6.1平方根第六章實數導入新課講授新課當堂練習課堂小結第1課時算術平方根1.了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根;（重點）2.掌握算術平方根的非負性，會求非負數的算術平方根．（重點、難點）學習目標

在我校舉行的繪畫比賽中，歡歡同學準備了一些正方形的畫布，你能計算出它們的面積嗎？導入新課情境引入

已知一個正數，求這個正數的平方,這是平方運算.正方形的邊長120.5正方形的面積1

講授新課算術平方根一填表：表1思考：你能從表1發現什么共同點嗎？40.25正方形的面積140.3649正方形的邊長已知一個正數的平方，求這個正數.表2表一和表二中的兩種運算有什么關系？1

20.6

7

思考：你能從表2發現什么共同點嗎？

一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a,那么這個正數x叫做

a的算術平方根.練一練

1.因為22=4

，所以4的算術平方根是＿＿；

22.下列說法正確的是

.①5是25的算術平方根.②0.01是0.1的算術平方根.①一、算術平方根的概念a的算術平方根

互為逆運算平方根號被開方數讀作：根號a（a≥0)怎么用符號來表示一個數的算術平方根？(x≥0)二、數學符號表示1.一個正數的算術平方根有幾個？0的算術平方根是0.2.0的算術平方有幾個？負數沒有算術平方根.3.-1有算術平方根嗎？負數有算術平方根?一個正數的算術平方根有1個合作與交流：三、算術平方根的性質例1

分別求下列各數的算術平方根：（1）100，（2），（3）.

解:（1）由于102=100，

因此；典例精析

（2）由于2=，

因此；

（3）由于0.72=0.49，

因此.不難看出：被開方數越大，對應的算術平方根也越大.這個結論對所有正數都成立.例2

計算：（1）；（2）.

解：(1)原式=7+3-1=9；(2)原式=2+3-4=1.算術平方根具有雙重非負性a的算術平方根非負數非負數算術平方根的雙重非負性二

解：無意義，因為被開方數不是非負數．下列各式中哪些有意義？哪些無意義？為什么？

注意：被開方數為非負數.練一練例3若|m-1|+=0,求m+n的值.解:因為|m-1|

≥0，≥0，又|m-1|+=0,

所以|m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,所以m+n=1+(-3)=-2.典例精析

幾個非負數的和為0，則每個數均為0，現階段學過的非負數有絕對值、一個數的平方及算術平方根.歸納

1.填空：（看誰算得又對又快）

(1)一個數的算術平方根是3，則這個數是

.

(2)一個自然數的算術平方根為a，則這個自然數是___；和這個自然數相鄰的下一個自然數是

.

(3)

的算術平方根為

.

(4)

2的算術平方根為____.39a2a2+1當堂練習2.求下列各數的算術平方根:（1）169；(2)；(3)0.0001.解：(1)因為132=169,所以169的算術平方根是13，即(2)因為,所以的算術平方根是，即

(3)因為0.012=0.0001,所以0.0001的算術平方根是0.01，即3.下列式子表示什么意義？你能求出它們的值嗎？拓展提升解：（1）16；（2）3.

（1）已知，求的值；

（2）3x－4為25的算術平方根，求x的值.（1）本節課你學習了哪些知識？

（2）在探索知識的過程中，你積累了哪些經驗？這節課主要學習了算術平方根的概念和表示方法,知道了求一個正數的算術平方根與求一個正數的二次冪正好是互逆的過程，因此，求正數的算術平方根實際上可以轉化為求一個數的二次冪運算.只不過，只有正數和0才有算術平方根.思維方法：求一個正數的算術平方根運算和開平方求一個正數的二次冪運算互為逆運算.探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是發現問題和解決問題的基本方法和途徑.課堂小結6.1平方根第六章實數導入新課講授新課當堂練習課堂小結第2課時平方根1.了解平方根的概念，并理解開方與開平方的關系;2.會求非負數的平方根．（重點、難點）學習目標1.什么叫做算術平方根？2.判斷下列各數有沒有算術平方根，如果有請求出它們的算術平方根.

100；1；;0;－0.0025;(-3)2;－25；

導入新課回顧與思考（1）32=

，（－3）2=

；（2）

，

；（3）0.82=

，（－0.8）2=

.90.640.643.

填空9

思考：反過來，如果已知一個數的平方，怎樣求這個數？問題

如果一個數的平方等于9，這個數是多少？

想一想：3和-3有什么特征？

由于，所以這個數是3或-3.講授新課平方根的定義及性質3和-3互為相反數，會不會是巧合呢?根據上面的研究過程填表：如果我們把分別叫做的平方根，你能給出平方根的概念嗎？

根據上述問題，即要找出一個數，使它的平方等于給定的數.由此我們抽象出下述概念：

如果有一個數x，使得x2=a，那么我們把x叫作a的一個平方根，也叫作二次方根.如果x是正數a的一個平方根，那么a的平方根有且只有兩個：x與-x.即平方根互為相反數.平方根的性質：

例如：(±1)2=1，1的平方根為±1.

一、平方根的概念

由于02=0，而非零數的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.

由于同號兩數相乘得正數，所以任何一個數的平方都不會是負數，因此-9沒有平方根，進一步的，所有的負數都沒有平方根.在上面的問題中，我們求平方根的數都是正數.思考1.零有平方根嗎？如果有，它的平方根是多少？2.-9有平方根嗎？負數有平方根嗎?總結歸納1.一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；2.零的平方根是0；3.負數沒有平方根.判斷下列各數是否有平方根，請說明理由.-4;0;0.000001;100;練一練:判斷下列說法是否正確，并說明理由．（1）49的平方根是7；（2）2是4的平方根；（3）-5是25的平方根；（4）64的平方根是±8；（5）-16的平方根是-4．做一做典例精析例1

一個正數的兩個平方根分別是2a＋1和a－4，求這個數．解：由于一個正數的兩個平方根是2a＋1和a－4，則有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以這個數為(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法歸納：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數+1-1+2-2+3-3149平方

已知一個數，求它的平方的運算，叫作平方運算.回顧平方的概念+1-1+2-2+3-3149？運算反之，已知一個數的平方，求這個數的運算是什么？求一個數的平方根的運算叫作開平方.二、開平方的概念例2

分別求下列各數的平方根：

36，，1.21.

解

由于62=36，

因此36的平方根是6與-6.36是正數（1）36有兩個平方根

即典例精析（2）

解:由于2=，有兩個平方根

因此的平方根是與.

解:由于1.12=1.21，有兩個平方根（3）1.21

因此1.21的平方根是1.1與-1.1.即即表示a的正的平方根表示a的負的平方根記作a﹙a≥0﹚的平方根表示為一個非負數的平方根的表示方法：(算術平方根)三、平方根的數學符號表示說一說各表示什么意義？表示7的正的平方根（即算術平方根）表示7的負的平方根表示7的平方根

平方根與算術平方根的聯系：（1）具有包含關系:平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種;（2）存在條件相同:只非負數才有平方根和算術平方根;（3）0的平方根和算術平方根都是0.

四、平方根與算術平方根

平方根與算術平方根的區別：（1）定義不同：如果一個數x的平方等于a，那么這個數x叫做a的平方根，如果一個正數x的平方等于a,

即x2

=a,那么這個正數x叫做a的算術平方根.

（2）個數不同：一個正數有兩個平方根，而一個正數的算術平方根只有一個;（3）表示方法不同：正數a的算術平方根表示為，

而正數a的平方根表示為±.例3求下列各式的值：解：（1）；

（2）；

（3）

.典例精析1.判斷下列說法是否正確.正確.（4）(-4)2的平方根是-4.（1）

是的一個平方根；（2）

是6的算術平方根；（3）

的值是±4；正確.不正確，是4.不正確，是±4.當堂練習2.分別求64，，6.25的平方根.64的平方根是8與-8，的平方根是與，6.25的平方根是2.5與-2.5.解:解:（1）

（2）3.求下列各式的值：（1）（2）（3）（3）（1）正數的平方根有兩個，它們互為相反數；（2）0的平方根就是0；（3）負數沒有平方根．平方根的性質:被開方數的取值范圍：只有a≥0時有意義，a＜0時無意義.課堂小結6.2立方根第六章實數導入新課講授新課當堂練習課堂小結1.了解立方根的概念，會用立方運算求一個數的立方根;2.了解立方根的性質，并學會用計算器計算一個數的立方根的近似值．（重點、難點）學習目標

如圖，一個體積是64cm3的正方體的棱長是多少？導入新課？觀察與思考由于43=64,因此體積為64cm3的正方體，它的棱長是4cm.這是已知一個數的立方，求這個數的問題通過上節課的學習，我們知道：你能類比以上思路給立方根下個定義么？

即：若x3=a，則x是a的一個立方根（三次方根）.一般地，如果有一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫作二次方根.平方根的概念即：若x2=a，則x是a的一個平方根（二次方根）一般地，如果有一個數的立方等于a，那么這個數叫作a的立方根，也叫作三次方根.立方根的概念講授新課立方根一一、立方根的概念

類似于平方根，一個數a的立方根，用符號“”表示，讀作：“三次根號a”,其中a叫做被開方數，3叫做

.根指數請觀賞動畫3三次根號根指數被開方數表示：a的立方根不能省略讀作：三次根號a二、立方根的數學符號表示

類似開平方運算，求一個數的立方根的運算叫作“開立方”.注：“開立方”與“立方”互為逆運算三、開立方的概念4.因為(－2)3=－8,所以－8的立方根是_______.2.因為0.53=0.125,所以0.125的立方根________.1.因為23=8,所以8的立方根是_______.

根據立方根的意義填空6.因為()3=,所以的立方根是______.你能歸納出立方根有什么性質嗎？5.因為(－0.5)3=－0.125,所以－0.125的立方根是_____.3.因為()3=,所以的立方根是_______.練一練20.5-2-0.51.正數的立方根是________,2.負數的立方根是________,3.0的立方根________.正數負數0還有其他發現嗎？(提示:觀察練一練1和4,2和5,3和6)互為相反數的兩個數的立方根互為相反數，即觀察上面練一練13，回答1；46，回答2：~~四、立方根的性質平方根立方根性質正數0負數表示方法被開方數的范圍

兩個，互為相反數一個，為正數00沒有平方根一個，為負數平方根與立方根的區別和聯系

可以為任何數非負數

(3)=10.典例精析例2

分別求下列各數的立方根：(1);(2);(3).

解：(1)