高中數學知識點總結目錄知識01集合與常用邏輯用語……………………………2知識02函數的概念與基本初等函數……………5知識03導數及其應用…………………………18知識04立體幾何與空間向量…………………………22知識05平面解析幾何…………………………33知識06三角函數及解三角形……………………………46知識07概率與統計………………………………51知識08數列………………………………65知識09復數……………………………71知識10平面向量……………………73知識11不等式…………………………77

知識01集合與常用邏輯用語一、集合1.集合的相關概念(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數集及其記法集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集符號NN?或N?zQR(3)集合與元素間的關系對象a與集合M的關系是a∈M，或者a?M，兩者必居其一.(4)集合的表示法①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.③描述法：{x|x具有的性質}，其中x為集合的代表元素.④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).2.集合間的基本關系名稱記號意義性質示意圖名稱記號意義性質示意圖子集A?B(或B?A)A中的任一元素都屬于B(1)A?A(2)??A(3)若A?B且B?C,則A?C(4)若A?B且B?A,則A=B或真子集ACB(或B=A)A?B,且B中至少有一元素不屬于A(1)??A(A為非空子集)(2)若A?B且B?C,則A?C集合相等A=BA中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)A?B(2)B?A3.集合的三種基本運算名稱記號意義性質示意圖交集名稱記號意義性質示意圖交集A∩B{x|x∈A,且x∈B}(1)A∩A=A(2)A∩?=?(3)A∩B?AA∩B?B并集AUB{x|x∈A,或x∈B}(1)A∪A=A(2)A∪?=A(3)A∪B?AA∪B?B補集4.A{x|x∈U,且x?/}(1)A∩(φ,A)=?(2)AU(φ,A)=U二、充分條件與必要條件1.命題的概念用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.2.充分條件與必要條件的相關概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.若p?q，則p是q的充要條件(充分必要條件).三、全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見量詞表示符號全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等?存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等?2.全稱命題與特稱命題命題名稱命題結構命題簡記全稱量詞命題對M中任意一個x，有p(x)成立?x∈M,p(x)存在量詞命題存在M中的一個x?，使p(x?)成立?x?∈M,p(x?)3.全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定命題名稱語言表示符號表示命題的否定全稱量詞命題對M中任意一個x，有p(x)成立?x∈M,p(x)?x?∈M,-p(x?)存在量詞命題存在M中的一個x?，使p(x?)成立?x?∈M,p(x?)?x∈M,-p(x)

知識02函數的概念與基本初等函數一、函數的概念及其表示1.函數設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數y2.函數的有關概念(1)函數的定義域、值域：在函數y=f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域：與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合fx∣(2)函數的三要素：定義域、值域和對應關系.(3)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據.(4)函數的表示法：解析法、圖象法、列表法。3.分段函數若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做分段函數.(1)確定函數的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發.(2)如果函數y=f(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域.(3)如果函數y=f(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.0值域是一個數集，由函數的定義域和對應關系共同確定.(1)分段函數雖由幾個部分構成，但它表示同一個函數.(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函數的定義域不可以相交.③4.常用結論(1)若f(x)為整式，則函數的定義域為R：(2)若f(x)為分式，則要求分母不為0；(3)若f(x)為對數式，則要求真數大于0；(4)若f(x)為根指數是偶數的根式，則要求被開方式非負；(5)若f(x)描述實際問題，則要求使實際問題有意義.如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，求定義域常常等價于解不等式(組).二、函數的單調性與最值1.函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x?,x?當x?<x?時,都有f(x?)<f(x?),那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x?<x?時,都有f(x?)>f(x?),那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區間的定義

如果函數y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f2.函數的最值前提設函數f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件對于任意x∈I,都有f(x)≤M;存在x?∈I,使得f(x?)=M對于任意x∈I,都有f(x)≥M;存在x?∈I,使得f(x?)=M結論M為最大值M為最小值三、函數的奇偶性、周期性與對稱性1.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱2.函數的周期性(1)周期函數：對于函數y=f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x+T)=f(x)，那么就稱函數y=f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.3.函數的周期性(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(3)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.

(4)函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：①若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).②若fx+③若fx+a(5)對稱性的三個常用結論①若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.②若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f-x=f2a+③若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱.四、二次函數與冪函數1.冪函數(1)冪函數的定義一般地，形如y=x(2)5個常見冪函數的圖象與性質函數y=xy=x2y=x3y=x2y=x?1定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{v|v≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數

函數y=xy=x2y=x3函數y=xy=x2y=x3y=x1y=x?1單調性在R上單調遞增在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增在R上單調遞增在(0,+∞)上單調遞增在(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞減圖象過定點(0,0),(1,1)(1,1)2.二次函數(1)二次函數解析式的三種形式一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0),圖象的對稱軸是x=-b/2a,頂點坐標是|-b?,4ac-b2)頂點式f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),圖象的對稱軸是x=m，頂點坐標是(m，n)零點式f(x)=a(x-x?)(x-x?)(a≠0),其中x?,x?是方程(ax2+bx+c=01的兩根，圖象的對稱軸是x=x?+x?(2)二次函數的圖象與性質函數y=ax2+bx+c(a>0)y=a2+bx+c(a<0)圖象(拋物線)定義域函數y=ax2+bx+c(a>0)y=a2+bx+c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域4ac-b2,+∞)(-∞,4ac-4a函數y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)對稱軸x=-b/2a頂點坐標(-b/2a,4ac-b2)奇偶性當b=0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數單調性在[-∞,-b/2a]上是減函數：在[-b/2a.+∞)上是增函數在[-∞,-b]上是增函數：在[-b2a,+∞)上是減函數3.常用結論①二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區間的范圍有關.②若fx=ax2+bx+ca≠0,則當{a五、指數與指數函數1.根式(1)概念：式子na(2)性質:nan=當n為奇數時，n當n為偶數時，n2.分數指數冪(1)規定：正數的正分數指數冪的意義是anm=1na的意義是的意義是且n>1);0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.(2)有理指數冪的運算性質：aras=a3.指數函數及其性質(1)概念：函數y=a(2)指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象定義a>10<a<1圖象定義域R值域(0,+∞)性質過定點(0,1),即x=0時,y=1當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1當x<0時,y>1;當x>0時,0<y<1在(-∞,+∞)上是增函數在(-∞,+∞)上是減函數4.常用結論(1)畫指數函數y=axa(2)在第一象限內，指數函數y=六、對數與對數函數1.對數的概念

如果ax=Na0)?且a≠)，那么x叫做以a為底N的對數，記作2.對數的性質、換底公式與運算性質(1)對數的性質：①a**,"=N;②log?a3=b(a>0且a≠1).(2)對數的運算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①②③④log(3)換底公式：logbN3.對數函數及其性質(1)概念：函數y=logaxa(2)對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質a>10<a<1圖象性質定義域:(0,+∞)值域：Ra>10<a<1圖象當x=1時,y=0,即過定點(1,0)a>10<a<1圖象當x=1時,y=0,即過定點(1,0)當x>1時,y>0:當0<x<1時,y<0當x>1時,y<0:當0<x<1時,y>0在(0，+∞)上是增函數在(0，+∞)上是減函數4.反函數指數函數y=axa0)5.常用結論①換底公式的兩個重要結論1其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.②在第一象限內，不同底的對數函數的圖象從左到右底數逐漸增大.③對數函數y=logx(a>0?且a≠)的圖象過定點(1,0),且過點(a,1),1a-1七、函數的圖象1.利用描點法作函數圖象其基本步驟是列表、描點、連線.首先：(1)確定函數的定義域：

(2)化簡函數解析式：(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；其次，列表，描點，連線.2.函數圖象的變換(1)平移變換①y=f(x)的圖象→y=f(x-a)的圖象：②y=f(x)的圖象一般用外單位→y=f(x)+b的圖象.“左加右減，上加下減”，左加右減只針對x本身，與x的系數，無關，上加下減指的是在f(x)整體上加減.(2)對稱變換①y=f(x)的圖象關于x軸對稱→y=-f(x)|的圖象：②y=f(x)的圖象-關于y軸對稱→y=f(-x)的圖象;③y=f(x)的圖象-關于原點對稱→y=-f(-x)的圖象；④y=a(3)伸縮變換①y=f(x)的圖象-→y=f②y=f(x)的圖象(4)翻折變換①y=fx的圖象x軸下方部分翻折到上方②y=fx的圖象———斯·維左側部分去列，右側不變?→3.常用結論(1)函數圖象自身的軸對稱

①f(-x)=f(x)?函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱:②函數y=f(x)的圖象關于x=a對稱f③若函數y=f(x)的定義域為R，且有fa+x=fb-(2)函數圖象自身的中心對稱①f(-x)=-f(x)?函數y=f(x)的圖象關于原點對稱:②函數y=f(x)的圖象關于(a,0)對稱f③函數y=f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱?(3)兩個函數圖象之間的對稱關系①函數y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關于直線x=b-a2②函數y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱:③函數y=f(x)與y=2b-f(-x)的圖象關于點(0,b)對稱:④函數y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關于點(a,b)對稱.八、函數與方程1.函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數x叫做函數.y=f(2)幾個等價關系方程fx=0有實數根?函數y=f(3)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數y=fx在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有fa?fb<0,那么函數y=fx在區間(a，b)內有零點，即存在(2.二次函數圖象與零點的關系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)(的圖象與x軸的交點(x?,0),(x?,0)(x?,0)無零點個數210九、函數的模型及其應用1.幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)二次函數模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)指數函數模型f(x)=bx+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)對數函數模型f(x)=blog。x+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)冪函數模型f(x)=ax°+b(a,b為常數,a≠0)

函數模型函數解析式“對勾”函數模型y=x+ax(a>0)2.三種函數模型的性質函數性質y=a?(a>1)y=log。x(a>1)y=x"(n>0)在(0,+∞)上的單調性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大，逐漸表現為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x?,當x>x?時,有klog。x<x"<a"

知識03導數及其應用一、導數的概念及運算1.導數的概念一般地,函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率lim△x→0△y△x=lim△x→0f(x0+△x)?2.導數的幾何意義函數f(x)在點x?處的導數f'x0的幾何意義是在曲線y=fx上點P3.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)=c(c為常數)f'(x)=0f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=e?f'(x)=e?f(x)=lnxf'(x)=1f(x)=x°(α∈Q')f'(x)=αx"')f(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=a'(a>0,a≠1)

基本初等函數導函數f'(x)=a?lnaf(x)=log。x(a>0,a≠1)f'(x)=_1/xnx4.導數的運算法則125.常用結論1.f'(x?)代表函數f(x)在x=x?處的導數值;x=x0(fx023.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.4.函數y=f(x)的導數f'(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f'(x)|反映了變化的快慢，|f'(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.二、利用導數研究函數的單調性1.函數的單調性與導數的關系函數y=f(x)在區間(a,b)內可導,(1)若f'(2)若f'x(3)若恒有f'討論函數的單調性或求函數的單調區間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優先”原則.2.常用結論(1)在某區間內f′(2)可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈ab,三、利用導數解決函數的極值最值1.函數的極值(1)函數的極小值：函數y=f(x)在點x=a的函數值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f'a=0;而且在點x=a附近的左側f'x<0,(2)函數的極大值：函數y=f(x)在點x=b的函數值f(b)比它在點.x=b附近其他點的函數值都大，f'b=0:而且在點x=b附近的左側f'x>0,①函數f(x)在x?處有極值的必要不充分條件是f'x0=0,極值點是f'x=0的根，但②極值反映了函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質.極值點是函數在區間內部的點，不會是端點.2.函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.

(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值.3.常用結論(1)對于可導函數f(x),“f'(x?)=0”是“函數f(x)在x=(2)求最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.(3)函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.四、利用導數研究生活中的優化問題1.生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題.2.利用導數解決優化問題的實質是求函數最值.3.解決優化問題的基本思路上述解決優化問題的過程是一個典型的數學建模過程.4.對于優化問題，建立模型之后需要對模型進行最大值最小值的求解，從而轉化為導數求極值最值問題.

知識04立體幾何與空間向量一、空間幾何體的結構特征、三視圖和直觀圖1.空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側面展開圖矩形扇形扇環2.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為45°(或135°),z'軸與x'軸、y'軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半.3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S圓+2S底V=S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S則+S點V=13臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側+S上+SFv=13(s?+s?+52球S=4πR2v=43二、空間幾何體的表面積與體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積：=S則+2S/底V=S點h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側+S底v=13臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側+S上+S下v=13(SE+Str+51球S=4πR2V=43三、空間兩直線的位置關系1.平面的基本性質

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.(2)公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.2.空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a//ballaα//β相交關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a//ballaα//β相交關系圖形語言符號語言anb=Aa∩α=Aα∩β=l獨有關系圖形語言符號語言a，b是異面直線aca3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.4.異面直線所成的角(1)定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線(a′‖a,b′/(2)范圍:0四、直線、平面平行的判定與性質1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線平行于此平面aφa,b?a,a∥b?a∥a性質定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a1/α,a?β,a∩β=b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?a,b?a,a∩b=P,a∥β,b∥β?a∥β性質定理兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一個平面α∥β,a?a?a∥β如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b五、直線、平面垂直的判定與性質1.直線與平面垂直

(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法.②利用判定定理：一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直.③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面.(2)直線和平面垂直的性質①直線垂直于平面，則垂直于平面內任意直線.②垂直于同一個平面的兩條直線平行.③垂直于同一條直線的兩平面平行.文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l⊥al⊥ba○b=0{?l⊥aa?ab?a性質定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行a⊥α}?a//b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法.②利用判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.(2)平面與平面垂直的性質

兩平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.六、空間向量、加減運算及數乘運算(1)空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量a的的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作AB(2)零向量與單位向量規定長度為0的向量叫做零向量，記作0.當有向線段的起點A與終點B重合時，A模為1的向量稱為單位向量.(3)相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內的兩個向量.與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為ā的相反向量，記為-(4)空間向量的加法和減法運算①OC②空間向量的加法運算滿足交換律及結合律a(5)數乘運算實數λ與空間向量a|的乘積λa稱為向量的數乘運算.當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，向量λ(6)空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律λ(7)共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，a平行于b,記作a//b.

(8)共線向量定理對空間中任意兩個向量a,b(b≠0),a//b|的充要條件是存在實數λ，使a(9)直線的方向向量如圖8-153所示，1為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線.對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使OP=OA+ta①,其中向量a叫做直線l的方向向量，在l上取①和②都稱為空間直線的向量表達式，當t=12,即點P是線段AB的中點時，(10)共面向量如圖8-154所示，已知平面α與向量a，作OA=a,(11)共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使推論：①空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x，y)，使AP=xAB+yAC②已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，滿足向量關系式OP=x七、空間向量的數量積運算(1)兩向量夾角已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O，作OA=a,OB=b記作(a,b),通常規定(0≤ab≤π,如果ab=π2,(2)數量積定義已知兩個非零向量a，b，則abcosab叫做a,b的數量積，記作a?b,即(3)空間向量的數量積滿足的運算律：λa?a?b八、空間向量的坐標運算及應用(1)設a=a1a2aλaaa(2)設Ax1y1z這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標.(3)兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.①已知a=a1a∣a②已知Ax1y1或者dAB(4)向量a在向量b上的投影為

(4)向量a在向量b上的投影為九、向量法證明平行、垂直(1)平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作n?α,如果n⊥α,注意：①法向量一定是非零向量；②一個平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是與平面平行或在平面內，則有m第一步：寫出平面內兩個不平行的向a第二步：那么平面法向量第二步：那么平面法向量n=x(2)判定直線、平面間的位置關系①直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線a，b的方向向量分別為(a,b.若ab,即a=λ若a⊥b,即②直線與平面的位置關系：直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，且l⊥α.若ā∥n,即a=λ若a⊥n,即(3)平面與平面的位置關系平面α的法向量為π?，平面β的法向量為n?.若n1∥n2,即n1=λn2,則十、空間角與距離公式

(1)異面直線所成角公式：設a，b分別為異面直線l?，l?上的方向向量，θ為異面直線所成角的大小，則小，則(2)線面角公式：設l為平面α的斜線，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成角的大小，則l與α所成角的大小，則(3)二面角公式：設n?，n?分別為平面α，β的法向量，二面角的大小為θ，則θ=n1n2或π-n(4)異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質直接計算.如圖，設兩條異面直線a，b的公垂線的方向向量為π，這時分別在a，b上任取A，B兩點，則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a，b的距離.則d=∣A(5)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖)，π為平面α的法向量，過A作平面α的斜線AB及垂線AH.故d=知識05平面解析幾何一、直線的方程1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.(2)規定：當直線l與x軸平行或重合時，它的傾斜角為0.(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π).2.斜率公式(1)定義式：直線l的傾斜角為αα≠(2)坐標式:P?(x?,y?),P?(x?,y?)(在直線l上,且.x1≠x2,3.直線方程的5種形式名稱方程適用條件點斜式y-y?=k(x-x?)不含垂直于x軸的直線斜截式y=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點式y=y=x+x=x+x=x不含直線x=x?(x?≠x?)和直線y=y?(y?≠y?)截距式x+y/b=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax+By+C=0,A2+B2≠0平面內所有直線二、兩直線的位置關系

1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：①對于兩條不重合的直線l1,l2②當直線l1,l2兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況.(2)兩條直線垂直：①如果兩條直線l1,l2的斜率存在，設為k1②當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l2.兩條直線的交點的求法直線l1:A1x+3.三種距離公式1P1x1(2)點P0x0y0到直線l:Ax+By+C=0的距離:(3)平行線Ax+By+C1=0與常用結論1.過定點Px0y0的直線系方程：Ax-x0+2.平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).3.垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Bx-Ay+λ=0.4.過兩條已知直線A1x+B1y+C1=0,A5.點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y),關于y軸的對稱點為(-x,y).6.點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x),關于直線y=-x的對稱點為(-y,-x).7.點(x,y)關于直線x=a的對稱點為(2a-x,y),關于直線y=b的對稱點為.8.點(x,y)關于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).9.點(x,y)關于直線x+y=k的對稱點為(k-y,k-x),關于直線x-y=k的對稱點為(k三、圓的方程1.圓的定義及方程定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心:(a,b),半徑:r兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)圓心：(-D?.-E).半徑：122.點與圓的位置關系點M(x?,y?)與圓x-a2(1)若M(x?,y?)在圓外,則(x(2)若M(x?,y?)在圓上,則x(3)若M(x?,y?)在圓內,則(x常用結論(1)二元二次方程Ax2+Bx(2)以A(x?,y?),B(x?,y?)為直徑端點的圓的方程為x四、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系1.直線與圓的位置關系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點d>rd=rd<r2.圓與圓的位置關系設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R,r(R>r),則位置關系外離外切相交內切內含公共點個數01210d,R,r的關d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

位置關系外離外切相交內切內含系公切線條數43210判斷圓與圓位置關系的注意點對于圓與圓的位置關系，從交點的個數，也就是方程組的解的個數來判斷，有時得不到確切的結論.如當Δ<0時，需要再根據圖形判斷兩圓是外離，還是內含；當Δ=0時，還需要判斷兩圓是外切，還是內切.常用結論1.圓的切線方程常用結論(1)過圓x2+y2=r2上一點(2)過圓x-a2+y-b(3)過圓x2+y2=r2外一點2.圓系方程(1)同心圓系方程：x-a(2)過直線Ax+By+C=0與圓x2+x(3)過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F五、橢圓的幾何性質1.橢圓的定義

平面內到兩定點F?，F?的距離的和等于常數(大于∣F1F2∣)集合P=M∣∣MF(1)當2a(2)當2a=∣F(3)當2a<∣2.橢圓的標準方程和幾何性質標準方程x標準方程x24+y23x2=1(a>b>0)圖形性質范圍x∈[-a,a],y∈[-b,b]x∈[-b,b],y∈[-a,a]對稱性對稱軸：坐標軸：對稱中心：原點頂點A(-a,0),A?(a,0)B?(0,-b),B?(0,b)A(0,-a),A?(0,a)B?(-b,0),B?(b,0)離心率e=f/a,且e∈(0,1)a,b,c的關系c2=a2-b2離心率表示橢圓的扁平程度.當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=a2-c2越小，因此橢圓越扁：當e越接近于0時，c越接近于0，從而b=a2-常用結論1.焦半徑：橢圓上的點Px0y0與左(下)焦點與右(上)焦點F1F212(3)焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最小(近日點與遠日點).2.焦點三角形：橢圓上的點2.焦點三角形：橢圓上的點Px0y0與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形，(1)當P為短軸端點時，θ最大.2當∣y(3)焦點三角形的周長為2(a+c).3.焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長l4.AB為橢圓x2a2+y2b2=1ab(1)弦長l(2)直線AB的斜率kA六、直線與橢圓的位置關系1.點與橢圓的位置關系點P(x?,y?)與橢圓x2a點P在橢圓上?x點P在橢圓內部?x點P在橢圓外部”x點P在橢圓外部”x2.直線與橢圓的位置關系直線y=kx+m與橢圓x2a聯立{y=位置關系解的個數Δ的取值相交兩解Δ≥0相切一解Δ=0相離無解Δ≤0七、雙曲線1.雙曲線的定義平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零0常數(小于集合P=M∣∣∣∣M2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程x/a-z/s=1(a>0,b>0)2標準方程x/a-z/s=1(a>0,b>0)2—2=1(a>0,b>0)圖形性質范圍x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點頂點坐標：A?(-a,0),A?(a,0)頂點坐標：A(0,-a),A?(0,a)漸近線y=±b/axy=±a/bx離心率e=[a,e∈(1,+∞)a,b,c的關系c2=a2+b2實虛軸線段A?A?叫做雙曲線的實軸，它的長|A?A?|=2a；線段B?B?叫做雙曲線的虛軸，它的長|B?B?|=2b：a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長(1)若將雙曲線的定義中的“差的絕對值等于常數”中的“絕對值”去掉，則點的集合是雙曲線的一支，具體是左支還是右支視情況而定.(2)設雙曲線上的點M到兩焦點F1,F2的距離之差的絕對值為2a，則①若2a=∣F1F2②若2a>∣③若2a=0，則點M的軌跡是線段F?F?的垂直平分線.常用結論1.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2.若P是雙曲線右支上一點，F?，F?分別為雙曲線的左、右焦點，則∣3.同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為2b2a4.若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F?，F?分別為雙曲線的左、右焦點，則S△5.若P是雙曲線x2a26.等軸雙曲線(1)定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.(2)性質:①a=b;②e=2③漸近線互相垂直：④等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項.7.共軛雙曲線(1)定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線.(2)性質：①它們有共同的漸近線：②它們的四個焦點共圓；③它們的離心率的倒數的平方和等于1.八、拋物線1.拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：

(1)在平面內：(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等；(3)定點不在定直線上.(C)其中點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程和幾何性質標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點F(B?.0)F(-B.0)F(o.?)F(0.-R)離心率e=1準線方程x=-P?x=P?y=-P?y=P?范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x?,y?))|PF|=x?+R?|PF|=-x?+2|PF|=y?+B?|PF|=-x。+P?(1)若定點F在定直線l上，則動點的軌跡為過點F且垂直于l的一條直線.

(2)四種不同拋物線方程的異同點共同點(1)原點都在拋物線上：(2)焦點都在坐標軸上：(3)準線與焦點所在坐標軸垂直，垂足與焦點關于原點對稱，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的14即.2不同點(1)焦點在x軸上時，方程的右端為±2px，左端為y2；焦點在y軸上時，方程的右端為±2py，左端為x2；(2)開口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同，即焦點在x軸(或y軸)的正半軸上，方程的右端取正號：開口方向與x軸(或y軸)的負半軸相同，即焦點在x軸(或y軸)的負半軸上，方程的右端取負號.常用結論設AB是過拋物線y2=2pxp012∣AF∣=p13(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切：(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上.九、曲線與方程1.曲線與方程一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程.fxy(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解.

(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.2.求動點軌跡方程的一般步驟(1)建立適當的坐標系θ，用有序實數對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出適合條件p的點M的集合P(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(4)化方程fx(5)說明化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.①如果曲線C的方程是fxy=0,那么點P“曲線C是方程fxy=0的曲線”是“曲線C上的點的坐標都是方程，②坐標系建立的不同，同一曲線在不同坐標系中的方程也不同，但它們始終表示同一曲線.有時此過程可根據實際情況省略，直接列出曲線方程.

知識06三角函數及解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函數1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.按終邊位置不同分為象限角和軸線角.(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合S2.弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數公式|α|=17角度與弧度的換算1°=π/180rad;1rad=180π。弧長公式弧長ll=|a|r扇形面積公式s=12μ=13.任意角的三角函數(1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα(2)幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線.二、同角三角函數的基本關系與誘導公式1.同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin(2)商數關系：sin2.三角函數的誘導公式公式—二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ/2-απ/2+α正弦sinα-sinα-sinαsinacosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsina-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限3.常用結論(1)同角三角函數關系式的常用變形

s(2)誘導公式的記憶口訣π2“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.(3)在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.三、三角函數的圖象及性質1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)正.弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個關鍵點是:00,π21,π002.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)函數y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域函數y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{x|x∈Rx≠kπ+π}值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數偶函數奇函數遞增區間[2kπ-π/2,2kπ+π/2][2kπ-π,2kπ](kπ-π/2,kπ+π/2)函數y=sinxy=cosxy=tanx遞減區間[2kπ+π/2,2kπ+3[2kπ,2kπ+π]無對稱中心(kπ,0)kπ+π/2,0(π/2,0)對稱軸方程x=kπ+π/2x=kπ無四、正弦定理余弦定理1.正弦定理：asi(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC232.余弦定理：a22.余弦定理：a余弦定理可以變形：c3.S4.在△AA為銳角A為鈍角或直角

A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a=bsinAbsinA<a<bA為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數一解兩解一解一解5.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖①).(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°,北偏西(3)方位角指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.

知識07概率與統計一、隨機抽樣1.簡單隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法.2.分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.(2)應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣。二、用樣本估計總體1.頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數和組距，組距=極差數第二步：分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間：第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)

橫軸表示樣本數據，縱軸表示頻率組2.樣本的數字特征(1)眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數.(2)中位數：把n個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數.(3)平均數：把a1+a2+?(4)標準差與方差:設一組數據x?,x?,x?,……,x?|的平均數為π，則這組數據的標準差和方差分別是s常用結論1.頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數.(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數、方差的公式推廣(1)若數據x1,x2,?,xn的平均數為x，那么(2)數據x1,x2,?①數據x1+②數據ax1,ax三、變量間的相關關系與統計案例1.變量間的相關關系(1)常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數關系，另一類是相關關系；與函數關系不同，相關關系是一種非確定性關系.(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點散布在左上角到右下角的區域內，兩個變量的相關關系為負相關.2.兩個變量的線性相關(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.(2)回歸方程為(2)回歸方程為y=b(3)通過求Q=i=(4)相關系數：當r>0時，表明兩個變量正相關；當r<0時，表明兩個變量負相關.r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強.r的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常||大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性.3.獨立性檢驗(1)分類變量和列聯表分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.列聯表：①定義：列出的兩個分類變量的頻數表稱為列聯表.②2×2列聯表.一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為x1x2和yy?y?總計x?aba+bx?Cdc+d總計a+cb+dn=a+b+c+d從2×2列表中，依據aa+b與(2)等高條形圖①等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯表數據的頻率特征.②觀察等高條形圖發現aa+b與(3)獨立性檢驗計算隨機變量χ2=nad-bα0.100.050.0100.0050.001x。2.7063.8416.6357.87910.828四、兩個計數原理1.兩個計數原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計數原理有兩類不同方案1，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法N=m+n種不同的方法分步乘法計數原理需要兩個步驟2，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N=mxn種不同的方法(1)每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事.(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.①每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事.

②各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏.常用結論1.完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有m?種不同的方法，在第2類方案中有m?種不同的方法……在第n類方案中有m。種不同的方法，那么，完成這件事共有N=2.完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第1步有m?種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法......做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N=五、排列、組合問題1.排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合的定義合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2.排列數、組合數的定義、公式、性質排列數組合數定義從n個不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N')個元素的所有不同排列的個數從n個不同元素中取出/m(m≤n,m,n∈N')個元素的所有不同組合的個數公式A..=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=(n-m);G:=x=n(a-1)(a-1).n------)..(n-m-+1)1性質A;=n!,0!=1C0=1,Cn=Cn?",Cn?+Cn?'=Cn?",Cn?';六、二項式定理1.二項式定理

(1)二項式定理：(1)二項式定理：(2)通項公式：Tk+1=Cn(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為(C2.二項式系數的性質七、隨機事件的頻率與概率1.頻數、頻率和概率(1)頻數、頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數σ，稱事件A出現的比例fn(2)概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fnA2.事件的關系與運算名稱條件結論符號表示

名稱條件結論符號表示包含關系A發生?B發生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?B事件A與事件B相等A=B并(和)事件A發生或B發生事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交(積)事件A發生且B發生事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B為不可能事件事件A與事件B互斥A∩B=?對立事件A∩B為不可能事件.A∪B為必然事件事件A與事件B互為對立事件A∩B=?,P(A∪B)=13.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍:0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率:P(E)=1.(3)不可能事件的概率：P(F)=0.(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).常用結論探究概率加法公式的推廣(1)當一個事件包含多個結果時，要用到概率加法公式的推廣，即PA2P(八、古典概型1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次試驗中，可能出現的結果是有限的，即只有有限個不同的基本事件；，②等可能性：每個基本事件出現的可能性是相等的.一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結果是否是等可能的，設出所求的事件為A；②分別計算基本事件的總數n和所求的事件A所包含的基本事件個數m；③利用古典概型的概率公式PA=(3)頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的m，n均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值?/n古典概型的概率計算公式二是一個定值，對同一個隨機事件而言，m，n都不會變化九、離散型隨機變量及其分布列1.隨機變量的有關概念(1)隨機變量：隨著試驗結果變化而變化的變量，常用字母X,Y,ξ,η,……表示(2)離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量.2.離散型隨機變量分布列的概念及性質

(1)概念：若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,?,xi,?,xxx?x?·x?—x?PP?p?·p?·p?此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.有時也用等式PX(2)分布列的性質：①3.常見的離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布列x01P1-pp若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點分布，并稱p=在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則PX=k=CNkCN-x01mPCCCECLEN:CHCKMCN若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從超幾何分布，十、二項分布及正態分布1.條件概率及其性質

(1)條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(2)條件概率的性質①非負性：0②可加性：如果B和C是兩個互斥事件，則P2.全概率公式1(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1①任意兩個事件均互斥，即A②③P(A?)>0,i=1,2,…,n.則對Ω中的任意事件B，都有B=BAP注意：(1)全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題.(2)什么樣的問題適用于這個公式?所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式.3.貝葉斯公式(1)一般地,當0<P(A)<1且P(B)>0時,有P(2)定理2若樣本空間Ω中的事件A?,A?,…,A?滿足:①任意兩個事件均互斥，即A②③0<P(A)<1,i=1,2,…,n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，都有B且PA且P注意：(1)在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式.貝葉斯公式的意義是導致事件B發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率.(2)貝葉斯公式充分體現了P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|A),P(AB)之間的轉關系,即PA|B4.相互獨立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發生與事件B的發生互不影響，則稱事件A，B是相互獨立事件(2)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨立.(3)若A與B相互獨立，則A與B,A與B,A.與B(4)若A與B相互獨立，則P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(5)一般地，如果事件A?,A?,……,A?(n>2,n∈N?)相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積，即P5.獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗：一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗.獨立重復試驗的條件：①每次試驗在相同條件下可重復進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生。(2)二項分布：一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，則事件A恰好發生k次的概率為PX=k判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：，(1)是否為n次獨立重復試驗；，(2)隨機變量是否為某事件在這n次獨立重復試驗中發生的次數.6.正態分布(1)正態曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

②曲線是單峰的，它關于直線.x=μ對稱：③曲線在x=μ處達到峰值1④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.(2)正態分布的三個常用數據①②③十一、離散型隨機變量的均值與方差1.均值一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：xx?x?··x?x。PP?p?···P?p。則稱EX=x(1)期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.，(2)E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態.

3EX2.方差設離散型隨機變量X的分布列為：xx?x?x?xnPp?P?P?p。則xi-EX2描述xii=12?n了(1)隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.D(X)越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.，(2)方差也是一個常數，它不具有隨機性，方差的值一定是非負.3.兩個特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點分布E(X)=pD(X)=p(1-p)二項分布E(X)=npD(X)=np(1-p)常用結論若Y=aX+b,其中a,b是常數,X是隨機變量,則1Ek23E4(5)若X1,X2相互獨立，則知識08數列一、數列的概念及簡單表示1.數列的概念(1)數列的定義：按照一定順序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.(2)數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集N?(或它的有限子集)為定義域的函數an=(3)數列的表示法：列表法、圖象法和通項公式法.數列的圖象是一系列孤立的點，而不是連續的曲線.2.數列的分類分類原則類型滿足條件按項數分類有窮數列項數有限無窮數列項數無限按項與項間的大小關系分類遞增數列ann?>an其中n∈N°遞減數列ani<a?常數列anut=an3.數列的通項公式(1)通項公式：如果數列an的第n項an與序號n之間的關系可以用一個式子.an①并不是所有的數列都有通項公式：

②同一個數列的通項公式在形式上未必唯一：③對于一個數列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規律，是不能確定這個數列的.(2)遞推公式：如果已知數列an的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與通項公式和遞推公式的異同點不同點相同點通項公式可根據某項的序號n的值，直接代入求出an都可確定一個數列，也都可求出數列的任意一項遞推公式可根據第一項(或前幾項)的值，通過一次(或多次)賦值，逐項求出數列的項，直至求出所需的an，也可通過變形轉化，直接求出an二、等差數列及前n項和1、等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an-an-2、等差中項若三個數a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且有A3、等差數列的通項公式如果等差數列{an}的首項為a?，公差為d，那么它的通項公式是(a4、等差數列的前n項和公式設等差數列{an}的公差為d，其前n項和S5、等差數列的常用性質已知{an}為等差數列，d為公差，Sn為該數列的前n項和.(1)通項公式的推廣：a(2)在等差數列{a?}中,當,m+n=p+q時,a特別地，若m+n=2t,則am3ak,a4Sn,S(5)若an,bn是等差數列，則(6)若an是等差數列，則Snn也成等差數列，其首項與{an首項相同，公差是(an(7)若項數為偶數2n，則S(8)若項數為奇數2n-1,(8)若項數為奇數2n-1,則(9)在等差數列{an}中,若a1>0,d<0,則滿足{am≥0am+1≤0的項數m使得10Sn=d2n(11)等差數列的前n項和的最值公差d>公差d<公差d=特別地若{a1若{a1(12)若已知等差數列{an},公差為d,前n項和為Sn,則:①等間距抽取ap,②等長度截取Sm,S2m③算術平均值S11,S三、等比數列及前“項和1、定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零)，那么這個數

列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為a2、等比中項：如果a，G，b成等比數列，那么G叫做。與b的等比中項.即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數列?3、等比數列的通項公式設等比數列{an}的首項為a?，公比為(q(q≠0)，則它的通項公式a推廣形式：a4、等比數列的前n項和公式等比數列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為等比數列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為注①等比數列的前n項和公式有兩種形式，在求等比數列的前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比q是否為1時，要分q=1與q≠1兩種情況討論求解.②已知.a?,q(q≠1),n(項數)，則利用Sn=a11-q*1-q求解；已知③Sn=5、等比數列的性質(1)等比中項的推廣。若m+n=p+q時,則aman=apaq,(2)①設{an}為等比數列,則{λa,}(λ為非零常數),∣a②設{an}與{b?}為等比數列,則{a?b?}也為等比數列.(3)等比數列{a?}的單調性(等比數列的單調性由首項a?與公比q決定).當{a1>0q>當{a1>00<q<1(4)其他衍生等比數列.若已知等比數列an,①等間距抽取ap,ap+②等長度截取Sm,S2m-Sm,S3四、數列求和(1)公式法①等差數列的前n項和公式Sn=②等比數列的前n項和公式準導方法：乘公比，錯位相減法.準導方法：乘公比，錯位相減法.(2)分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.(3)裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.(4)倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣。(5)錯位相減法主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣.(6)并項求和法

一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an=-1知識09復數一、復數的概念(1)i叫虛數單位，滿足i2=-1,當k∈Z時,i(2)形如a+bi(a,b∈R)的數叫復數,記作a+bi∈C.①復數z=a+bi(a,b∈R)與復平面上的點Z(a,b)一一對應,a叫z的實部,b叫z的虛部;b=0?z∈R,Z點組成實軸:b≠0,z叫虛數:b≠0且a=0,z|