5-4-3.約數與倍數(三)

目褐

i.本講主要對課本中的：約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數性質

的應用。

2.本講核心目標：讓孩子對數字的本質結構有一個深入的認識，

例如：(1)約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數的內在關系；

(2)整數唯一分解定理：讓學生自己初步領悟“任何一個數字都可以表示為

△☆的結構，而且表達形式唯一”

mm頹流鬧撥

一、約數、公約數與最大公約數概念

(1)約數:在正整數范重內約數乂叫因數，整數a能被整數〃整除，a叫做〃的倍數，b

就叫做a的約數；

(2)公約數:如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”；

(3)最大公約數：公約數中最大的一個就是最大公約數；

(4)0被排除在約數與倍數之外

1.求最大公約數的方法

①分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來.

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21；

2|1812

②短除法：先找出所有共有的約數，然后相乘.例如：3|96,所以(12,18)=2x3=6；

32

③輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公

約數.用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大的一個數，得

第一個余數；再用第一個余數除小的一個數，得第二個余數；乂用第二個余數除第一個余數，

得第三個余數；這樣逐次用后一個余數去除前一個余數，直到余數是0為止.那么，最后一

個除數就是所求的最大公約數.(如果最后的除數是1,那么原來的兩個數是互質的).

例如，求600和1515的最大公約數：1515?600=2315；600+315=1285：

315?285=130：285+30=915：30+15=20；所以1515和600的最大公約數是15.

2.最大公約數的性質

①幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數：

②幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數：

③幾個數都乘以一個自然數〃，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以

n.

3.求一組分數的最大公約數

先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數理求出各

個分數的分子的最大公約數加g即為所求.

4.約數、公約數最大公約數的關系

（1）約數是對一個數說的；

（2）公約數是最大公約數的約數，最大公約數是公約數的倍數

二、倍數的概念與最小公倍數

（1）倍數:一個整數能修被另一整數整除，這個整數就是另一整數的倍數

（2）公倍數：在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，那么這些倍數就叫

做它們的公倍數

（3）最小公倍數：公倍數中最小的那個稱為這些正整數的最小公倍數。

1.求最小公倍數的方法

①分解質因數的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,Wl^[231,252]=22x32x7x|1=2772；

②短除法求最小公倍數；

2|1812

例如：3|96,所以[I8,12]=2x3x3x2=36；

32

③小哈

（a,b）

2.最小公倍數的性質

①兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數.

②兩個互質的數的最小公倍數是這兩個數的乘積.

③兩個數具有倍數關系，則它們的最大公約數是其中較小的數，最小公倍數是較大的數.

3.求一組分數的最小公倍數方法步驟

先將各個分數化為假分數；求出各個分數分子的最小公倍數求出各個分數分母的最

大公約數）;2即為所求.例如：邑色]=里1_="

a412（4,12）4

注意：兩個最簡分數的最大公約數不能是整數，最小公倍數可以是整數.例如：

[1I]=M=4

.23」（2,3）

4.倍數、公倍數、最小公倍數的關系

（1）倍數是對一個數說的；

（2）最小公倍數是公倍數的約數，公倍數是最小公倍數的倍數

二、最大公約數與最小公倍數的常用性質

1.兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質。

如果”為A、4的最大公約數，且A=〃以，B=mb,那么外人互質，所以A、4的

最小公倍數為〃7,活，所以最大公約數與最小公倍數有如下一些基本關系：

MAB

ab

①Ax8="0X〃心=〃皿7,即兩個數的最大公約數與最小公倍數之積等于這兩個數

的積；

②最大公約數是A、B、4+8、A-A及最小公倍數的約數.

2.兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數的乘積。

即(a力)x［a,加=〃x〃，此性質比較簡單，學生比較容易掌握。

3.對于任意3個連續的自然數，如果三個連續數的奇偶性為

向奇偶奇，那么這三個數的乘積等于這三個數的最小公倍數

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍數

6)偶奇偶，那么這三個數的乘積等于這三個數最小公倍數的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍數為336+2=168

性質(3)不是一個常見考點，但是也比較有助于學生理解最小公倍數與數字乘積之間

的大小關系，即“幾個數最小公倍數一定不會比他們的乘枳大

四、求約數個數與所有約數的和

1.求任一整數約數的個數

一個整數的約數的個數是在對其嚴格分解質因數后，將每個質因數的指數(次數)加1

后所得的乘積。

如：1400嚴格分解質因數之后為23x52*7,所以它的約數有(3+1)X(2+1)X(1+1)=4

X3X2=24個。(包括1和1400本身)

約數個數的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是

建立在開篇講過的數字“唯一分解定理”形式基礎之上，結合乘法原理推導出來的，不是很

復雜，建議給學生推導并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當一部分常考的偏難題型

考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數有多少個約數，然后再結合其他幾個條件將

原數“還原構造”出來，或者是“構造出可能的最值二

2.求任一整數的所有約數的和

一個整數的所有約數的和是在對其嚴格分解質因數后，將它的每個質因數依次從1加至

這個質因數的最高次幕求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數的所有約數的

和。

如：2I(XX)=23X3X53X7,所以21000所有約數的和為

(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式沒有第一個公式常用，推導過程相對復雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學

生找規律性的記憶即可。

mm

模塊一、運用大公約和小公倍的模型解題

如果，〃為A、B的最大公約數，根據模型知道:

MAB

ab

(1)且A=nia,B=，汕

(2)那么a、人互質

(3)所以A、"的最大公約數為“，最小公倍數為〃〃力

(4)最大公約數與最小公倍數的成績為A與4的成績

［例1］甲數是36,甲、乙兩數最大公約數是4,最小公倍數是288,那么乙數是多少？

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】2星【題型】解答

【解析】法1：根據兩個自然數的積=兩數的最大公約數x兩數的最小公倍數，有：甲數x乙

數=4x288,所以，乙數=4x288+36=32；

法2：因為甲、乙兩數的最大公約數為4,則甲數=4x9,設乙數=4x〃，貝=因

為甲、乙兩數的最小公倍數是288,貝I」288=4x9x〃，得。=8.所以，乙數=4x8=32.

【答案】32

【鞏固】已知AB兩數的最小公倍數是180,最大公約數是30,若走90,則代o

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，二試，第5題，5分

【解析】根據最小公倍數x最大公約數=Ax8,知道，^=)80x30^-90=60

【答案】60

【例2］已知兩個自然數的積為240,最小公倍數為60,求這兩個數.

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于兩個自然數的積=兩數的最大公約數x兩數的最小公倍數，可以得到，最大公

約數是240+60=4,設這兩個數分別為4〃、4b,那么(a,b)=l,且

ax〃=6O+4=15,所以。和人可以取1和15或3和5,所以這兩個數是4和60

或12和20.

【答案】這兩個數是4和60或12和20

【例3］兩個自然數的和是50,它們的最大公約數是5,試求這兩個數的差.

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】設這兩個自然數為：5a.5b,其中。與人互質，5a+5b=5O,。+人=10,經檢驗，

容易得到兩組符合條件的數：9與1或者7與3.于是，所要求的兩個自然數也有

兩組：45與5,35與15.它們的差分別是：45—5=40,35-15=20.所以，所求

這兩個數的差是40或者20.

【答案】這兩個數的差是40或者20

【鞏固】兩個自然數的和是125,它們的最大公約數是25,試求這兩個數.

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】125+25=5,5=1+4=2+3,兩數可以為25、1()0或者50、75.

【答案】兩數可以為25、100或者50、75

【例4］己知兩數的最大公約數是21,最小公倍數是126,求這兩個數的和是多少？

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】假設這兩個數是21a和21〃，易得21xax〃=126,所以ax/?=6,由。和互質，

那么就有6=lx6=2x3兩種情況.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或

21x2=42,21x3=63兩種情況.它們的和是147或105.

【答案】和是147或105

【鞏固】已知兩個自然數的最大公約數為4,最小公倍數為120,求這兩個數.

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】這兩個數分別除以最大公約數所得的商的乘積等「最小公倍數除以最大公約數的

商，120+4=30,將30分解成兩個互質的數之積：1和3(),2和15,3和10,5

和6,所以這兩個數為4與120,或8與60,或12與40,或20與24.

【答案】兩個數為4與120,或8與60,或12與40,或20與24

［例5］甲、乙兩個自然數的最大公約數是7,并且甲數除以乙數所得的商是J.乙數是

8

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】2星【題型】填空

【解析】由(甲，乙)=7,且甲：乙=9:8,由于8與9互質，所以乙數=8x7=56.

【答案】56

【例6］已知正整數a、6之差為120,它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍,那么

a、8中較大的數是多少？

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

【解析】設a>〃，有a=b+120,又設(a,〃)=d,a=pd?b=qd,(p,q)=l,且〃>g,

則［〃,>］=pqd,有pqd=1056/,所以=105=3x5x7.因為a-b=(p-q)d=120,

所以(p-q)是120的約數.

①若〃=105,q=1,則〃一夕二104,不符合；

②若〃=35，q=3，則〃-4=32,不符合；

③若〃=21,q=5,則p-q=16,不符合；

④若〃=15,“=7,則〃-4=8,符合條件.

由(〃一9)4=81=120,得d=15,從而a、6中較大的數a=pd=15xl5=225.

【答案】225

［例7］已知兩個自然數的和為54,它們的最小公倍數與最大公約數的差為114,求這兩

個自然數.

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

【解析】設這兩個自然數分別是〃心、，汕，其中用為它們的最大公約數，〃與〃互質(不妨

設根據題意有：

mb+ma=m(a+b)=54

mab-m=m(ab-1)=114

所以可以得到〃，是54和114的公約數，所以是(54,114)=6的約數.小=1,2,3或以

如果，〃=1,由〃x7(〃+〃)=54,有。+/?=54；又由〃zx("-l)=114,有他=115.

115=1x115=5x23,但是1+115=116=54,5+23=28=54,所以〃7Hl.

如果〃z=2,由〃?x(a+》)=54,有a+Z?=27；乂由〃7x("-1)=114,有〃Z?=58.

58=1x58=2x29,但足1+58=59工27,2+29=31/27,所以，〃工2.

如果〃2=3,由〃x7(〃+/?)=54,有々+〃=18；又由=114,有a〃=39.

39=1x39=3x13,但是1+39=40工18,3+13=16工18,所以〃zw3.

如果〃2=6,由〃ix(a+Z>)=54,有a+〃=9;又由加x(a6-1)=114,有出?=20.

20表示成兩個互質的數的乘積有兩種形式：20=1x20=4x5,雖然1+20=21/9,但是有

4+5=9,所以取"?=6是合適的，此時。=4,b=5,這兩個數分別為24和30.

【答案】兩個數分別為24和30

［例8］有兩個自然數，它們的和等于297,它們的最大公約數與最小公倍數之和等于693,

這兩個自然數的差是.

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】填空

【解析】兩個自然數的最大公約數是它們的和的約數，乜是它們的最小公倍數的約數，所以

是它們的最大公約數與最小公倍數的和的約數，也就是297和693的公約數，也就

是(297,693)=99的約數.99的約數共有6個，此時可以逐一分情況進行討論，但

較繁瑣.

設這兩個數分別為4和僅/,其中(4力)=1,a<b,△是它們的最大公約數.那么

(a+b)d=297,d+Md=("+1)4=693,相比得

1=^2^=工,所以3他+3=7a+7Z?,BP9ab—2k;—2IZ?+9=0?可得

a+b2973

（3a-7）（3〃-7）=40.

由于（3。-7）和（3b-7）都是40的約數且除以3余3只能為

3a-7=2[3a-7=5=3fa=4

或者《，可7得《或《

[3/>-7=20[3Z?-7=8[b=9]b=5

由于（a+b）d=297,所以（a+b）是297的約數,；不符合，所以只能為匕工，此時

4=297+（4+5）=33,這兩個數的差為—=（力一a"=33.

【答案】33

【例9]已知自然數46滿足以下2個性質：（1）從8不互質；（2）A.8的最大公約數

與最小公倍數之和為35。那么4+8的最小值是多少？

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

【解析】設（A,8）=M,那么A=Ma,3=M5,其中d方分別表示48的獨有因數。那么

[A,B]=Mabt即有（AA）+[AM=M+Ma〃=M（1+"）=35,因為46不互質,

所以加工1,而根據上面的式子必是35的因數，所以."只可能為5或7.

a=\a=2

1）當年5時，HF6,比時有<

h=6b=3

A+3=M(a+b)=5x(l+6)=35,或4+3=M(a+〃)=5x(2+3)=25

2）當』佇7時,a>4,比時有?（舍）因為（〃2）=1

A+B=M(q+Z?)=7x(l+4)=35,或4+8=Mg+Z?)=7x(2+2)=28(舍)

所以"4的最小值是25。

【答案】25

【例10]兩個整數46的最大公約數是。，最小公倍數是〃并且已知C不等于L也不

等于4或36W=187,那么小5等于多少？

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

【解析】最大公約數。，當然是〃最小公倍數的約數，因此。是187的約數，187=11X17,

。不等于1，只能是6Ml或者小17.如果6M：,那么少187Tl=176.1和8都是

176的約數，1和8不能是11,只能是22,44,88,176這四個數中的兩個，但是

這四個數中任何兩個數的最大公約數都不是11,由此得出。不能是11.現在考慮

017,那么介187-17=170,力和8是170的約數,又要是17的倍數,有34,85,

170三個數，其中只有34和85的最大公約數是17,因此，/1和〃分別是34和85,

/I+比34+85=119.

【答案】119

【例11】若a,b,。是三個互不相等的大于。的自然數，且a+6+c=1155,則它

們的最大公約數的最大值為,最小公倍數的最小值為,

最小公倍數的最大值為.

【考點】運用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第8題，10分

[解析】由于a+8+c=1155,而1155=3X5X7X11。令爐初,kmq,5ms.勿為a,b,

。的最大公約數，則加（T+S最小取7。此時爐165.

為了使最小公倍數盡量小，應使三個數的最大公約數勿盡量大，并且使48,。的最小公倍

數盡量小，所以應使〃尸165,月=1,B=2,6M,此時三個數分別為165,330,660,它們的最

小公倍數為660,所以最小公倍數的最小值為660。

為了使最小公倍數盡量小，應使三個數兩兩互質且乘積盡量大。當三個數的和一定時，為了

使它們的乘積盡量大，應使它們盡量接近。由于相鄰的自然數是互質的，所以可以令

1155=384+385+386,但是在這種情況下384和386有公約數2,而當1155=383+385+387時,

三個數兩兩互質，它們的最小公倍數為383X385X387=57065085,即最小公倍數的最大值

為57065085c

【答案】最大公約數的最大值為165,最小公倍數的最小值為660,最小公倍數的最大值為

57065085

模塊二、約數的個數與約數的和

［例12］2008的約數有()個。

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽，第4題

【解析】因為2008=2X2X2X251,所以約數有(3+1)X(1+1)=8(個)

【答案】8個

【鞏固】2008006共有()個質因數。

(力)4(而5(6)6⑦7

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】選擇

【關鍵詞】華杯賽，初賽，第2題

【解析】因為20()8()06=2006X1()00+2()06=2006X1()01=(2X17X59)X(7X11X13),共

有6個。

【答案】6個

【鞏固】105的約數共有幾個？

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，初賽，第3題

【解析】105=3X5X7,共有(1+1)X(1+1)X(1+1)=8個約數，即1,3,5,7,15,21,

35,105.

【答案】8個

【鞏固】已知300=2X2X3X5X5,則300一共有個不同的約數。

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，5年級，初賽，第5題，6分

【解析】3x2x3=18個

【答案】18

［例13］筐中有60個蘋果，將它們全部都取出來，分成偶數堆，使得每堆的個數相同。

問：有多少種分法？

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，初賽，第8題

【解析】方法一：偶數60的約數中，偶數有8個，即：2,4,6,10,12,20,30,60因

此有8種分法.

方法二：偶數個約數，即60+2=30的所有約數，30=2x3x5,所以共有

(l+l)x(l+1)x(l+l)=8個約數。

【答案】8個約數

【例14］數360的約數有多少個?這些約數的和是多少？

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】解答

【解析】360分解質因數:360=2乂2><2乂3乂3乂5=23乂32乂5；360的約數可以且只能是2"

X3"X5C,(其中凡”。均是整數，且a為0?3,6為0?2,。為0?1).因為a、b、

c的取值是相互獨立的，由計數問題的乘法原理知，約數的個數為(3+1)X(2+1)X

(1+1)=24.我們先只改動關于質因數3的約數，可以是1,3,32，它們的和為

(1+3+3?),所以所有360約數的和為(1+3+32)X2,義5卬；我們再來確定關于質因

數2的約數，可以是1,2,22,23,它們的和為(1+2+2?+23),所以所有360約數的

和為(1+3+3?)X(1+2+22+23)X5歹;最后確定關于質因數5的約數，可以是1,5,

它們的和為(1+5),所以所有360的約數的和為(1+3+3?)X(1+2+22+2)X

(1+5).于是,我們計算出值：13X15X6=1170.所以,360所有約數的和為1170.

【答案】約數有24個，和為1170

[例15]2008+〃=〃6,。力均為自然數.。有種不同的取值.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第8題

【解析】由2008+4=〃6可知，而+6=2008,而=2002。又因為2002=2X7X11X13,而

且。>6,所以。的取值有：3+C：+C：+l=14(種)

【答案】14

【鞏固】2010除以正整數M余數是15,那么小的所有可能值的個數是o

【考點】約數的個數與約數的和【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】6年級，1試，第5題

【解析】2010-15=1995,1995=3x5x7x19,1995的約數有16個，其中小于等于15的

有5個，所以滿足條件的N有11個。

【答案】11

【例16]自然數〃有45個正約數。〃的最小值為。

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第5題，8分

【解析】由于45=45x1=15x3=9x5=5x3x3,根據約數個數公式，自然數N可能分解成

a44、a]4xb\/、/、/等形式，在以上各種形式下，4的最小值分別

為2“、214X32、28X34.24X32X52,比較這些數的大小，可知

2^>2,4X32>28X34>24X32X52,所以最小值是2,x3?x5?=3600.

【答案】3600

【鞏固】自然數N有20個正約數，N的最小值為o

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第1題，8分

【解析】因為約數的個數是指數加1再相乘，所以先將20分解質因數，

20=20x1=10x2=5x4=5x2x2,若想N最小；20=5x2x2,那么指數為4、1、

b經試算，最小值為24x3x5=240。

【答案】240

【鞏固】恰有20個因數的最小自然數是()。

(J)120(//)240(O360(〃)432

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】選擇

【關鍵詞】華杯賽，初賽，第5題

【解析】820=20=2X10=4X5=2X2X5,四種情況下的最小自然數分別為：219,2葭3、

24X3\24X3X5,其中最小的是最后一個,為240。

【答案】B

【例17】設4共有9個不同的約數，8共有6個不同的約數，C共有8個不同的約數，這

三個數中的任何兩個都不整除，則這三個數之積的最小值是多少？

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】解答

【解析】本題考杳對約數個數計算公式的靈活應用

由公式的結果倒推，力有9個約數，那么符合公式的要求有，9=(2+1)(2+1),或者

9=(0+1)(8+1),若要求4的值盡可能小，則力不可能為某個質數的8次方的形式，那么說

明A的形式為4的形式，為最終滿足三個數的乘積最小的要求，那么A最小為

A=22X32,類似的可以知道B=axb~,同時為滿足最小要求B=5x22o

C為8個約數情況可能有兩種，C=mxnx/?,C=inx,其中當C=3x2,時數字最小，同

時三個數任意2個都不整除，所以此時三個數的乘枳為20x24x36=17280

【答案】17280

【例18］在1到100中，恰好有6個約數的數有多少個？

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】解答

【解析】6=lx6=2x3,故6只能表示為(5+1)或(l+l)x(2+l),所以恰好有6個約數的

數要么能表示成某個質數的5次方，要么表示為某個質數的平方再乘以另一個質

數，100以內符合前者的只有32,符合后者的數枚舉如下：

22X322X522X722X1122X1322X1722X1922X23……8個

32X232X532X732X11…??4個

52X252X3??????2個

72X2...［個

所以符合條件的自然數一共有1+8+4+2+1=16個.

【答案】16個

【鞏固】恰有8個約數的兩位數有個.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】5星【題型】填空

【解析】根據約數個數公式，先將8進行分解：8=lx8=2x4=2x2x2,所以恰有8個約

數的數至多有3個不同的質因數，分解質因數后的形式可能為A’，

.其中由于2,=128>100,所以不形式的沒有符合條件的兩位數：A七形

式中，夕不能超過3,即可能為2或3,有2x33、3x2\5x2、7x2\llx23,

共5個；XWC形式的有2x3x5、2x3x7、2x3x11、2x3x13、2x5x7,共

5個.所以共有5+5=10個符合條件的數.

【答案】10個

【鞏固】在三位數中，恰好有9個約數的數有多少個？

【考點】約數的個數與約數的和【難度】5星【題型】解答

【解析】由于9=lx9=3x3,根據約數個數公式，可知9個約數的數可以表示為一個質數

的8次方，或者兩個不同質數的平方的乘積，前者在三位數中只有2'=256符合條

件，后者中符合條件有2?><52=100、22X72=196S22X112=484.22X132=676.

32X52=225S32X72=441,所以符合條件的有7個.

【答案】7個

【例19］能被2145整除且恰有2145個約數的數有個.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】5星【題型】填空

【關鍵詞】6年級，第6題

【解析】先將2145分解質因數：2145=3x5x11x13,所以能被2145整除的數必定含有3,

5,11,13這4個質因數；由于這樣的數恰有2145個約數，所以它至多只有4個

質因數，否則至少有5個質因數，根據約數個數的計算公式，則有5個大于1的整

數的乘積等于2145,而2145只能分解成3,5,11,13的乘積，矛盾.所以所求

的數恰好只有3,5,11,13這4個質因數.

對于這樣的每一個數，分解質因數后3,5,11,13這4個因子的某次都恰好是2=(3-1),

4=(5-1),10=(11-1),12=(13—1)的一個排列，所以共有4!=24種

【答案】24個

【鞏固】能被210整除且恰有210個約數的數有個.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】填空

【解析】210=2x3x5x7,所以原數肯定含有2,3,5,7這四個質因子，而且轅次一定按

照某種順序是1,2,4,6,可以任意排列，所以有4!=24個.

【答案】24個

【鞏固】1001的倍數中，共有個數恰有1001個約數.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】6星【題型】填空

【關鍵詞】仁華學校

【解析】1001的倍數可以表示為1OO1A,由于1001=7x11x13,如果％有不同于7,11,13

的質因數，那么100lh至少有4個質因數，將其分解質因數后，根據數的約數個數

的計算公式，其約數的個數為儂+1)(g+1)(為+1)(%+1)(4+I)，其中〃之4.如

果這個數恰有1001個約數，則

(?,+1)(02+l)(aj+l)(?4+l)..(an+1)=1001=7x11X13,但是1001不能分解成4

個大于1的數的乘積，所以〃之4時不合題意，即女不能有不同于7,11,13的質

因數.那么100k只有7,11,13這3個質因數.設100M=7"xlPxl3c,則

(a+l)(Z?+l)(c+l)=1001,白+1、力+1、c+1分別為7,11,13,共有3!=6種選

擇，每種選擇對應一個1001%,所以1001的倍數中共有6個數恰有1001個約數.

【答案】6個

【鞏固】如果一個自然數的2004倍恰有2004個約數，這個自然數自己最少有多少個約數？

【考點】約數的個數與約數的和【難度】6星【題型】解答

【解析】設這個自然數是〃，2004=22X3X167,將。分解質因數，設

a=2rx3yxl672x^^4a,其中筋y,z可以是0或正整數，其余的系數都

是正整數，則這個數的約數的個數

A=(x+l)(y+l)(z+岫+1)也+1)…依+1).

因為這個自然數的2C04倍恰有2004個約數，所以

2

(x+3)(y+2)(z+2)(/?j+l)(&+1)[bn+1)=2004=2x3xl67.

可得2004(x+3)(y+2)(z+2)x+3.y+2.z+2

A(x+l)(y+l)(z+l)x+1y+\z+1'

要想使4最小，需要使9x5x2最大，

x+\y+1z+1

而匯口=3-二《3,山=2--^-<2,—=2--—<2,

x+\x+1y+\y+1z+1z+1

所以迎1<3X2X2=12,得到A)167.

A

要想使等號成立，必須x=y=z=O,〃=1,4=166,即此數為一個不是2,3,167的質

數的166次方，此時這個數的約數有167個.故這個自然數最少有167個約數.

【答案】167個

【例20］已知偶數4不是4的整數倍，它的約數的個數為12,求〃的約數的個數.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】解答

【解析】由于4是偶數但不是4的倍數，所以1只含有1個因子2,可將力分解成A=2（3,

其中勿是奇數，根據約數個數公式，它的約數的個數為（l+l）xN=12（其中N為

〃的約數個數），則4A=8B=23XB,它的約數個數為（1+3）XN=24個.

【答案】24個

【例21］已知m、〃兩個數都是只含質因數3和5,它們的最大公約數是75,已知“有12

個約數，〃有10個約數，求〃?與〃的和.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】解答

【解析】因為75=3x52,如果設機=3。、5夕，〃=3隈5\那么p、x中較小的數是1,q、y

中較小的數是2.由于一個數的約數的個數等于它分解質因數后每個質因數的次數

力口1的乘積.所以（〃+l）x（q+l）=12,（x+l）x（y+l）=10.又12=2x6=3x4,

10=2x5?由于y22,所以y+123,那么y+l=5,x+1=2,得到x=l,y=4.那

么q=2,得至lj〃=3,所以"7=33x52=675,?=3X54=I875,〃z+〃=255O.

【答案】2550

【例22］已知力數有7個約數，8數有12個約數，且人6的最小公倍數［AB］=1728,則

B=.

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】101中學

【解析】I728=26X33,由于總數有7個約數，而7為質數，所以力為某個質數的6次方，

由于1728只有2和3這兩個質因數，如果力為36,那么1728不是力的倍數，不

符題意，所以A=26,那么33為8的約數，設8=2隈33,則（A+l）x（3+l）=12,

得4=2,所以8=22x33=108.

【答案】108

［例23］一個自然數恰好有18個約數，那么它最多有個約數的個位是3?

【考點】約數的個數與約數的和【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第14題

【解析】18=2x32,根據求一個數約數個數公式知，不同的質因數可能有一至三個。但是

如果個位是3的約數盡可能多，可以構造出：/V=^'x^S,即一個質因數的個位

是3,這個質因數只有1次方，另一個質因數的個位是1,這個質因數有8次方。

這樣得到的不同的個位是3的約數有方x淀洞xM1^1x蘇、耳乂齊、…耳x淀

共有9個。

【答案】9

［例24］一個分子是1的分數，化成小數后是一個混循環小數，且循環節為兩位，不循環

也有兩位，那么這種分數共有多少個？

【考點】約數的個數與約數的和【嗖生）f望］解答

【解析】假設該混循環小數是。而cd==99〃"+",那么其中刀工。，11,22,

9900993。

33,44,55,66,77,88,99,且8X",所以99必+〃不是11和10的倍數.令

ab=x