專題08概率統計之遞推關系求概率一、解答題1．中國乒乓球隊是中國體育軍團的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習慣地稱為“夢之隊”.小明是一名乒乓球運動愛好者，為提高乒乓球水平，決定在假期針對乒乓球技術的五個基本因素：弧線、力量、速度、旋轉和落點進行訓練.假設小明每天進行多次分項（將五個因素分別對應五項，一次練一項）訓練，為增加趣味性，計劃每次（從第二次起）都是從上次未訓練的四個項目中等可能地隨機選一項訓練.（1）若某天在五個項目中等可能地隨機選一項開始訓練，求第三次訓練的是“弧線”的概率；（2）若某天僅進行了次訓練，五個項目均有訓練，且第次訓練的是“旋轉”，前后訓練項不同視為不同的訓練順序，設變量為次訓練中“旋轉”項訓練的次數，求的分布列及期望；2．綠色已成為當今世界主題，綠色動力已成為時代的驅動力，綠色能源是未來新能源行業的主導．某汽車公司順應時代潮流，最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試．現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（ⅰ）現從該汽車公司最新研發的新能源汽車中任取一輛汽車，求它的單次最大續航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；3．為保護長江流域漁業資源，2020年國家農業農村部發布《長江十年禁漁計劃》.某市為了解決禁漁期漁民的生計問題，試點推出面點?汽修兩種職業技能培訓，一周內漁民可以每天自由選擇其中一個進行職業培訓，七天后確定具體職業.政府對提供培訓的機構有不同的補貼政策：面點培訓每天200元/人，汽修培訓每天300元/人.若漁民甲當天選擇了某種職業培訓，第二天他會有0.4的可能性換另一種職業培訓.假定漁民甲七天都參與全天培訓，且第一天選擇的是汽修培訓，第天選擇汽修培訓的概率是(，2，3，…，7).（1）求；（3）試估算一周內政府漁民甲對培訓機構補貼總費用的數學期望(近似看作0).4．甲乙兩人報名參加由某網絡科技公司舉辦的“技能闖關”雙人電子競技比賽，比賽規則如下：每一輪“闖關”結果都采取計分制，若在一輪闖關中，一人過關另一人未過關，過關者得1分，未過關得分；若兩人都過關或都未過關則兩人均得0分.甲、乙過關的概率分別為和，在一輪闖關中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規則的公平性.5．為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學后，食堂從開學第一天起，每餐只推出即點即取的米飯套餐和面食套餐．已知某同學每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯套餐的概率為，而前一天選擇了米飯套餐后一天繼續選擇米飯套餐的概率為，前一天選擇面食套餐后一天繼續選擇面食套餐的概率為，如此往復．（1）求該同學第二天中午選擇米飯套餐的概率；（2）記該同學第天選擇米飯套餐的概率為．6．某商場擬在周年店慶進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規則如下：每輪游戲都拋擲一枚質地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點數分別為，，，，，），若向上點數不超過點，獲得分，否則獲得分，進行若干輪游戲，若累計得分為分，則游戲結束，可得到元禮券，若累計得分為分，則游戲結束，可得到紀念品一份，最多進行輪游戲．（1）當進行完輪游戲時，總分為，求的數學期望；（ii）求活動參與者得到紀念品的概率．（III）求．8．2020年春天隨著疫情的有效控制，高三學生開始返校復課學習.為了減少學生就餐時的聚集排隊時間，學校食堂從復課之日起，每天中午都會提供、兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經過統計分析發現：學生第一天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率為．而前一天選擇了類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇套餐的概率為；前一天選擇類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率也是，如此往復．記某同學第天選擇類套餐的概率為．（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養學生的勞動意識，一個月后學校組織學生利用課余時間參加志愿者服務活動，其中有20位學生負責為全體同學分發套餐．如果你是組長，如何安排分發、套餐的同學的人數呢，說明理由．9．11月，2019全國美麗鄉村籃球大賽在中國農村改革的發源地安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經過輪投球，用表示經過第輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率.10．湖南省會城市長沙又稱星城，是楚文明和湖湘文化的發源地，是國家首批歷史文化名城.城內既有岳麓山、橘子洲等人文景觀，又有岳麓書院、馬王堆漢墓等名勝古跡，每年都有大量游客來長沙參觀旅游.為合理配置旅游資源，管理部門對首次來岳麓山景區游覽的游客進行了問卷調查，據統計，其中的人計劃只游覽岳麓山，另外的人計劃既游覽岳麓山又參觀馬王堆.每位游客若只游覽岳麓山，則記1分；若既游覽岳麓山又參觀馬王堆，則記2分.假設每位首次來岳麓山景區游覽的游客計劃是否參觀馬王堆相互獨立，視頻率為概率.（1）從游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為，求的分布列和數學期望；（3）從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取人數的無限增加，是否趨近于某個常數？若是，求出這個常數；若不是，說明理由.11．某幾位大學生自主創業創辦了一個服務公司提供、兩種民生消費產品（人們購買時每次只買其中一種）服務，他們經過統計分析發現：第一次購買產品的人購買的概率為、購買的概率為，而前一次購買產品的人下一次來購買產品的概率為、購買產品的概率為，前一次購買產品的人下一次來購買產品的概率為、購買產品的概率也是，如此往復.記某人第次來購買產品的概率為.（3）經過一段時間的經營每天來購買產品的人穩定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產品，那么公司每天應至少準備、產品各多少份.（直接寫結論、不必說明理由）.12．為了釋放學生壓力，某校高三年級一班進行了一個投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪）.在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置，甲先投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分.設甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）經過1輪投籃，記甲的得分為X，求X的分布列及期望；（2）若經過n輪投籃，用pi表示經過第i輪投籃后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.①求p1，p2，p3②規定p0＝0，經過計算機計算可估計得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），請根據①中p1，p2，p3值分別寫出a，c關于b的表達式，并由此求出數列{pn}的通項公式.13．在慶祝新中國成立七十周年群眾游行中，中國女排壓軸出場，乘坐“祖國萬歲”彩車亮相國慶游行，“女排精神”燃爆中國.某排球俱樂部為讓廣大排球愛好者體驗排球的訓練活動，設置了一個“投骰子50米折返跑”的互動小游戲，游戲規則：參與者先進行一次50米的折返跑，從第二次開始，參與者都需要拋擲兩枚質地均勻的骰子，用點數決定接下來折返跑的次數，若拋擲兩枚骰子所得的點數之和能被3整除，則參與者只需進行一次折返跑，若點數之和不能被3整除，則參與者需要連續進行兩次折返跑.記參與者需要做n個折返跑的概率為.（1）求，，；（3）求，若預測參與者需要做折返跑的次數，你猜奇數還是偶數？試說明你的理由.14．中國女排，曾經十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現為：扎扎實實，勤學苦練，無所畏懼，頑強拼搏，同甘共苦，團結戰斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對各行各業的勞動者起到了激勵、感召和促進作用，給予全國人民巨大的鼓舞.（1）看過中國女排的紀錄片后，某大學掀起“學習女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學生的身體素質明顯提高，將該大學近5個月體重超重的人數進行統計，得到如下表格：月份x12345體重超重的人數y640540420300200若該大學體重超重人數y與月份變量x（月份變量x依次為1，2，3，4，5…）具有線性相關關系，請預測從第幾月份開始該大學體重超重的人數降至10人以下？（2）在某次排球訓練課上，球恰由A隊員控制，此后排球僅在A隊員、B隊員和C隊員三人中傳遞，已知每當球由A隊員控制時，傳給B隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當球由B隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當球由C隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給B隊員的概率為.記，，為經過n次傳球后球分別恰由A隊員、B隊員、C隊員控制的概率.（1）試根據生產一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術的好壞；（2）為鼓勵工人提高技術，工廠進行技術大賽，最后甲乙兩人進入了決賽．決賽規則是：每一輪比賽，甲乙各生產一件零件A，如果一方生產的零件A品級優干另一方生產的零件，則該方得分1分，另一方得分1分，如果兩人生產的零件A品級一樣，則兩方都不得分，當一方總分為4分時，比賽結束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時，最終甲獲勝的概率．①寫出P0，P8的值；②求決賽甲獲勝的概率．16．棋盤上標有第0，1，2，…，100站，棋子開始時位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲．若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時，游戲結束．設棋子跳到第n站的概率為Pn．（1）當游戲開始時若拋擲均勻硬幣3次后求棋手所走站數之和X的分布列與數學期望；（3）求P99，P100的值．17．袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中．重復上述過程次后，袋中白球的個數記為．456P0.4ab（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為（單位：元）．19．在黨中央的英明領導下，在全國人民的堅定支持下，中國的抗擊“新型冠狀肺炎”戰役取得了階段性勝利，現在擺在我們大家面前的是有序且安全的復工復產.某商場為了提振顧客的消費信心，對某中型商品實行分期付款方式銷售，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數ξ的分布列為其中0＜a＜1，0＜b＜1.（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為X（單位：元），（i）設X＝5500時的概率為m，求當m取最大值時，利潤X的分布列和數學期望；（ii）設某數列{xn}滿足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.20．有人玩擲均勻硬幣走跳棋的游戲，棋盤上標有第0站（出發地），第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在出發地，棋手每擲一次硬幣，這枚棋子向前跳動一次，若擲出正向，棋子向前跳一站，若擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或跳到第100站（失敗）時，該游戲結束.設棋子跳到第站的概率為.（3）求玩該游戲獲勝的概率.（1）用p表示；（3）為提高這個5G傳輸設備正常工作的概率，在這個傳輸設備上再并聯兩根相同規格的光導纖維，且新增光導纖維后的5G傳輸設備有超過一半的光導纖維能正常傳輸信號才可以正常工作．確定的取值范圍，使新增兩根光導纖維可以提高這個5G傳輸設備正常工作的概率．（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義．23．當前，全國上下正處在新冠肺炎疫情“外防輸入，內防反彈”的關鍵時期，為深入貫徹落實習近平總書記關于疫情防控的重要指示要求，始終把師生生命安全和身體健康放在第一位．結合全國第個愛國衛生月要求，學校某班組織開展了“戰疫有我，愛衛同行”防控疫情知識竟賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組，每組兩人，進行對戰答題．規則如下：每次每位同學給出道題目，其中有道是送分題(即每位同學至少答對題)．若每次每組答對的題數之和為的倍數，原答題組的人再繼續答題；若答對的題數之和不是的倍數，就由對方組接著答題．假設每位同學每次答題之間相互獨立，無論答對幾道題概率都一樣，且每次答題順序不作考慮，第一次由甲組開始答題．求：(1)若第次由甲組答題的概率為，求；(2)前次答題中甲組恰好答題次的概率為多少