點(diǎn)、直線和平面的投影返回一、點(diǎn)在三投影面體系中的投影§2—1點(diǎn)的投影返回二、點(diǎn)的投影和坐標(biāo)三、兩點(diǎn)的相對位置HVXOZYWa'aa"Aaxazay點(diǎn)的正面投影：a’、b’、c’……點(diǎn)的水平投影：a、b、c……點(diǎn)的側(cè)面投影：a"、b"、c"……一、點(diǎn)在三投影面體系中的投影1.點(diǎn)的三面投影HVXOZYWa'aa"AaxazayHa'aa"VWXOZYWYH2.

點(diǎn)的三面投影的展開Ha'aa"VWXOZYWYHaxayazayHVXOZYWa'aa"Aaxazay1.點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸（aa’OX)2.點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸（aa”O(jiān)Z)3.點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離（aax=a”az)3.

點(diǎn)在三投影面體系中的投影ZYHXYWOa'a"a已知點(diǎn)A的正面投影a’和水平投影a，求其側(cè)面投影a”。1.a’aOX;2.a’a”O(jiān)Z;3.aax=a”az

例：Ha'aa"VWXOZYWYHaxayazay(xA,zA)(xA,yA)(yA,zA)HVXOZYWa'aa"ayaxazxyzA1.點(diǎn)的坐標(biāo)XA(Oax)=Aa”——

點(diǎn)到W投影面的距離；YA(Oay)=Aa’——

點(diǎn)到V投影面的距離；ZA(Oaz)=Aa——

點(diǎn)到H投影面的距離。點(diǎn)到投影面的距離2.點(diǎn)的投影二、點(diǎn)的投影和坐標(biāo)XOZY三、兩點(diǎn)的相對位置兩點(diǎn)中X值大的點(diǎn)

——在左兩點(diǎn)中Y值大的點(diǎn)——在前兩點(diǎn)中Z值大的點(diǎn)——在上XZYWYHOa'a"ab'bb"a"a'ab"b'bBA上-下左-右后-前后-前后-前兩點(diǎn)間的相對位置可用它們同方向的坐標(biāo)差值來判斷VHc(c')d'dCDa(b)a'b'AB

兩點(diǎn)相對位置—重影點(diǎn)及可見性對H面的重影點(diǎn)對V面的重影點(diǎn)當(dāng)空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合成一點(diǎn)時(shí)稱為對該投影面的重影點(diǎn)。已知A點(diǎn)在B點(diǎn)之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點(diǎn)的投影。XZYWYHOb'bb"589a'a"a例：§2-2

直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性三、一般位置直線的實(shí)長及其對對投影面的傾角四、直線上的點(diǎn)的投影五、兩直線的相對位置六、垂直相交兩直線的投影直線的投影一般情況下仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。HABabDCc(d)一、直線的投影一、直線的投影oxzyHyWbabaabγαβbabaabAB直線上兩點(diǎn)同面投影的連線可確定直線的投影但不能確定直線對投影面的傾角三棱錐各棱線的位置分析二、各種位置直線的投影特性特殊位置直線（一）投影面平行線（二）投影面垂直線水平線//水平面正平線//正平面?zhèn)绕骄€//側(cè)平面鉛垂線

水平面正垂線

正平面?zhèn)却咕€

側(cè)平面直線對投影面的相對位置分類（三）一般位置直線與三個投影面均傾斜的直線（一）投影面平行線——水平線VHWOXYZbabaabABγγββ投影特性：1.a'b'//OX，a"b"http://OY2.ab=AB3.反映

、

角的真實(shí)大小oxzyHyWbabaab（一）投影面平行線——正平線投影特性：1.ab//OX，a"b"http://OZ2.a'b'=AB3.反映

、

角的真實(shí)大小（一）投影面平行線——側(cè)平線投影特性：1.a'b'//OZ，ab//OY2.a"b"=AB3.反映

、

角的真實(shí)大小投影面平行線的投影特性1.在與其平行的投影面上的投影反映實(shí)長,其與相鄰?fù)队拜S的夾角反映直線對另外兩投影面的真實(shí)傾角；2.另兩投影長度縮短,且分別平行與相應(yīng)的投影軸。oxzyHyWbaabVHWOXYZABbaaba(b)a(b)投影特性：1.ab積聚成一點(diǎn)2.a’b’

OX;a’’b’’

OY

3.a’b’=a’’b’’=AB（二）投影面垂直線——鉛垂線（二）投影面垂直線——正垂線投影特性：1.a’b’積聚成一點(diǎn)2.ab

OX;a’’b’’

OZ3.ab=a’’b’’=ABHW（二）投影面垂直線——側(cè)垂線投影特性：1.a’’b’’積聚成一點(diǎn)2.ab

OY;a’b’

OZ3.ab=a’b’=ABHW投影面垂直線的投影特性在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn);另兩投影顯實(shí)長,且分別垂直于相應(yīng)的投影軸。HW（三）一般位置直線的投影特性oxzyHyWbabaabbabaabAB1.直線的三個投影均為長度縮短的直線;2.直線的投影中不能反映直線的實(shí)長和傾角。1.求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角

角2.求直線的實(shí)長及對正立投影面的夾角

角3.求直線的實(shí)長及對側(cè)立投影面的夾角

角三、一般位置直線的實(shí)長及其對投影面的傾角1.求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角

角

ZAB

AB

ZABab

ZABAB

ABab

ZAB2.求直線的實(shí)長及對正面投影面的夾角

角a’b’AB

YABAB

AB

a’b’

YAB

YAB

YAB

Xa’b’b30°ababaa例1已知AB直線的正面投影a’b’及點(diǎn)B的水平投影b,=30°,求ab。Xa’b’abL

ZAB

ZABLcb0c0c’AB例2.在AB直線上取一點(diǎn)C,使AC=L。

VHAB1.點(diǎn)在線上，則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上；

AC：CB=ac：cb=a’c’：c’b’=a’’c’’：c’’b’’Cbaabcc2.點(diǎn)分線段成定比，其空間比等于投影比。四、直線上點(diǎn)的投影OXbabacc

AC:CB=ac:cb

=a’c’:c’b’=2:1

例1已知線段AB的投影圖，試將AB分成AC:CB=2:1兩段，求分點(diǎn)C的投影。cabcc’例2已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。（一）平行兩直線（二）相交兩直線

（三）

交叉兩直線共面直線異面直線兩直線相對位置的投影規(guī)律兩直線相對位置的判別方法五、兩直線的相對位置VHOXb’aa’d’bbcc’xob’a’abdc’d’c

1.平行兩直線的同面投影仍然平行。DCBA2.平行兩直線在投影后，長度比保持不變。（一）平行兩直線平行兩直線投影特性：

若兩直線的各同面投影均互相平行,則它們空間平行。

若為一般位置直線，由兩面投影互相平行即可判斷兩直線空間平行。Xabcda’b’d’c’ZOYHYWa”b”c”d”判別：CDABVHXOcdabacdbbacdcadb

相交兩直線的同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。k'kKXOk'k（二）相交兩直線

若兩直線的各同面投影均相交,且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則兩直線空間相交。

若兩直線均為一般位置直線，且兩面投影滿足上述條件，即可判斷兩直線空間相交。判別：

若兩直線的同面投影相交，但交點(diǎn)的投影不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則不是相交的空間兩直線。ob’xa’abc’d’dc11’(2’)2

交叉兩直線的同面投影中，可能有一組或兩組同面投影互相平行，但它們的第三組同面投影是不平行的。

同理，交叉兩直線的同面投影中，可能有一組、兩組或三組同面投影相交，但它們的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。（三）交叉兩直線d’’a’’c’’b’’oYWYHz結(jié)論：空間直線AB和CD是兩交叉直線例1.判斷空間兩直線AB、CD的相對位置。

例2判斷空間兩直線AB、CD的相對位置。1’11’d’1’c’結(jié)論：直線AB、CD是兩交叉直線。XOdcbaabcd判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性。3’4’341’2’12()()例H

空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。ABCxobcacabcab

若兩直線的某面投影互相垂直，且其中一條平行于該投影面，則兩直線空間互相垂直。六、垂直相交兩直線的投影(直角投影定理)交叉垂直的兩直線的投影Xa’b’c’bcad’d例1已知長方形ABCD中BC邊的兩投影、AB邊的正面投影（a’b’//OX)，求作長方形的兩投影。Xa(b)a’b’cdc’d’HABCDEFabecdfff’ee’例2求直線AB和CD間的最短距離。Xa’ab’be’eLf’f

ZFE

ZFEf0Lc0cc’dd’例3已知菱形ABCD的對角線AB的兩投影，另一對角線CD長為2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的兩投影。一、平面的投影二、各種位置平面的投影特性三、平面上的點(diǎn)和直線§2-3平面的投影返回平面的表示法a’ab’c’bcb’a’ac’bcb’a’ac’bca’ab’c’bc各種形式可相互轉(zhuǎn)換a’ab’c’bcd’d一、平面的投影(1)(2)(3)(4)(5)投影面平行面投影面垂直面特殊位置平面水平面//H面正平面//V面?zhèn)绕矫?/W面鉛垂面

H面正垂面

V面?zhèn)却姑?/p>

W面一般位置平面二、各種位置面的投影VHWOXYZPH

oxzyHyWbcaPABCbcabcabca投影特性：1.abc積聚為一條線。2.a

b

c

,a

b

c

為

ABC的類似形。3.abc與OX,OYH的夾角反映

、

角的真實(shí)大小。（一）投影面垂直面——鉛垂面VHWOXYZQVQα

oxzyHyWbacbcabcabca投影特性：1.a

b

c

積聚為一條線。2.abc,a

b

c

為

ABC的類似形。ABC3.a

b

c'與OX,OZ的夾角反映α,

角的真實(shí)大小。（一）投影面垂直面——正垂面VHWOXYZ（一）投影面垂直面——側(cè)垂面投影特性：1.a

b

c

積聚為一條線。2.abc,a

b

c

為

ABC的類似形。αβSWSABCbcaoxzyHyWbcabcabca3.a

b

c

與OZ,OYw的夾角反映α、角的實(shí)大小。投影面垂直面的投影特性VHWOXYZQVQα

oxzyHyWbacbcabcabcaABC在所垂直的投影面上的投影積聚為直線;其積聚性投影與投影軸的夾角反映了平面對另兩投影面的真實(shí)傾角。2.另兩投影為縮小的類似形。

（二）

投影面平行面——水平面投影特性：1.水平投影abc反映

ABC實(shí)形。2.a

b

c

、a

b

c

積聚為直線，且分別平行于OX和OYW軸。ZcYWXa’b’b’’baoYHa’’c’c’’（二）投影面平行面——正平面投影特性：1.正面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形。2.abc

、a

b

c

積聚為直線，且分別平行于OX和OZ軸。c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaXZ（二）投影面平行面——側(cè)平面投影特性：1.側(cè)面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形。2.abc

、a

b

c

積聚為直線，且分別平行于OYH和OZ軸。投影面平行面的投影特性1.在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形;2.另兩投影積聚為直線,且分別平行于相應(yīng)的投影軸。c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaXZ（三）一般位置平面投影特性：1.三個投影均為縮小的類似形。2.各投影都不反映實(shí)形與傾角。

例1過點(diǎn)A作鉛垂面，使

=30o。Xa’a30ob’c’bc例2過直線