2024-2025學年八年級（下）期末數學試卷【滬科版】考試時間：120分鐘；滿分：120分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共24題，單選10題，填空6題，解答8題，滿分120分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·江蘇泰州·期末）已知m、n是正整數，若2m+5A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是2．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·單元測試）對于兩個實數a，b，用max(a,?b)表示其中較大的數，則方程x×maxA．1，1+2 B．1，1?2 C．?1，1+2 D．3．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期中）某校八（1）班在2024年秋季運動會中，參加跳繩比賽的10名學生的參賽成績如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法正確的是（

）A．平均數是95分 B．眾數是90分 C．中位數是95分 D．方差是154．（3分）（24-25八年級·山東淄博·期中）如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD，測得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且A．48m2 B．114m2 C．5．（3分）（24-25八年級·浙江·期中）如圖，平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸正半軸上運動，以AB為對角線作平行四邊形AEBF，使得邊AE在x軸上，點E在A的右側，且AE=4，連接EF交AB于點M，當OM⊥EF時，若FA?OA=8，則點A的坐標為（

）A．1,0 B．3,0 C．2,0 D．6．（3分）（24-25八年級·福建廈門·期中）在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，點E在BC上，CE=43，若點P是菱形ABCD四條邊上異于點E的一點，CE=CP，則以下長度中，不可能是DPA．8?43 B．4 C．47?87．（3分）（24-25八年級·陜西渭南·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊分別作正方形BAHI，正方形BCFG與正方形CADE，延長BG，FG分別交AD，DE于點K，J，連接DH，IJ，H，D，E在一條直線上，圖中兩塊陰影部分的面積分別記為S1，S2，若S1：S2=1：4，四邊形BAHE的面積為27A．9 B．8 C．7 D．68．（3分）（24-25八年級·廣西貴港·期末）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線一點，連接AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD的延長線于G，連接AG，當CE=BC=2時，作FH⊥AG于H，連接DH，則DH的長為（

）A．2?2 B．2?1 C．229．（3分）（24-25八年級·浙江溫州·期中）對于一元二次方程，我國古代數學家還研究過其幾何解法．以方程xx+6=72為例加以說明．數學家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個長為x+6，寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是x+6+x，面積是四個矩形的面積與中間小正方形的面積之和，即4×72+62，據此易得x=18?62=6．小明用此方法解關于x的方程xA．2 B．4 C．6 D．810．（3分）（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四點在同一條直線上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，現將△DEF沿直線CB方向左右平移，則平移過程中AE+DA的最小值為（

）A．42 B．34 C．6 D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·上海·階段練習）求值：1+1112．（3分）（24-25八年級·浙江寧波·期末）如果m，n是正實數，方程x2+mx+4n=0和方程x2+4nx+m=0都有實數解，那么13．（3分）（24-25八年級·福建泉州·期末）某單位設有6個部門，共153人，如下表：部門部門1部門2部門3部門4部門5部門6人數261622324314參與了“學黨史，名師德、促提升”建黨100周年，“黨史百題周周答活動”，一共10道題，每小題10分，滿分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一個部門還沒有參與答題，其余五個部門全部完成了答題，完成情況如下表：分數1009080706050及以下比例521110綜上所述，未能及時參與答題的部門可能是．14．（3分）（24-25八年級·遼寧鐵嶺·期末）如圖，在矩形OABC中，點A的坐標為0,1，D為AB邊上一點，將△OAD沿OD所在的直線折疊，A的對應點A′恰好落在x軸上，E為BC邊上一點，將四邊形ODBE沿OE所在的直線折疊，D的對應點恰好與點C重合，B的對應點為B′，則點E坐標為15．（3分）（24-25八年級·云南昭通·階段練習）如圖，在△ABC中，點D為BC的中點，AB=5，AC=3，AD=2，則△ABC邊BC上的高為．16．（3分）（24-25八年級·廣東佛山·期末）如圖，?ABCD中，AD=22，AB=6，∠BCD=135°，對角線AC，BD相交于點O，過點O的線段EF⊥AC交CD于點E，交AB于點F，以下說法中：①AE=AF；②∠DAE=2∠CAE；③EF=5；④△DOE的面積與△AOD的面積比為7:12．其中，正確的序號有第Ⅱ卷三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·北京海淀·階段練習）嘉琪根據學習“數與式”的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發現規律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填寫一個符合上述運算特征的式子）．(2)觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：______．(3)證明你的猜想；(4)應用運算規律：①化簡：2023+1②若a+1b=91b（a18．（6分）（24-25八年級·江蘇揚州·階段練習）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的n倍（n為正整數），則稱這樣的方程為“n倍根方程”．例如：方程(1)根據上述定義，2x(2)若關于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，求(3)若關于x的方程x2?bx+c=0是“n倍根方程”，請探究b與c之間的數量關系（用含(4)由（3）中發現的b、c之間的數量關系，不難得到b24c的最小值是______．（參考公式：x+y≥2xy，x19．（8分）（24-25八年級·山西太原·階段練習）臺風是一種自然災害，它在以臺風中心為圓心，一定長度為半徑的圓形區域內形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，監測中心監測到一臺風中心沿監測點B與監測點A所在的直線由東向西移動，已知點C為一海港，且點C與A，B兩點的距離分別為300km、400km，且∠ACB=90°，過點C作CE⊥AB于點E，以臺風中心為圓心，半徑為260km的圓形區域內為受影響區域．（1）求監測點A與監測點B之間的距離；（2）請判斷海港C是否會受此次臺風的影響，并說明理由；（3）若臺風的速度為25km/h，則臺風影響該海港多長時間？20．（8分）（2025·山東聊城·一模）為落實全國教育大會上提出的“要樹立健康第一”的教育理念，某市啟動中考體育改革，將體育成績納入中考總分，包括A．運動參與、B．運動技能測試、C．體質健康測試、D．統一體能測試四部分共70分（其中A運動參與滿分6分，主要有平時體育課、課間體育活動等；B運動技能滿分4分，主要是自主選擇一項田徑、球類等項目進行測試掌握基本技能即為滿分；C體質健康測試滿分30分，包括體重指數、肺活量、跑步、立定跳遠等項目；D統一體能測試滿分30分，包括跑步，引體向上（男）仰臥起坐（女）等項目）．某中學數學興趣小組對本校八年級學生的體育測試情況進行統計調查，從該校所有八年級學生中隨機抽出部分學生的體育測試成績，將所得的數據進行收集、整理、描述．下面給出了部分信息：信息一：每名學生的四項得分之和作為總分，總分用x表示x≥30，將總分數據分成如下四組：第1組：30≤x<40，第2組：40≤x<50，第3組：50≤x<60，第4組：60≤x≤70，以下是總分的頻數直方圖和扇形統計圖的部分信息．結合信息一解決下列問題：（1）將頻數分布直方圖補全，a=________，第4組所對應的圓心角的度數是________；（2）所抽取的這些學生的中位數位于第________組；（3）該校八年級共有1500名學生，請估計體育總分不低于50分的學生有多少名？信息二：抽取的學生在A．運動參與、B．運動技能測試、C．體質健康測試、D．統一體能測試四部分的平均數和方差如下表：A運動參與B運動技能測試C體質健康測試D統一體能測試平均分5.83.725.423.6方差1.62.28.59.4（4）請結合以上信息分析，影響一個學生體育總分的主要是哪些部分的成績？并就如何提升學生體育成績，提出至少兩條合理化建議．21．（10分）（2025·河南平頂山·一模）定義：在凸四邊形中，若有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為直角，我們把這類四邊形叫做“奮進四邊形”．若“奮進四邊形”的另一組鄰邊也相等，我們把這類四邊形叫做“和諧奮進四邊形”．(1)請在你學習過的四邊形中，寫出一個符合“奮進四邊形”性質的特殊四邊形；(2)如圖1，“奮進四邊形”ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°．①當AB=CD=2，且AB∥CD時，求②當AC⊥BD時，求證：“奮進四邊形”ABCD是“和諧奮進四邊形”；(3)如圖2，矩形ABCD中，CD=4，AD=10，點M，N分別為邊AD，BC上一個動點，且CN=2AM，當四邊形ABNM為“奮進四邊形”時，直接寫出MN的長．22．（10分）（24-25八年級·河北石家莊·期末）△ABC中，D是射線AB上一點，連接CD，E是CD的中點，過點C作CF∥AB，交BE的延長線于點

【探究】如圖1，連接AF，若點D在線段AB上，且CF=AD．（1）證明：AD=BD；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是矩形？請說明理由．【拓展】如圖2，當點D在點B右側，且CF=AB時，其他條件不變，直接寫出當△ABC滿足什么條件時，四邊形BDFC是正方形．23．（12分）（24-25八年級·廣東深圳·開學考試）體重為衡量個人健康的重要指標之一，表（1）為成年人利用身高（米）計算理想體重（公斤）的三種方式，由于這些計算方式沒有考慮脂肪及肌肉重量占體重的比例，結果僅供參考．表（1）算法一女性理想體重身高男性理想體重身高算法二100×100×算法三100×100×表（2）實際體重類別大于理想體重的120肥胖介于理想體重的110過重介于理想體重的90正常介于理想體重的80過輕小于理想體重的80消瘦(1)甲說：有的女性使用算法一與算法二算出的理想體重會相同．你認為正確嗎？請說明理由．(2)無論我們使用哪一種算法計算理想體重，都可將個人的實際體重表（2）歸類為的其中一種類別．①一名身高為?米的成年男性用算法二得出的理想體重不低于70公斤，直接寫出?的取值范圍________．②小王的父親身高1.75米，體重為73公斤，請根據算法三算出父親的理想體重，并評估他可能被歸類為哪一種類別？24．（12分）（24-25八年級·重慶·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA=OC，BC∥AD．(1)如圖1，若AB=AC，AB⊥AC，BD=10，求四邊形ABCD的面積．(2)如圖2，點E、點F分別是AC、DC上的點，AE=DF，點H、點G分別為AD、EF的中點，連接HG，N為BC上一點，M為AD延長線上一點，連接CM、AN，若∠ACN+12∠ACM=90°，CN=DM，∠ACD(3)如圖3，過點C作CR⊥AD于點R，P是DR上一點，連接CP，作AQ⊥CP于點Q，AQ交CR于點T，AT=CP，AC=DC．當點P在直線DR上運動時，將CP繞點P順時針旋轉90°得C′P，連接OC′，RC′，OR，若

2024-2025學年八年級（下）期末數學試卷【滬科版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·江蘇泰州·期末）已知m、n是正整數，若2m+5A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根據二次根式的性質分析即可得出答案．【詳解】解：∵2m+5∴m=2，n=5或m=8，n=20，當m=2，n=5時，原式=2是整數；當m=8，n=20時，原式=1是整數；即滿足條件的有序數對（m，n）為（2，5）或（8，20），故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的性質和二次根式的運算，估算無理數的大小的應用，題目比較好，有一定的難度．2．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·單元測試）對于兩個實數a，b，用max(a,?b)表示其中較大的數，則方程x×maxA．1，1+2 B．1，1?2 C．?1，1+2 D．【答案】C【分析】根據題意則有x2=2x+1和-x2=2x+1，然后解一元一次方程即可．【詳解】∵max（a，b）表示其中較大的數，∴當x＞0時，max（x，-x）=x，方程為x2=2x+1，x2-2x+1=2，（x-1）2=2，∴x-1=±2，∴x=1±2，∴x＞0，∴x=1+2；當x＜0時，max（x，-x）=-x．方程為-x2=2x+1x2+2x+1=0，（x+1）2=0，∴x=-1，故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+2故選C．【點睛】本題考查了配方法解一元一次方程，根據題意得出x2=2x+1和-x2=2x+1是本題的關鍵．3．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期中）某校八（1）班在2024年秋季運動會中，參加跳繩比賽的10名學生的參賽成績如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法正確的是（

）A．平均數是95分 B．眾數是90分 C．中位數是95分 D．方差是15【答案】B【分析】本題主要考查了平均數，眾數，中位數和方差的定義，熟練掌握這些知識點是解決問題的關鍵，根據相關知識點一一判斷即可；【詳解】解：A．這組數據的平均數為110B．這組數據中90分出現5次，次數最多，所以這組數據的眾數為90分，此選項正確，符合題意；C．這組數據的中位數為90+902D．這組數據的方差為110故選：B4．（3分）（24-25八年級·山東淄博·期中）如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD，測得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且A．48m2 B．114m2 C．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的實際應用，連接AC，利用勾股定理得到AC=15m，進而利用勾股定理的逆定理證明∠ACD=90°，最后根據四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD【詳解】解：如圖，連接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC=A∵CD=8m，AD=17m，∴AC2+C∴AC∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°，∴四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=故選：B．5．（3分）（24-25八年級·浙江·期中）如圖，平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸正半軸上運動，以AB為對角線作平行四邊形AEBF，使得邊AE在x軸上，點E在A的右側，且AE=4，連接EF交AB于點M，當OM⊥EF時，若FA?OA=8，則點A的坐標為（

）A．1,0 B．3,0 C．2,0 D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解題關鍵．連接OF，設OA=x，證得△OFM≌△OEM，結合平行四邊形的性質得OE=x+4、BE=8+x、BF=4、OF=x+4，通過勾股定理，構建方程x+42【詳解】解：如圖，連接OF，設OA=x，則FA=OA+8=x+8，OE=OA+AE=x+4，∵四邊形AEBF是平行四邊形，∴AE=BF=4，FA=BE=8+x，FM=EM，∵OM⊥EF，∴∠FMO=∠EMO=90°，在△OFM和△OEM中，OM=OM∠FMO=∠EMO∴△OFM≌△OEMSAS∴OF=OE=x+4，∵在Rt△OFB中，O∴OB∵在Rt△OBE中，O∴OB∴x+4整理，得：x2解得：x=43∴OA=43∴點A的坐標為43故選：D．6．（3分）（24-25八年級·福建廈門·期中）在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，點E在BC上，CE=43，若點P是菱形ABCD四條邊上異于點E的一點，CE=CP，則以下長度中，不可能是DPA．8?43 B．4 C．47?8【答案】C【分析】分點P位于邊CD上、位于邊AD上、位于邊AB上三種情況討論，利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求解即可．【詳解】解：當點P位于邊CD上時，如圖所示：∵菱形ABCD中，AB=8，CE=43∴CD=8，CP=43∴DP=CD?CP=8?43當點P位于邊AD上時，如圖所示：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∴Δ過點C作CH⊥AD于點H，∴AH=HD=4，由勾股定理得CH=43∵CE=43∴點P與點H重合，∴DP=4；當點P位于邊AB上時，∵PC=CE=43，BC=8，∠B∴∠BPC=90°∴∠BCP=30°，∴∠PCD=∠BCD?∠BCP=90°，由勾股定理得DP=P綜上，DP的長為8?43或4或4故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．7．（3分）（24-25八年級·陜西渭南·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊分別作正方形BAHI，正方形BCFG與正方形CADE，延長BG，FG分別交AD，DE于點K，J，連接DH，IJ，H，D，E在一條直線上，圖中兩塊陰影部分的面積分別記為S1，S2，若S1：S2=1：4，四邊形BAHE的面積為27A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】先證明△BAC≌△HAD，△BAC≌△ABK，則S△BAC=S△HAD=S△ABK，再證明四邊形DJGK是正方形，四邊形ADJF和四邊形EDKB是面積相等的矩形，則S四邊形AKGF=S四邊形EJGB，再證明△AFN≌△BEM，則S【詳解】解：∵四邊形BAHJ和四邊形CADE都是正方形，∴AB=AH，AC=AD，∠BAH=∠CAD=90°，∴∠BAC=∠HAD=90°?∠BAD，∴△BAC≌△HADSAS∵四邊形BCFG是正方形，∴∠CBK=∠C=∠DAD=90°，∴四邊形AKBC是矩形，∴BC=AK，AC=BK，∠C=∠AKB=90°，∴△BAC≌△ABKSAS∴S∵∠E=∠C=∠CFJ=90°，∴四邊形ECFJ是矩形，∴∠EJF=∠AKB=90°，∴∠DKG=∠DJG=∠KDJ=90°，設正方形BCFG和正方形CADE的邊長分別為a、b，∵AD=ED=b，AK=BC=CF=EJ=a，∴AF=DK=DJ=BE=b?a，∴四邊形DJGK是正方形，四邊形ADJF和四邊形EDKB是面積相等的矩形，∴S∵FJ∥CE，∴∠ANF=∠ABC=90°?∠ACK=∠KBI=∠BME，∵∠AFN=∠E=90°，AF=BE，∴△AFN≌△BEMAAS∴S∴S∵S四邊形BAHE∴AC=b=33設AF=DK=m，則m2∴AF∴a=BC=CF=2∴S故選：A．【點睛】此題重點考查正方形的判定與性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、根據轉化思想求圖形的面積等知識與方法，證明S四邊形BAHE=8．（3分）（24-25八年級·廣西貴港·期末）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線一點，連接AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD的延長線于G，連接AG，當CE=BC=2時，作FH⊥AG于H，連接DH，則DH的長為（

）A．2?2 B．2?1 C．22【答案】C【分析】作AP⊥EG于點P，作HM⊥AD，HN⊥CG，易證∠GAF=12∠GCE=45°，進而得：AH=HF，由余角的性質，得∠GAD=∠GFH，得到?AMH??【詳解】作AP⊥EG于點P，作HM⊥AD，HN⊥CG，∵∠AEG=∠AEB，∴AB=AP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AP，∴AG平分∠CGP，∵∠PGC-∠GEC=∠GCE，∠PGA-∠GEA=∠GAF，∴∠GAF=12∵FH⊥AG，∴AH=HF，∵∠GAD+∠AGF=90°，∠GFH+∠AGF=90°，∴∠GAD=∠GFH，在?AMH和?FNH中，∵∠GAD=∠GFH∠AMH=∠FNH=∴?AMH??FNH(AAS)，∴HM=HN，AM=FN，∴四邊形HMDN是正方形，∵CE=BC=2，∴FCAB=CE∴FC=1，∴DF=2-1=1，設HM=x，則FN=1+x，AM=2-x，∴1+x=2-x，解得：x=12∴DH=12故選C.【點睛】本題主要考查三角形全等的判定定理和性質定理，添加合適的輔助線，構造全等三角形和正方形是解題的關鍵.9．（3分）（24-25八年級·浙江溫州·期中）對于一元二次方程，我國古代數學家還研究過其幾何解法．以方程xx+6=72為例加以說明．數學家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個長為x+6，寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是x+6+x，面積是四個矩形的面積與中間小正方形的面積之和，即4×72+62，據此易得x=18?62=6．小明用此方法解關于x的方程xA．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應用，仿照題干，正確理解一元二次方程的幾何解法是解題關鍵．參照已知方法，將四個長為3x?n，寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，求出大正方形的邊長為10，得到n=4x?10，再根據小正方形的邊長為10?2x，小正方形的邊長的面積是4，求出x=4，即可得到n的值．【詳解】解：由題意可知，將四個長為3x?n，寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是3x?n+x，面積是四個矩形的面積與中間小正方形的面積之和，∵x3x?n=24，小正方形的面積為∴大正方形的面積為4×24+4=100，∴大正方形的邊長為10，∴3x?n+x=4x?n=10，∴n=4x?10，∵小正方形的邊長為3x?n?x，即10?2x，∵3x?n>x，即10?2x>0，故10?2x2∴10?2x=±2，∵10?2x>0，∴x=4，∴n=4×4?10=6，故選：C．10．（3分）（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四點在同一條直線上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，現將△DEF沿直線CB方向左右平移，則平移過程中AE+DA的最小值為（

）A．42 B．34 C．6 D．【答案】D【分析】如圖所示，過點A作AG⊥BC于點G，過點D作DH⊥EF于點H，設AC,DE交于點P，證明△ACG≌△EDHAAS，得出AG=EH=4,CG=DH=3，以直線BC為x軸，GA為y軸建立平面直角坐標系，勾股定理求得AE+DA的長，進而轉化為m,0到0,4和?4,1的距離的和，作M?4,1關于x軸的對稱點M′?4,?1【詳解】解：如圖所示，過點A作AG⊥BC于點G，過點D作DH⊥EF于點H，設AC,DE交于點P，則∠AGC=∠EHD=90°，∵AB=AC=DE=DF，∴BG=CG=1∵AC⊥DE，∴∠HED+∠HDE=∠HED+∠ACG=90°，∴∠EDH=∠ACG，在△ACG和△EDH中，∠ACG=∠EDH∠AGC=∠EHD∴△ACG≌△EDHAAS∴AG=EH=4,CG=DH=3，以直線BC為x軸，GA為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，依題意，BC=6，則B?3,0，CAO=4，則A0,4設Em,0∵EH=4,DH=3∴D∴AE+DA==即m,0到0,4和?4,1的距離的和如圖所示，作M?4,1關于x軸的對稱點M′∴AM′的長為AE+DA的最小值，最小值為故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角的性質，全等三角形的性質，勾股定理的應用，軸對稱的性質求線段和的最值問題，坐標與圖形，轉化線段的長為AM二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·上海·階段練習）求值：1+11【答案】2023【分析】本題考查了二次根式的運算，完全平方公式的應用，先推導公式1+1【詳解】解：1+======1+1∴原式=1+=2023×1+1?=20232023故答案為：2023202312．（3分）（24-25八年級·浙江寧波·期末）如果m，n是正實數，方程x2+mx+4n=0和方程x2+4nx+m=0都有實數解，那么【答案】5【分析】本題主要考查了根的判別式，根據一元二次方程根的判別式可得出關于m和n的不等式，再對所得不等式進行分析即可解決問題，熟知一次二次方程根的判別式及對所得不等式進行正確的討論是解題的關鍵．【詳解】∵方程x2+mx+4n=0和方程∴m2?4×4n≥0，∴m2≥16n，∵m，n是正實數，∴m4∴m4?64m≥0，即∴m≥4，故m的最小值為4，又∵n2則當m=4時，n2∴n的最小值為1，∴m+n的最小值為5，故答案為：5．13．（3分）（24-25八年級·福建泉州·期末）某單位設有6個部門，共153人，如下表：部門部門1部門2部門3部門4部門5部門6人數261622324314參與了“學黨史，名師德、促提升”建黨100周年，“黨史百題周周答活動”，一共10道題，每小題10分，滿分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一個部門還沒有參與答題，其余五個部門全部完成了答題，完成情況如下表：分數1009080706050及以下比例521110綜上所述，未能及時參與答題的部門可能是．【答案】5【分析】各分數人數比為5：2：1：1：1，可以求出100分占總人數12，90分占總人數15，80、70、60分占總人數的【詳解】解：各分數人數比為5：2：1：1：1，即100分占總參與人數的55+2+1+1+190分占總參與人數的25+2+1+1+180、70、60分占總參與人數的15+2+1+1+1各分數人數為整數，即110∴總參與人數是10的倍數，

6個部門有153人，即26+16+22+32+43+14＝153人，則未參與部門人數個位一定為3，∴未參與答題的部門可能是5．故答案為：5．【點睛】本題考查統計與概率，解本題的關鍵首先考慮人數為正整數，還要掌握統計的基本知識．14．（3分）（24-25八年級·遼寧鐵嶺·期末）如圖，在矩形OABC中，點A的坐標為0,1，D為AB邊上一點，將△OAD沿OD所在的直線折疊，A的對應點A′恰好落在x軸上，E為BC邊上一點，將四邊形ODBE沿OE所在的直線折疊，D的對應點恰好與點C重合，B的對應點為B′，則點E坐標為【答案】2,2?2【分析】證明四邊形AOA′D是矩形，則OA=OA′=1，得四邊形AOA′D是正方形，則OA=OA′=AD=A′D=1，OD=AO2+A【詳解】解：在矩形OABC中，點A的坐標為0,1，∴OA=BC=1,∠OAB=∠AOC=∠B=∠OCB=90°，∵△OAD沿OD所在的直線折疊，A的對應點A′恰好落在x∴OA=OA′=1，AD=∴∠AOA∴四邊形AOA∴OA=OA∴四邊形AOA∴OA=OA′=AD=∵四邊形ODBE沿OE所在的直線折疊，D的對應點恰好與點C重合，B的對應點為B′∴OD=AC=2∵∠DA∴四邊形A′∴BD=A∴B′設CE=a，則B′在Rt△B′∴1?a2+解得a=2?2即CE=2?2∴點E的坐標是2,2?故答案為：2【點睛】此題考查了矩形的判定和性質、正方形的判定和性質、勾股定理、折疊的性質等知識，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．15．（3分）（24-25八年級·云南昭通·階段練習）如圖，在△ABC中，點D為BC的中點，AB=5，AC=3，AD=2，則△ABC邊BC上的高為．【答案】61313【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理及其逆定理等知識，綜合性強．延長AD到E，使得DE=AD=2，連接BE，作AF⊥BC于點F，先證明△ADC≌△EDB，得到BE=CA=3，根據勾股定理逆定理得到∠E=90°，進而得到S△BDE=3，BD=13，即可得到S【詳解】解：如圖，延長AD到E，使得DE=AD=2，連接BE，作AF⊥BC于點F，則AE=2AD=4．∵點D為BC的中點，∴CD=BD，在△ADC和△EDB中，AD=ED∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDB，∴BE=CA=3，∴BE∵AB∴BE∴∠E=90°，∴S△BDE=1∴S△ADC=S∵AF⊥BC，∴12即132∴AF=6故答案為：616．（3分）（24-25八年級·廣東佛山·期末）如圖，?ABCD中，AD=22，AB=6，∠BCD=135°，對角線AC，BD相交于點O，過點O的線段EF⊥AC交CD于點E，交AB于點F，以下說法中：①AE=AF；②∠DAE=2∠CAE；③EF=5；④△DOE的面積與△AOD的面積比為7:12．其中，正確的序號有【答案】①③④【分析】過點A作AG⊥CD于點G，連接CF，易通過AAS證明△COE≌△AOF，得到OE=OF，再證四邊形AECF為菱形，進而判斷①；根據平行四邊形及菱形的性質，易證△AGD為等腰直角三角形，得到AG=DG=2，則CG=4，設AE=CE=a，則GE=4?a，在Rt△AGE中，利用勾股定理建立方程，解得a=52，進而求得DE=72，由平行線的性質得∠DEA=∠EAF=2∠CAE，由DE≠AD可得∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，以此判斷②；在Rt△ACG中，利用勾股定理求得AC=25，在Rt△COE中，利用勾股定理求得OE=52，以此判斷③；易得O到【詳解】解：如圖，過點A作AG⊥CD于點G，連接CF，∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB=6，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=6，OA=OC，∴∠CEO=∠AFO，∠OCE=∠OAF，在△COE和△AOF中，∠CEO=∠AFO∠OCE=∠OAF∴△COE≌△AOFAAS∴OE=OF，又∵OC=OA，EF⊥AC，∴四邊形AECF為菱形，∴AE=AF，故①正確；∵四邊形AECF為菱形，∴AE=CE，∠EAF=2∠CAE，∵∠BCD=135°，AD∥BC，∴∠ADC=45°，∵AG⊥CD，∴∠AGD=90°，∴△AGD為等腰直角三角形，∴AG=DG=AD∴CG=CD?DG=6?2=4，設AE=CE=a，則GE=CG?CE=4?a，在Rt△AGE中，GE2解得：a=5∴AE=CE=52=AF∴DE=DG+GE=2+3∵AB∥CD，∴∠DEA=∠EAF=2∠CAE，∵DE=7∴∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，故②錯誤；在Rt△ACG中，AC=∴OC=OA=5在Rt△COE中，OE=∴EF=2OE=5∵AG=2，∴O到CD的距離為1，O到AB的距離為1，∴S△DOES△AOD∴S△DOE綜上，正確的結論有①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、菱形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的面積，靈活運用所學知識解決問題是解題關鍵．第Ⅱ卷三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·北京海淀·階段練習）嘉琪根據學習“數與式”的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發現規律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填寫一個符合上述運算特征的式子）．(2)觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：______．(3)證明你的猜想；(4)應用運算規律：①化簡：2023+1②若a+1b=91b（a【答案】(1)4+1(2)n+(3)見解析(4)①20242【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握其運算法則是解題的關鍵．（1）根據材料提示計算即可；（2）由材料提示，歸納總結即可；（3）運用二次根式的性質，二次根式的混合運算法則計算即可；（4）根據材料提示的方法代入運算即可．【詳解】（1）解：根據材料提示可得，特例4為：4+1故答案為：4+1（2）解：由上述計算可得，如果n為正整數，上述的運算規律為：n+1故答案為：n+1（3）解：n+1等式左邊=n+（4）①解：2023+=2024×=20242②∵a+1∴n+1=9，∴n=a=8，∴a+b=18．18．（6分）（24-25八年級·江蘇揚州·階段練習）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的n倍（n為正整數），則稱這樣的方程為“n倍根方程”．例如：方程(1)根據上述定義，2x(2)若關于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，求(3)若關于x的方程x2?bx+c=0是“n倍根方程”，請探究b與c之間的數量關系（用含(4)由（3）中發現的b、c之間的數量關系，不難得到b24c的最小值是______．（參考公式：x+y≥2xy，x【答案】(1)四(2)27(3)b(4)1【分析】本題考查一元二次方程，根與系數的關系，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“n倍根方程”的定義．（1）先解方程，再根據“n倍根方程”的定義即可得出結論；（2）根據三倍根方程的定義以及根與系數的關系列方程組解答即可；（3）設x=p與x=np是方程x2（4）根據（3）中發現的b、c之間的數量關系，借助參考公式即可求出答案；【詳解】（1）解：2x2x?1x?2解得x1=1∵12∴一元二次方程2x故答案為：四；（2）解：由題意可設：x=n與x=3n是方程x2∴n+3n=?63n?n=m解得：n=?3∴m的值為274（3）解：∵關于x的方程x2?bx+c=0是“∴可設x=p與x=np是方程x2∴p+np=bnp?p=c∴消去p得：b2（4）解：由參考公式：x+y≥2xy（x、y均為正數）可得b∴b2故答案為：1．19．（8分）（24-25八年級·山西太原·階段練習）臺風是一種自然災害，它在以臺風中心為圓心，一定長度為半徑的圓形區域內形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，監測中心監測到一臺風中心沿監測點B與監測點A所在的直線由東向西移動，已知點C為一海港，且點C與A，B兩點的距離分別為300km、400km，且∠ACB=90°，過點C作CE⊥AB于點E，以臺風中心為圓心，半徑為260km的圓形區域內為受影響區域．（1）求監測點A與監測點B之間的距離；（2）請判斷海港C是否會受此次臺風的影響，并說明理由；（3）若臺風的速度為25km/h，則臺風影響該海港多長時間？【答案】（1）監測點A與監測點B之間的距離是500km；（2）海港C會受到此次臺風的影響，見解析；（3）臺風影響該海港8小時【分析】（1）利用勾股定理直接求解；（2）利用等面積法得出CE的長，進而得出海港C是否受臺風影響；（3）利用勾股定理得出受影響的界點P與Q離點E的距離，進而得出臺風影響該海港持續的時間．【詳解】解：在RtΔABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB=AC2答：監測點A與監測點B之間的距離是500km．（2）海港C會受到此次臺風的影響，理由如下：∵SΔABC∴1解得：CE=240．∵240<260∴海港C會受到此次臺風的影響．（3）如圖，海港C在臺風中心從Q點移動到P點這段時間內受影響．∵CP=CQ=260km∴在RtΔCEP中，CE2解得：PE=100同理得：QE=100km∵臺風的速度為25km/h∴臺風影響該海港的時長為：100+100÷25=8答：臺風影響該海港8小時．【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是將實際問題中的各個條件轉化為幾何語言．20．（8分）（2025·山東聊城·一模）為落實全國教育大會上提出的“要樹立健康第一”的教育理念，某市啟動中考體育改革，將體育成績納入中考總分，包括A．運動參與、B．運動技能測試、C．體質健康測試、D．統一體能測試四部分共70分（其中A運動參與滿分6分，主要有平時體育課、課間體育活動等；B運動技能滿分4分，主要是自主選擇一項田徑、球類等項目進行測試掌握基本技能即為滿分；C體質健康測試滿分30分，包括體重指數、肺活量、跑步、立定跳遠等項目；D統一體能測試滿分30分，包括跑步，引體向上（男）仰臥起坐（女）等項目）．某中學數學興趣小組對本校八年級學生的體育測試情況進行統計調查，從該校所有八年級學生中隨機抽出部分學生的體育測試成績，將所得的數據進行收集、整理、描述．下面給出了部分信息：信息一：每名學生的四項得分之和作為總分，總分用x表示x≥30，將總分數據分成如下四組：第1組：30≤x<40，第2組：40≤x<50，第3組：50≤x<60，第4組：60≤x≤70，以下是總分的頻數直方圖和扇形統計圖的部分信息．結合信息一解決下列問題：（1）將頻數分布直方圖補全，a=________，第4組所對應的圓心角的度數是________；（2）所抽取的這些學生的中位數位于第________組；（3）該校八年級共有1500名學生，請估計體育總分不低于50分的學生有多少名？信息二：抽取的學生在A．運動參與、B．運動技能測試、C．體質健康測試、D．統一體能測試四部分的平均數和方差如下表：A運動參與B運動技能測試C體質健康測試D統一體能測試平均分5.83.725.423.6方差1.62.28.59.4（4）請結合以上信息分析，影響一個學生體育總分的主要是哪些部分的成績？并就如何提升學生體育成績，提出至少兩條合理化建議．【答案】（1）36；72°；（2）3；（3）780人；（4）見解析．【分析】1從條形統計圖可知：第1組、2組、4組人數之和為6+18+10=34，從扇形統計圖中可知：第1組、2組、4組人數之和占總人數的百分比為1?32%=68%，利用人數除以對應的分率可以求出抽查的總人數，用總人數乘以扇形統計圖中第3組人數所占的百分比求出第3組的人數，根據第3組的人數補全統計圖即可；a是第2組人數占總人數的百分比，根據第2組的人數和總人數計算即可；根據第4的人數和總人數求出第4組的人數占總人數的百分比，利用百分比求出扇形統計圖中第4組的圓心角即可；2共抽查了50學生，根據中位數的定義可知：中位數是第25、26名成績的平均數，從條形統計圖中可知：第25、26名位于第3組，所以抽取的這些學生的中位數位于第3組；3利用樣本估計總體，根據抽查的50名學生中體育成績不低于50分的人數所占的百分比代表全校所有學生成績不低于50分人數的百分比，計算即可；4從表格中可知C、D兩項所占的權重較大，所以為了提高學生的體育成績，應重點從C、D兩項中提高成績．【詳解】1解：從條形統計圖可知：第1組、2組、4組人數之和為6+18+10=34，從扇形統計圖中可知：第1組、2組、4組人數之和占總人數的1?32%=68%，∴抽取的總人數為：6+18+10÷∴第3組的人數為：50×32%補全條形統計圖如下：∵第2組有18人，占比為：18÷50×100%=36%，∴a=36，∵第4組有10人，∴第4組占抽查總人數的10÷50×100%∴扇形統計圖中第4組對應的圓心角的度數為：1050故答案為36，72°；2∵總共抽查了50人，∴中位數是第25、26名成績的平均數，第1組和第2組總人數是24人，從條形統計圖中可知：第25、26名位于第3組，∴抽取的這些學生的中位數位于第3組；3從條形統計圖中可知：抽查的學生中體育總分不低于50分的學生，利用樣本估計總體可得：全校體育成績不低于50分的學生總人數為1500×16+104∵C、D兩項權重較大，是影響體育總分的主要因素．建議：①保持合理飲食習慣，保證體重指表在健康范圍內；②加強鍛煉增強肺活量；③加強跑步上定跳遠、引體向上、仰臥起坐等項目的訓練．（合理即可）【點睛】本題主要考查了扇形統計圖與條形統計圖的綜合運用、用樣本代替總體、求扇形統計圖的圓心角度數、中位數，解決本題的關鍵是綜合運用扇形統計圖與條形統計圖，根據已知的信息求出未知的信息．21．（10分）（2025·河南平頂山·一模）定義：在凸四邊形中，若有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為直角，我們把這類四邊形叫做“奮進四邊形”．若“奮進四邊形”的另一組鄰邊也相等，我們把這類四邊形叫做“和諧奮進四邊形”．(1)請在你學習過的四邊形中，寫出一個符合“奮進四邊形”性質的特殊四邊形；(2)如圖1，“奮進四邊形”ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°．①當AB=CD=2，且AB∥CD時，求②當AC⊥BD時，求證：“奮進四邊形”ABCD是“和諧奮進四邊形”；(3)如圖2，矩形ABCD中，CD=4，AD=10，點M，N分別為邊AD，BC上一個動點，且CN=2AM，當四邊形ABNM為“奮進四邊形”時，直接寫出MN的長．【答案】(1)正方形(2)①22(3)MN為25或【分析】（1）根據“奮進四邊形”定義即可得解；（2）①先證明四邊形ABCD為正方形，得出∠BCD=90°，BC=CD=2，再根據勾股定理求出BD=B②連接AC、BD，根據AB=BC，BD⊥AC，得出AO=CO，證明BD垂直平分AC，根據垂直平分線的性質得出AD=CD，再根據“和諧奮進四邊形”的定義即可得出結論；（3）根據題意可知，分兩種情況討論：當AB=AM或AB=BN時，四邊形ABNM是“奮進四邊形”，先證明四邊形ABNG為矩形，再由勾股定理求出MN即可．【詳解】（1）解：正方形有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為直角，所以正方形是“奮進四邊形”；（2）①解：∵AB=CD=2，AB∥∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD為菱形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD=2，∴BD=B②證明：連接AC、BD，如圖：∵AB=BC，BD⊥AC，∴AO=CO，∴BD垂直平分AC，∴AD=CD；∴“奮進四邊形”ABCD是“和諧奮進四邊形”；（3）解：∵AD=BC=10，CD=AB=4，根據題意可知，分兩種情況討論：當AB=AM或AB=BN時，四邊形ABNM是“奮進四邊形”；當AB=AM=4時，連接MN，過點N作NG⊥AD于點G，如圖：∵AM=4，∴CN=2×4=8，∴BN=10?8=2，∵∠A=∠B=∠AGN=90°，∴四邊形ABNG為矩形，∴AG=BN=2，GN=AB=4，∴GM=4?2=2，∴MN=G當AB=BN=4時，連接MN，過點M作MH⊥BC于點H，如圖：則CN=BC?BN=10?4=6，∴AM=3，∵∠A=∠B=∠BHM=90°，∴四邊形ABHM矩形，∴BH=AM=3，MH=AB=4，∴HN=BN?BH=4?3=1，∴MN=M綜上分析可知，MN為25或17【點睛】本題主要考查了正方形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理，垂直平分線的判定和性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，畫出相應的圖形，并注意進行分類討論．22．（10分）（24-25八年級·河北石家莊·期末）△ABC中，D是射線AB上一點，連接CD，E是CD的中點，過點C作CF∥AB，交BE的延長線于點

【探究】如圖1，連接AF，若點D在線段AB上，且CF=AD．（1）證明：AD=BD；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是矩形？請說明理由．【拓展】如圖2，當點D在點B右側，且CF=AB時，其他條件不變，直接寫出當△ABC滿足什么條件時，四邊形BDFC是正方形．【答案】【探究】（1）見解析；（2）當CA=CB時，四邊形ADCF是矩形．理由見解析；【拓展】△ABC中，BA=BC，且∠ABC=90°時，四邊形BDFC是正方形．【分析】（1）根據平行線的性質，可證得△EDB≌△ECF，得到BD=FC，從而證明AD=BD；（2）首先證明四邊形ADCF是平行四邊形，再由CA=CB，AD=BD，得到CD⊥AB，從而證明四邊形ADCF是矩形；【拓展】由正方形性質，得到∠CBD=90°，CB=BD，再推出四邊形ABFC為平行四邊形，進而得到AB=BD=BC，就可得到BA=BC，且∠ABC=90°時，四邊形BDFC是正方形．【詳解】證明：∵E是CD的中點，∴ED=EC，∵CF∥∴∠EDB=∠ECF，∠EBD=∠EFC，∴△EDB≌△ECF，∴BD=FC，∵CF=AD，∴AD=BD；（2）當CA=CB時，四邊形ADCF是矩形．理由如下：∵CF∥AB，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵CA=CB，AD=BD，∴CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴?ADCF是矩形．拓展：△ABC中，BA=BC，且∠ABC=90°時，四邊形BDFC是正方形，理由如下：∵四邊形BDFC是正方形，∴∠CBD=90°，CB=BD，∵CF∥AB且∴四邊形ABFC為平行四邊形，∴AC∥∵E是CD的中點，∴B是AD的中點，∴AB=BD=BC，∵∠ABC=∠CBD=90°，∴在△ABC中，BA=BC，且∠ABC=90°時，四邊形BDFC是正方形．【點睛】本題考查了全等三角形、平行四邊形、矩形、等腰三角形、正方形、直角三角形勾股定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形、平行四邊形、矩形、等腰三角形、正方形形、直角三角形勾股定理及逆定理，從而完成求解．23．（12分）（24-25八年級·廣東深圳·開學考試）體重為衡量個人健康的重要指標之一，表（1）為成年人利用身高（米）計算理想體重（公斤）的三種方式，由于這些計算方式沒有考慮脂肪及肌肉重量占體重的比例，結果僅供參考．表（1）算法一女性理想體重身高男性理想體重身高算法二100×100×算法三100×100×表（2）實際體重類別大于理想體重的120肥胖介于理想體重的110過重介于理想體重的90正常介于理想體重的80過輕小于理想體重的80消瘦(1)甲說：有的女性使用算法一與算法二算出的理想體重會相同．你認為正確嗎？請說明理由．(2)無論我們使用哪一種算法計算理想體重，都可將個人的實際體重表（2）歸類為的其中一種類別．①一名身高為?米的成年男性用算法二得出的理想體重不低于70公斤，直接寫出?的取值范圍________．②小王的父親身高1.75米，體重為73公斤，請根據算法三算出父親的理想體重，并評估他可能被歸類為哪一種類別？【答案】(1)甲的說法不正確，理由見解析(2)①?≥1.8；②過重【分析】該題主要考查了求代數式的值，一元二次方程，一元一次不等式的應用，解題的關鍵是熟練掌握表中算法，兩個表的互補性．（1）設女性身高為x米，根據算法一和算法二的計算方法表示出理想體重，列出方程求解，判斷即可；（2）①由男性的理想體重算法二，列不等式，求出h的取值范圍即可；②由男性的理想體重算法三，求出小王的父親的理想體重，算出實際體重占理想體重的百分比，再對照表（2）比較即得．【詳解】（1）解：假設甲敘述正確，設女性的身高為x米