常考題型13函數單調性的判斷、證明與應用1.增函數與減函數的定義前提條件設函數f(x)的定義域為I，區間D?I條件?x1，x2∈D，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)圖示結論f(x)在區間D上單調遞增f(x)在區間D上單調遞減特殊情況當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數2.函數的單調區間如果函數y＝f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．考法一：函數單調性的判斷或證明1.定義法(1)利用定義法證明函數單調性的步驟①取值，即設，是給定區間內的任意兩個值，且<.③變形，即通過因式分解、配方、通分、有理化等方法使其轉化為易于判斷正負的式子.⑤定論，即根據定義得出結論.其中第③步是關鍵，在變形中一般盡量將式子化為幾個最簡因式乘積或商的形式，且其中一定有因式(或).(2)常用的變形技巧:①因式分解：當原函數是多項式函數時，通常作差后進行因式分解.②通分：當原函數是分式函數時，作差后往往先進行通分，然后對分子進行因式分解.③配方：當原函數是二次函數時，作差后可以考慮配方.④分子有理化：當原函數是含根式的函數時，作差后往往考慮分子有理化.(3)利用定義法證明函數的單調性還可以用作商法.2.圖象法(1)如果給出函數圖象(或函數的圖象能畫出)求單調區間，那么只需觀察函數的圖象，根據函數圖象的升降趨勢，便可直接寫出函數的單調區間.(2)在探究函數的單調性并求單調區間問題時，常需要作出函數的大致圖象，根據函數圖象直觀得出函數的單調區間，再利用定義法加以證明.3.利用已知結論(1)直接判斷法：利用已知函數（如一次函數、二次函數、反比例函數等）的單調性，直接寫出所求函數的單調區間.(2)轉化后利用已知結論.：將所給函數適當地變形，轉化為可以利用已知函數單調性的形式，再借助已知函數的單調性寫出它的單調區間。4.性質法增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減5.復合函數單調性的判斷方法增增增增減減減增減減減增簡記為“同增異減”.(2)若一個函數是由多個簡單函數復合而成的，則此復合函數的單調性由簡單函數中減函數的個數決定.若減函數有偶數個，則這個復合函數為增函數；若減函數有奇數個，則這個復合函數為減函數.①確定函數定義域.③分別確定這兩個函數的單調性.6.抽象函數單調性的判斷方法判斷或證明抽象函數單調性常用配湊法(2)常見的配湊方法如下考法二：函數單調性的應用1.求參數或參數的取值范圍：利用函數的單調性求參數或參數的取值范圍的解題思路(1)視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參.(2)根據函數單調性的定義建立關于參數的不等式(組)，通過解不等式（組）求出參數的取值范圍.2.比較函數值的大小比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區間內，要利用其性質，轉化到同一個單調區間上進行比較，對于選擇題、填空題，能數形結合的盡量用圖象法求解.3.解抽象不等式求解含“f”函數的不等式的解題思路:先利用函數的相關性質將不等式轉化為4.利用函數單調性可以求函數最值.探究一：求函數的單調區間思路分析：思路分析：【變式練習】A．（﹣∞，2]和[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]探究二：根據圖像判斷函數單調性思路分析：思路分析：【變式練習】探究三：利用函數單調性求參數的值思路分析：思路分析：【變式練習】探究四：利用函數單調性解不等式思路分析：思路分析：通過討論化簡不等式，結合函數的單調性解不等式即可。【變式練習】探究五：利用函數單調性比較大小