選修4-4總復習單元復習－－極坐標與參數方程本課的重點：（1）參數方程與一般方程的互化；一般規定是把參數方程化為一般方程；較高規定是運用設參求曲線的軌跡方程或研究某些最值問題；（2）極坐標與直角坐標的互化。重點措施：<1>消參的種種措施；<2>極坐標方程化為直角坐標方程的措施；<3>設參的措施。一、重點與方法定義：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，在變換的作用下，點P(x,y)對應P/(x/,y/).稱為平面直角坐標系中的伸縮變換。4注（1）（2）把圖形當作點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到；（3）在伸縮變換下，平面直角坐標系不變，在同一直角坐標系下進行伸縮變換。二、極坐標系內一點的極坐標的規定XOM

對于平面上任意一點M，用表達線段OM的長度，用表達從OX到OM的角度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序數對（，）就叫做M的極坐標。尤其強調：表達線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表達從OX到OM的角度，即以OX（極軸）為始邊，OM為終邊的角。四、極坐標系下點與它的極坐標的對應狀況[1]給定（

,）,就可以在極坐標平面內確定唯一的一點M。[2]給定平面上一點M，但卻有無數個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數個。OXPM(ρ,θ)…直角坐標系中的點與坐標之間有什么對應關系假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除極點外,平面內的點和極坐標就可以一一對應了.我們約定,極點的極坐標是極徑=0,極角是任意角.（1）在極坐標系中，極徑容許取負值，極角也可以是任意的正角或負角（2）當＜0時，點M位于極角終邊的反向延長線上，且OM=。r的擴充（r，q）（3）M也可以表達為（r，q）3、負極徑的規定例.設點A（2，∏/3），直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A有關極軸，直線l,極點的對稱點的極坐標（限定>0.-∏<≦∏)結論：(1)點（，）有關極軸的對稱點是（，-）.(2)有關直線的對稱點是（，∏-）.(3)有關極點O的對稱點是（，∏+）。對稱性極坐標與直角坐標的互化關系（一）設點M的直角坐標是(x,y)

極坐標是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

互化公式的三個前提條件：1.極點與直角坐標系的原點重疊;2.極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重疊;3.兩種坐標系的單位長度相似.直角坐標系與極坐標系變換公式(二）在直角坐標系中，以（x0,y0)為極點，以x軸正向為極軸方向建立極坐標系。則有：x=x0+ρcosθy=y0+ρsinθ或ρ2=（x-x0)2+(y-y0)2tanθ=y-y0x-x0二、極坐標系中點的對稱性1、ρ(θ)=ρ（-θ）圖形有關極軸對稱2、ρ(θ)=ρ（Л-θ）圖形有關射線θ=Л/2所在的直線對稱

3、ρ(θ)=ρ（Л+θ）圖形有關極點O對稱。尤其強調：一般狀況下（若不作尤其闡明時），認為≥0。由于負極徑只在很少數狀況用。ρcosθ=aθ＝a(ρ∈R)ρsinθ=a（二）曲線的極坐標方程定義：假如曲線Ｃ上的點與方程f(,)=0有如下關系(１)曲線Ｃ上任一點的坐標(所有坐標中至少有一種)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標的點都在曲線Ｃ上。則曲線Ｃ的方程是f(,)=0。設P是空間任意一點，在oxy平面的射影為Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表達點Q在平面oxy上的極坐標，點P的位置可用有序數組(ρ,θ,z)表達.xyzoP(ρ,θ,Z)Qθ把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系.有序數組(ρ,θ,Z)叫點P的柱坐標，記作(ρ,θ,Z).其中ρ≥0,0≤θ＜2π,-∞＜Z＜+∞柱坐標系又稱半極坐標系，它是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的一部分建立起來的.空間點P的直角坐標(x,y,z)與柱坐標(ρ,θ,Z)之間的變換公式為xyzoPQθrφ設P是空間任意一點，連接OP，記|OP|=r，OP與OZ軸正向所夾的角為φ.在oxy平面的射影為Q，設P在oxy平面上的射影為Q，

Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最小正角為θ.這樣點P的位置就可以用有序數組(r,φ,θ)表達.(r,φ,θ)我們把建立上述對應關系的坐標系叫做球坐標系(或空間極坐標系).有序數組(r,φ,θ)叫做點P的球坐標，其中xyzoP(r,φ,θ)Qθrφ空間的點與有序數組(r,φ,θ)之間建立了一種對應關系.空間點P的直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,φ,θ)之間的變換關系為xyzoP(r,φ,θ)QθrφP(x,y,z)xyzxyzoP(ρ,θ,Z)QθxyzoP(r,φ,θ)Qθrφ（三）求曲線的極坐標方程環節1、根據題意畫出草圖；2、設點是直線上任意一點；3、連接MO；4、根據幾何條件建立關于的方程，并化簡；5、檢查并確認所得的方程即為所求。一般地，在平面直角坐標系中，假如曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數并且對于t的每一種容許值，由方程組（2）所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么方程(2)就叫做這條曲線的參數方程，聯絡變數x,y的變數t叫做參變數，簡稱參數，相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做一般方程。2.、參數方程注：x,y的范圍由t確定參數方程求法:（1）建立直角坐標系,設曲線上任一點P坐標為(x,y)（2）選用合適的參數（3）根據已知條件和圖形的幾何性質,物理意義,建立點P坐標與參數的函數式（4）證明這個參數方程就是所由于的曲線的方程參數方程與一般方程的互化1、精確把握曲線參數方程中的參數的意義及取值范圍。2、參數方程化一般方程的技巧：（1）代入消去發。（2)加減消去法。（3）恒等式法：cos2θ+sin2θ=1、1+tan2θ=sec2θ、1+cot2θ=csc2θ、等3、一般方程化參數方程要恰當設參數。環節：1、消掉參數(代入消元，三角變形，配方消元)2、寫出定義域（x的范圍）參數方程化為一般方程的環節在參數方程與一般方程的互化中，必須使x,y前后的取值范圍保持一致。注意：幾種常見的曲線的參數方程我們把這一形式稱為直線參數方程的原則形式，其中t表達直線l上以定點M0為起點，任意一點M(x,y)為終點的有向線段的數量M0M。當點M在點M0的上方時，t>0；當點M在點M0的下方時，t<0；當點M與點M0重疊時，t=0。很明顯，我們也可以參數t理解為以M0為原點，直線l向上的方向為正方向的數軸上點M的坐標，其長度單位與原直角坐標系的長度單位相似。 用坐標的觀點理解上述直線參數方程中的參數t，在處理有關直線問題時，可以自然地將新舊知識聯絡起來。1、闡明：2.圓x2+y2=r2(r>0)的參數方程:3.圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數方程:其中參數的幾何意義