答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年四川達州中考數學試題及答案本考試為閉卷考試，考試時間120分鐘，滿分150分．本試卷分為第I卷（選擇題）第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1-2面．第II卷3-8頁，共8頁．溫馨提示：1．答題前、考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號正確填寫在答題卡對應位置．待監考老師粘貼條形碼后、再認真體對條形碼上的信息與自己的準考證正確信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應位置規范填涂，如需改動，用橡皮排擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對應的框內，超出答題區答案無效．在草稿紙、試題卷上作答無效．3．不要折疊、弄破、弄皺答題卡、不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀等影響答題卡整潔．4．考試結束后，將試卷及答題卡一并交回．第I卷（選擇題共40分）一、單項選擇題（每小題4分，共40分）1．如果收入100元記作元，那么支出40元應記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元2．下圖是大竹“東漢醪糟”包裝盒組成的立體圖形，其主視圖為（

）

A．

B．

C．

D．

3．“悟空”號全海深是中國哈爾濱工程大學自主研發的無人無纜潛水器，具備在米深海自主作業的能力，數據用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．4．如圖，一束平行于主光軸的光線經過凹透鏡后，其折射光線的反向延長線交于主光軸的焦點F．若，則的度數為（

）A． B． C． D．5．下列各式運算結果為的是（

）A． B． C． D．6．小明隨機抽查愛民小區6戶家庭月均用水情況，分別是：3，4，5，7，6，5（單位：），關于這組數據，下列說法正確的是（

）A．眾數是5 B．中位數是6 C．平均數是6 D．極差是37．《九章算術》中記載了這樣一道題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程組為（

）A． B． C． D．8．下列說法正確的是（

）A．兩點之間線段最短B．平行四邊形是軸對稱圖形C．若有意義，則x的取值范圍是全體實數D．三角形的中位線將三角形分成面積相等的兩部分9．如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點E，交于點D，則的周長為（

）

A．21 B．14 C．13 D．910．如圖，拋物線與x軸交于點，點，下列結論：①；②；③；④．正確的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第II卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）11．因式分解：．12．已知關于的方程的一個根是，則的值為．13．如圖，圓錐的側面展開圖是一個扇形，已知圓錐的底面半徑為2，則扇形的弧長是．14．化簡：．15．定義：在平面直角坐標系中，一個圖形向右平移a個單位長度，再繞原點按順時針方向旋轉角度，這樣的圖形運動叫做圖形的變換，現將斜邊為1的等腰直角三角形放置在如圖的平面直角坐標系中，經變換后得為第一次變換，經變換得為第二次變換，…，經變換得，則點的坐標是．三、解答題：解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16．（1）計算：；（2）解不等式：并把解集表示在數軸上．17．項目調研項目主題陽光學校學生研學需求情況調查調查人員數學興趣小組調查方法抽樣調查調研內容陽光學校計劃組織學生前往以下5個研學基地中的一個基地進行研學，5個研學基地分別為：A．張愛萍故居；B．王維舟紀念館；C．萬源保衛戰紀念館；D．廣子村農業示范園；E．開江白寶塔．數學興趣小組對本校學生的意向目的地展開抽樣調查，并為學校出具了調查報告（每位學生只能選1個研學基地）統計數據請閱讀上述材料，解決下列問題：(1)請將條形統計圖補充完整，意向參加B研學基地人數對應的扇形圓心角度數是_______；(2)若該校共有2000名學生，請你估計全校參加A研學基地的學生人數；(3)甲同學從B，C，D三個基地中隨機選擇一個參加研學，乙同學從C，D兩個基地中隨機選擇一個參加研學，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩位同學選擇相同研學基地的概率．18．開啟作角平分線的智慧之窗問題：作的平分線作法：甲同學用尺規作出了角平分線；乙同學用圓規和直角三角板作出了角平分線；丙同學也用尺規作出了角平分線，工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上．即得為的平分線；討論：大家對甲同學和工人師傅的作法都深信不疑．認為判斷角平分線的依據是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______；對乙同學作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據：①三角形全等，，或，②_______________；對丙同學的作法陷入了沉思．任務：(1)請你將上述討論得出的依據補充完整；(2)完成對丙同學作法的驗證．已知，求證：平分．19．如圖，直線與雙曲線交于點，點．(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)點P在x軸上，，求點P的坐標．20．為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍，水更清，蓮花湖管委會定期利用無人機指引工作人員清理湖中垃圾．已知無人機懸停在湖面上的處，工作人員所乘小船在處測得無人機的仰角為，當工作人員沿正前方向劃行米到達處，測得無人機的仰角為，求無人機離湖面的高度（結果不取近似值）21．歸納與應用歸納是學好數學的敲門磚，尤其對幾何而言．例如，我們看到圖1是平行四邊形，就會聯想到：從邊的角度，平行四邊形對邊平行且相等；從角的角度，平行四邊形對角相等，鄰角互補；從對角線的角度，平行四邊形對角線互相平分；從對稱性的角度，平行四邊形是中心對稱圖形通過如此歸納形成知識體系的學習方法，成為我們解決相關問題的金鑰匙：(1)嘗試歸納：請你根據圖2，寫出3條直角三角形的性質①____________________________________________________________________________；②____________________________________________________________________________；③____________________________________________________________________________．(2)實踐應用：小明同學在思考直角三角形的性質時，作出如圖3，，點D是的中點，，，試幫他判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．22．為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創產品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件，經調查發現，售價每降價1元，每天可以多售出10件．(1)設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數量是_______件；(2)為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；(3)文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？23．如圖，在中，是弦，是的切線，，點，，分別是線段，，上的動點，連接，，．(1)試判斷與的位置關系，并說明理由；(2)若，試求與半徑的數量關系．24．如圖，已知拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于C點，B的坐標為，C的坐標為，頂點為M．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，過第四象限內拋物線上一點作的平行線，交x軸于點E，交y軸于點F．①連接，當時，求內切圓半徑r與外接圓半徑R的比值；②連接，當點F在的內角平分線上，上的動點P滿足的值最小時，求的面積．25．綜合與實踐問題提出：探究圖形中線段之間的數量關系，通常將一個圖形分割成幾個圖形，根據面積不變，獲得線段之間的數量關系．探究發現：如圖1，在中，，是邊上一點，過點作于，于，過點作于．連結，由圖形面積分割法得：______；則____________．實踐應用：如圖2，是等邊三角形，，點是邊上一點，連結．將線段繞點逆時針旋轉得，連結交于，過點作于，于，當時，求的值．拓展延伸：如圖3，已知是半圓的直徑，，是弦，，是上一點，，垂足為，，求的值．參考答案1．C【分析】本題考查了正負數的實際應用，正確理解正負的相對性是解題的關鍵；根據正負數可以表示具有相反意義的量解答即可.【詳解】解：如果收入100元記作元，那么支出40元應記作元；故選：C.2．B【分析】本題考查了幾何體的三視圖，熟知主視圖是從物體的正面看到的圖形是關鍵；根據主視圖是從物體的正面看到的圖形解答即可.【詳解】解：大竹“東漢醪糟”包裝盒組成的立體圖形的主視圖是：

故選：B.3．B【分析】本題主要考查了科學記數法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：，故選：B．4．A【分析】本題考查了平行線的性質，正確理解題意、熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵；根據題意可得，然后根據平行線的性質結合角的和差即可求解．【詳解】解：如圖，根據題意可得，∴，∵，∴；故選：A．5．B【分析】本題主要考查了同底數冪乘除法計算，冪的乘方計算，合并同類項，根據相關計算法則求出對應選項中式子的結果即可得到答案．【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；B、，故此選項符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項不符合題意；故選：B．6．A【分析】本題考查了眾數、中位數、平均數和極差等知識，熟練掌握統計的基本概念是解題的關鍵；根據眾數、中位數、平均數和極差的定義逐項判斷即可得解.【詳解】解：在這組數據中，5出現了兩次，最多，所以這組數據的眾數是5，故選項A說法正確；將這種數據從小到大排列：3，4，5，5，6，7，中間第3和第4個數的平均數是5，所以這組數據的中位數是5，故選項B說法錯誤；這組數據的平均數，故選項C說法錯誤；這組數據的極差是，故選項D說法錯誤；故選：A.7．D【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，正確理解題意、找出相等關系是關鍵；設每頭牛值x金，每只羊值y金，根據：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，即可列出方程組.【詳解】解：設每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程組為：；故選：D.8．A【分析】本題考查了兩點之間線段最短、平行四邊形的中心對稱性、二次根式有意義的條件和三角形的中位線等知識，熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵；根據兩點之間線段最短、平行四邊形的中心對稱性、二次根式有意義的條件和三角形的中位線定理等知識逐項判斷即可得解.【詳解】解：A.兩點之間線段最短，故本選項說法正確；B.平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項說法錯誤；C.若有意義，則x的取值范圍是，故本選項說法錯誤；D.三角形的中位線將三角形分成兩部分，其中小三角形和四邊形的面積比為，故本選項說法錯誤；故選：A.9．C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，根據線段垂直平分線的性質可得，據此根據三角形周長計算公式求解即可．【詳解】解：∵線段的垂直平分線交于點E，交于點D，∴，∴的周長，故選：C．10．D【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質以及二次函數與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵；根據拋物線開口向上，與y軸交于正半軸，可得，根據拋物線與x軸交于點，點，當時，即可逐一判斷，進而求解.【詳解】解：∵拋物線開口向上，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線與x軸交于點，點，當時，∴拋物線的對稱軸是直線，，，故結論③④正確；∴，即，，故結論②正確；∴，故結論①正確；綜上，說法正確的有4個；故選：D.11．【分析】本題考查了多項式的因式分解，熟練掌握分解因式的方法是關鍵；原多項式根據提公因式法因式分解即可．【詳解】解：；故答案為：．12．【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據題意將代入原方程，得出關于的一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】解：∵關于的方程的一個根是，∴解得：，故答案為：．13．【分析】本題考查了圓錐的相關計算，明確扇形的弧長=圓錐底面圓的周長是解題的關鍵；根據扇形的弧長=圓錐底面圓的周長計算求解即可．【詳解】解：扇形的弧長=圓錐底面圓的周長；故答案為：．14．【分析】本題考查了同分母分式的減法計算，掌握運算法則是解題的關鍵．先處理分母的符號，將其化為同分母的分式減法計算即可．【詳解】解：，故答案為：．15．【分析】本題考查坐標旋轉中的規律探究，過點作軸，根據斜邊上的中線，得到，進而得到，根據變化規則，得到，，，，進而得到，，推出，根據，求出點的坐標即可．【詳解】解：過點作軸，∵為斜邊為1的等腰直角三角形，∴，∴，∴是由先向右平移1個單位，再繞原點按順時針方向旋轉，即根據平移后的點關于原點對稱得到的，∴，同理：，，，，∴，，∴，∵，∴，即：；故答案為：．16．（1）2；（2），數軸見解析【分析】本題考查了實數的運算，解一元一次不等式，在數軸上表示解集，涉及零指數冪和絕對值等知識點，熟練掌握運算法則和解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．（1）分別計算零指數冪和有理數的平方以及計算絕對值，再進行加減計算；（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化1的步驟求出解集，再在數軸上表示解集即可．【詳解】（1）解：；（2），，，，，解得：，∴原不等式的解為：，數軸表示為：17．(1)(2)(3)【分析】本題考查了扇形統計圖與條形統計圖信息關聯，求扇形統計圖的圓心角，樣本估計總體，列表法求概率，熟練掌握以上知識是解題的關鍵；（1）根據的人數除以占比得到總人數，根據的占比乘以總人數得到的人數，進而根據總人數減去其他組的人數求得的人數，進而補全統計圖，根據的占比乘以即可得出意向參加B研學基地人數對應的扇形圓心角度數；（2）根據樣本估計總體，用乘以樣本中的占比，即可求解；（3）根據列表法求概率，即可求解．【詳解】（1）解：總人數為（人）參加研學基地人數為（人）∴參加研學基地人數為：（人）補全統計圖如圖，意向參加B研學基地人數對應的扇形圓心角度數是故答案為：．（2）解：（人）答：估計全校參加A研學基地的學生人數為人；（3）列表如下：甲乙共有種等可能結果，其中兩位同學選擇相同研學基地的結果數有種，∴兩位同學選擇相同研學基地的概率為．18．(1)；全等三角形的對應角相等(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，作角平分線，等邊對等角，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵；（1）根據作角平分線的方法可得對甲同學和工人師傅的作法其判定全等的方法是，對于乙同學作法，通過討論最終確定的判定依據：①三角形全等，，或，②全等三角形的對應角相等，選取全等三角形的判定方法證明，即可求解；（2）根據已知得出，進而可得，根據等邊對等角可得，等量代換可得，即可得證．【詳解】（1）解：對甲同學和工人師傅的作法依據是利用三角形全等，其判定全等的方法是對于乙同學作法，通過討論最終確定的判定依據：①三角形全等，，或，②全等三角形的對應角相等證明如下：根據作圖可得，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴平分；故答案為：；全等三角形的對應角相等．（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．19．(1)一次函數解析式為，反比例函數解析式為(2)點的坐標為或【分析】本題考查了一次函數圖象與反比例函數圖象的交點問題，涉及待定系數法求函數解析式等知識點，正確求出函數解析式是解題的關鍵．（1）先由待定系數法求出反比例函數解析式，再求出點坐標，再由待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）根據即可求解．【詳解】（1）解：∵雙曲線經過點，，∴，∴，∴，反比例函數解析式為：，∵直線經過點，點，∴，解得：，∴一次函數解析式為：；（2）解：∵點P在x軸上，，∴，∴，∴，∴點的坐標為或．20．無人機離湖面的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵；過點作于點，設，根據題意得出，，在中，根據，列出方程，解方程，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，依題意設，在中，∴，∵∴，在中，∴解得：答：無人機離湖面的高度為米21．(1)見解析(2)四邊形是菱形，見解析【分析】本題考查了菱形的判定，直角三角形的性質，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．（1）可寫出直角三角形的性質，如勾股定理，直角三角形兩銳角互余，斜邊大于直角邊等；（2）先證明為平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線的性質得到，即可證明為菱形．【詳解】（1）解：直角三角形的3條性質：①；②；③；（2）解：四邊形是菱形，理由如下：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，點D是的中點，∴，∴四邊形是菱形．22．(1)(2)3元(3)售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元【分析】本題考查了一元二次方程的應用和二次函數的應用，正確理解題意、列出方程與函數關系式是解題的關鍵；（1）根據原來每天售出的60件，再加上多售出的件數即可得到答案；（2）設該款巴小虎吉祥物降價x元，根據每件的利潤×銷售數量=銷售利潤即可列出方程，解方程即可得解；（3）設該款巴小虎吉祥物降價x元，根據每件的利潤×銷售數量=銷售利潤即可列出二次函數關系式，再根據二次函數的性質解答即可．【詳解】（1）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數量是件；故答案為：；（2）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，根據題意可得：，整理可得：，解得：，由于要讓利于游客，舍去，∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元.（3）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，則，∵，∴當時，取最大值為640元，此時銷售價為38元，答：售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元．23．(1)是的切線，理由見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質與判定，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．（1）連接，則，根據可得，根據是的切線，可得，進而得出，即可得證；（2）根據已知條件，根據一線三等角證明得出相似比為，進而得出，過點作于點，則，根據含30度角的直角三角形的性質，勾股定理求得，進而得出，即可得證．【詳解】（1）解：是的切線，理由如下：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；如圖，連接，過點作于點，則，∵是的切線，∴，∴，∴在中，，，∴，∴，∴．24．(1)(2)①；②的面積為2或3或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）①先求出點A的坐標，進而可判斷，是等腰直角三角形，然后根據的外接圓直徑是，可得其外接圓的半徑，再利用等積法求出r，即可解決問題；②先求得拋物線的頂點M的坐標和對稱軸與x軸的交點T的坐標，作軸于點P，可得，繼而可得，于是可得當M、P、Q三點共線且軸時，的值最小，此時Q、T重合，然后分點F在不同內角平分線上共三種情況，外加當點重合于點O時，此時點F在的平分線上這種特殊情況，討論求解即可．【詳解】（1）解：把B的坐標，C的坐標代入拋物線的解析式。得，解得：，∴拋物線的解析式是；（2）解：①令，解得：，∴，∵B，C，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵,∴，∴當時，是等腰直角三角形，且，∴，∴的外接圓直徑是，則其外接圓的半徑，∵，∴，