天。兩隊

合作時，甲隊做5天，休息2天，乙隊做6天，休息1天。完成這項工程要

多少天？

例5：

有一項工程，由甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序

輪做，恰好整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用0.5天;

如果按丙、甲、乙次序做，比原計劃多用《天。己知甲單獨做13天完成。且3

個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數必定是3的倍數余1

或余2。如果是3的倍數，三種輪流方式完工的天數，必定相同。如果按甲、乙、

丙的次序輪流做，用的天數是3的倍數余1。三種輪流方式做的情況可表示如下:

甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙;丙

丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙;甲

15

21912

從中可以退出：丙n甲；由于乙二甲一5丙二甲一鼻甲X5,又推出乙F甲;

與題中“三個工程隊的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、內的次序輪做,

用的天數必定是3的倍數余2。三種輪流方式用的天數必定如下所示：

甲乙丙，甲乙丙，...甲乙丙，甲乙

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙）甲

丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲（乙

12

由此推出：丙號甲，丙不乙

①丙隊每天做這項工程的小X；4

13乙Zo

123

②乙隊每天做這項工程的彳75

Zb6uZ

1137

③甲、乙、丙合作完工需要的時間為（T7+充+放）（天）

loZboZy

7

答:甲、乙、丙合作要國天完工。

練習5：

1、有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好

用整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用;天；如果

按丙、甲、乙次序做，比原計劃多用:天。已知甲單獨做7天完成。且3個

工程隊的工效各不相同。這項工程由甲.乙.丙合作要多少天完工？

2、有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好

整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用;天；如果按

丙、甲、乙次序做，比原計劃多用J天。已知甲單獨做10天完成。且3個工

程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

3、有一項工程，由甲、乙、丙二個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序

輪做，恰好整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用;天;

如果按丙、甲、乙次序做，比原計劃多用;天。己知這項工程由甲、乙、丙

O

7

三個工程隊同時合作，需13g天可以完成，且3個工程隊的工效各不相同。

這項工程由甲獨做需要多少天才能完成？

4、蓄水池裝有甲、丙兩根進水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開甲

管需要3小時，單開丙管需要5小時。要排光一池水，單開乙管要4小時，

單開丁管要6小時。現知池內有:池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、

丙、丁……的順序輪流各開1小時，多長時間后水開始溢出水池？

答案：

練1

1、（1）需循環的次數

1115

-《不）=7>3

（2）3個循環后剩下的工作量

111

L4玉）X3=5

（3）最后由乙做的時間

11、113

（5"6）"TO=3小時

（4）需要的總時間

1

2X3+1與=7-小時

2.（1）需循環的次數

11、140八

1,不z與）=77>8

（2）3個循環后剩下的工作量

114

一室與）乂8=麗

（3）最后由乙做的時間

---------~T~---=一小時

（4）需要的總時間

2X8+|=16|小時

3、（1）需循環的次數

21124

§+1R=7>3

（2）3個循環后剩下的工作量

2111

勺一9+冠）乂3=運

（3）最后由乙做的時間

1133

適Y=彳小時

（4）需要的總時間

2義31=6；小時

練2

1、提示：甲的效率是乙的2倍

204-2=10天

2

2、提示：乙的效率是甲的可

.1Z3T

【/X(1一1)+、】=3-天

000D

2

3、提示：乙的效率是甲的可

33

1+(14-12-X——)=21小時

□3—1+3

4、(1)需幾個周期

14-(--4)X3=?>3

(2)3個周期后剩下的水

1,11、1

2-(3)X3=W

(3)需要的時間

1119

2X3+1-(而+弓)-3=7W小時

練3

1、師傅：844-(7—4)X7=196個

徒弟：84+(7-4)X4=112個

23

2、提示：乙的效率是甲的(1-T)=空

1.(1^-2--5—2+5)=7天

3

3、3小時36分=3三小時

3

師、徒效率和：1080+3：=300個

□

師傅每小時的個數:（300+60）+2=180個

徒弟每小時的個數：（300—60）+2=120個

練4

1、提示：把6分鐘看作一個循環

（1）每循環一次的工作量

117

(藥+瓦)X(1+2)=~

7

(2)總工作量里面有幾個萬

乙f

73

因=37

(3)3個循環后剩下的工作量

71

L司X3=8

一共需要的時間

)

6X3+1+$$分鐘

2、提示：把6分鐘看作一個循環

(1)1個循環的工作量

*19

+石）X（1+2），

總工作量里面有幾個義

乙U

…9_2

1/-29

(3)3個循環后剩下的工作量

91

1-20X2=W

(4)一共需要的時間

6X2*4=尺小時

說明：2個循環后，是由甲接著干2小時，所以直接用J

IU11乙

3、提示：把12天看作一個循環

12天中甲的二作量

19

無X(3+3+3)=而

12天中乙的二作量

而X（5+5）q

總共需要的天數

5291

--z--J\2

75x(6Z

50

（12天減去最后休息的1天）

12X2-1=23天

完成全部任務的廣為3月24日。

75

4、提示：把7天看作一個周期

22

1-T（-X5-TX6）=15

OO

7X15-1=104天

練5

1、提示：按甲、乙、丙的順序輪流做，所用的整數天數為3的倍數余2,否

9Q

則與題意不符。由此推出丙的效率是甲的彳，丙的效率也是乙的亍O

o4

122

（1）丙的工作效率弓x-=—

IO乙1

OQO

（2）乙的工作效率才4--=—

4bo

12817

（3）甲、乙、丙三隊合做的天數1+（'+斤+而）=223天

2、提示：按甲、乙、丙的順序輪流做，所用的整數天數為3的倍數余1,否則

I?

與題意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的5,乙的效率是甲的彳O

CJ

（1）丙的效率J

1v乙乙U

11

，

的

效率

2乙X?X

一(--

X22

10

134

（3）甲、乙、丙三隊合做的天數1+（―+—）=4-天

1Uzuztuy

122

3、由題意可以推出，丙的效率是甲的萬=彳，丙的效率是乙的可，進而推出甲、

LJ*O

乙、丙工作效率的比是4：3：2。

74

1-（1口3§XE）=31天

9

4、提示：每四個水管輪流打開后，水池中的水不能超過可，否則開甲管的過程

<5

中水池里的水就會溢出。

2

（1）水池里的水超過W時需要幾個循環

,21、111130

=

（鼻36）+（13―4彳33-6￡）7V>4

（2）循環5次以后，池中水占

11111^3

】6+"3J4二5一6'）X5=T4

（3）總共需要的時間

4X5+（1-1）=20,小時

比較大小

專題簡析：

我們已經掌握了基本的比較整數、小數、分數大小的方法。本周將進一步研

究如何比較一些較復雜的數或式子的值的大小。

解答這種類型的題目，需要將原題進行各種形式的轉化，再利用一些不等式

的性質進行推理判斷。如：a>b>0,那么a的平方>b的平方；如果a>b>0,

11a

那么一<-；如果a>1,b>0,那么aAb等等。

abb

比較大小時，如果要比較的分數都接近1時，可先用1減去原分數，再根據

被減數相等（都是1）,減數越小，差越大的道理判斷原分數的大小。

如果兩個數的倒數接近，可以先用1分別除以這兩個數。再根據被除數相等,

商越小，除數越大的道理判斷原數的大小。

除了將比較大小轉化為比差、比商等形式外，還常常要根據算式的特點將它

作適當的變形后再進行判斷。

例h

口3777773m888884-,

比―777778和888889的大小。

這兩個分數的分子與分母各不相同，不能直接比較大小，使用通分的方法又

太麻煩。由于這里的兩個分數都接近1,所以我們可先用1分別減去以上分數，

再比較所得差的大小，然后再判斷原來分數的大小。

77777358888845

因為-777778~777778，1~888889~888889

55

777778〉888889

777773888884

所以777778<888889

練習1:

「17777775^,6666661—,

1、比牧7777777和6666663的大小。

98765987698798“一一上

2、將u而演，9877，薪，而按從小到大的順廳排列出來。

235861652971

3、比較?和，的大小。

235862652974

例2：

比較而和EH哪個分數大？

可以先用1分別除以這兩個分數，再比較所得商的大小，最后判斷原分數的

大小。

HlHU1

因為1+T777=FT=i°TTT

業imi上

'mu=mimi

1O7T7>i*

inmi

所以TTTT

練習2：

,,3