定南中學(xué)2025屆高三錯(cuò)題重考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式，明確集合，再求其并集即可.【詳解】由，所以；由，所以.所以.故選：D2.復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A.4 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念和純虛數(shù)的概念結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得.【詳解】由題意可得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，即為純虛數(shù)，所以，解得.故選：D3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出焦距及長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再求出離心率.【詳解】依題意，橢圓的焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以該橢圓的離心率.故選：A4.已知實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)，對(duì)照條件的定義可得答案.【詳解】不等式，等價(jià)于，因?yàn)椋裕@然，不一定得出；也不一定得出.故選：D5.在2019年中共政治局第十八次集體學(xué)習(xí)中，習(xí)近平總書記提出：“把區(qū)塊鏈作為核心技術(shù)自主創(chuàng)新的重要突破口”，“區(qū)塊鏈技術(shù)”作為一種新型的信息技術(shù)，已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于人們的生活中．在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長(zhǎng)度為128比特，則密碼一共有種可能性，因此為了破譯此密碼，最多需要進(jìn)行次運(yùn)算．現(xiàn)在有一臺(tái)機(jī)器，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，假設(shè)這臺(tái)機(jī)器一直正常運(yùn)轉(zhuǎn)，則這臺(tái)機(jī)器破譯長(zhǎng)度為128比特的密碼所需要的最長(zhǎng)時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.秒 B.秒 C.秒 D.秒【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，兩邊取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)可求出.【詳解】設(shè)所需時(shí)間為t秒，則，則，即，秒.故選：B．6.已知函數(shù)，，若恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，因?yàn)榍∮?個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍為.故選：D7.將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，可以得到一些熟悉的函數(shù)圖象，比如反比例函數(shù)，“對(duì)勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得.現(xiàn)將雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，得到“飄帶”函數(shù)的圖象，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知“飄帶”函數(shù)的漸近線，設(shè)兩漸近線夾角為（），則，求得，進(jìn)而旋轉(zhuǎn)之前雙曲線的一條漸近線斜率，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】“飄帶”函數(shù)的漸近線為與軸，設(shè)兩漸近線夾角為（），則，整理得，又，所以，整理得，由，解得.所以旋轉(zhuǎn)之前雙曲線的一條漸近線斜率為，所以雙曲線的離心率為.故選：B8.若不等式恒成立，則的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換元法，把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再分，，討論即可.【詳解】設(shè)，則，.原不等式可化為：.因?yàn)椋裕?當(dāng)時(shí)，，所以在恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，所以成立；當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，所以.綜上可得：故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的等式，利用賦值法求解判斷AC；利用二項(xiàng)式定理求出判斷B；對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，再利用賦值法求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，得；令，得，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因此，B正確；對(duì)于C，令，即，得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原等式兩邊求導(dǎo)得，令，得，D正確.故選：BD10.設(shè)有一組圓：，下列命題正確的是（）A.不論如何變化，圓心始終在一條直線上B.所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)C.經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D.所有圓的面積均為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A根據(jù)圓心橫縱坐標(biāo)關(guān)系即可判斷，對(duì)B和C代入，再利用判別式即可判斷，對(duì)D由圓的半徑不變即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)，圓心為，一定在直線上，A正確；B選項(xiàng)，將代入得：，其中，方程無解，即所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，將代入得：，其中，故經(jīng)過點(diǎn)的圓有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所有圓的半徑為2，面積為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱B.函數(shù)分別在區(qū)間遞減，遞增C.對(duì)恒成立D.對(duì)恒成立【答案】ACD【解析】【分析】計(jì)算可得可判斷A；令，求導(dǎo)進(jìn)而可得，進(jìn)而可判斷B；令，求導(dǎo)可得可判斷C；，可判斷D.【詳解】對(duì)于A；，又，故A正確；對(duì)于B；，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，所以，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間遞增，由對(duì)稱性可知，函數(shù)在區(qū)間遞減，故B錯(cuò)誤；令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，又，所以，所以，故C正確；由B可知，又，又，所以對(duì)恒成立，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得，從而可得的單調(diào)性．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則=______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)坐標(biāo)線性運(yùn)算得出坐標(biāo)，再應(yīng)用垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算求參，最后應(yīng)用坐標(biāo)求模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑒t，因?yàn)椋瑒t，所以，所以．故答案為：13.在三棱錐中，點(diǎn)P在平面的射影為的中點(diǎn)，且，，設(shè)該三棱錐的體積為V，該三棱錐外接球的表面積為S，若，則S的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件先判定三棱錐的特征，結(jié)合體積公式求出高的范圍，再判定外接球的球心位置，利用勾股定理結(jié)合飄帶函數(shù)的性質(zhì)判定外接球半徑的范圍，計(jì)算表面積即可.【詳解】因?yàn)椋剩〉闹悬c(diǎn)D，連接，由題意可知平面，，則，易得，由題意知該三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)（為負(fù)，則球心在平面的下方），外接球半徑為R，故，易知在上單調(diào)遞增，即則，所以.故答案為：.14.若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】曲線與曲線存公切線等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)相等有解，求導(dǎo)后列出方程求解即可.【詳解】由，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，所以，切線為，即，由，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，所以，切線為，即，根據(jù)題設(shè)，若它們切線為公切線，則有，即，又，即且，即，由上關(guān)系式并消去并整理得在上有解，令，則，當(dāng)，則，即，此時(shí)遞增；當(dāng)，則或，即或，此時(shí)遞減；又，，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)切點(diǎn)并寫出兩曲線對(duì)應(yīng)的切線方程，根據(jù)公切線列方程組，注意切點(diǎn)橫坐標(biāo)及參數(shù)a范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程在某區(qū)內(nèi)有解問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某學(xué)校參加某項(xiàng)競(jìng)賽僅有一個(gè)名額，結(jié)合平時(shí)訓(xùn)練成績(jī)，甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)入最后選拔，學(xué)校為此設(shè)計(jì)了如下選拔方案：設(shè)計(jì)6道題進(jìn)行測(cè)試，若這6道題中，甲能正確解答其中的4道，乙能正確解答每個(gè)題目的概率均為，假設(shè)甲、乙兩名學(xué)生解答每道測(cè)試題都相互獨(dú)立、互不影響，現(xiàn)甲、乙從這6道測(cè)試題中分別隨機(jī)抽取3題進(jìn)行解答（1）求甲、乙共答對(duì)2道題目的概率；（2）設(shè)甲答對(duì)題數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；（3）從數(shù)學(xué)期望和方差的角度分析，應(yīng)選拔哪個(gè)學(xué)生代表學(xué)校參加競(jìng)賽？【答案】（1）（2）答案見解析（3）應(yīng)選拔甲學(xué)生代表學(xué)校參加競(jìng)賽【解析】【分析】（1）甲、乙兩名學(xué)生共答對(duì)2個(gè)問題分為：甲2個(gè)乙0個(gè)，甲1個(gè)乙1個(gè)，分別計(jì)算概率相加得答案.（2）設(shè)學(xué)生甲答對(duì)的題數(shù)為，則的所有可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，從而求出，；（3）設(shè)學(xué)生乙答對(duì)題數(shù)為，則所有可能的取值為0，1，2，3，由題意知～B（3，），從而求出，，由=，＜，得到甲代表學(xué)校參加競(jìng)賽的可能性更大．【小問1詳解】由題意得甲、乙兩名學(xué)生共答對(duì)2個(gè)問題的概率：．【小問2詳解】設(shè)學(xué)生甲答對(duì)題數(shù)為，則的所有可能取值為1,2,3．，，．X123P的分布列為：所以，．【小問3詳解】設(shè)學(xué)生乙答對(duì)的題數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，3．則．所以，．因?yàn)椋醇住⒁掖饘?duì)的題目數(shù)一樣，但甲較穩(wěn)定，所以應(yīng)選拔甲學(xué)生代表學(xué)校參加競(jìng)賽．16.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行角換邊得，再結(jié)合余弦定理即可有，最后根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得到答案；（2）代入即可得，最后再代入回，再利用正弦定理即可得到答案.【小問1詳解】由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，所以，因?yàn)?,成等比數(shù)列，所以，所以.小問2詳解】因?yàn)椋淼茫驗(yàn)椋裕裕氲茫瑒t根據(jù)正弦定理有.17.如圖，已知斜三棱柱的側(cè)面是正方形，側(cè)面是菱形，平面平面，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，AC的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)直線AB與平面的交點(diǎn)為M，求AM的長(zhǎng)；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）1（3）【解析】【分析】（1）做輔助線，可證平面，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量證明線線垂直；（2）設(shè)，求平面的法向量，根據(jù)空間位置關(guān)系結(jié)合向量垂直運(yùn)算求解；（3）分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：為等邊三角形，則，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫傻闷矫妫遥詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以.【小問2詳解】設(shè)，則，由（1）可得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：，則，解得，所以AM的長(zhǎng)為.【小問3詳解】因?yàn)椋O(shè)平面（即平面）的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到，且，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）求得，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，得到，得出的單調(diào)性，求得，結(jié)合，即可求得的取值范圍；（3）解法一：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，恒成立，設(shè)，得到，令，求得，得到的單調(diào)性，得出，求得的最小值，即可求解；方法二，當(dāng)時(shí)，則，得到必要條件為，轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)時(shí)，，由（2）知在單調(diào)遞增，得到，只需時(shí)，轉(zhuǎn)化為，由，得，結(jié)合分析法，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，且，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】由，可得，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立．令，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增；所以，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍；【小問3詳解】解法一：因?yàn)椋灶}意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，即，整理得，因?yàn)椋裕暑}意等價(jià)于，設(shè)，可得，化簡(jiǎn)得，令函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以，即，所以當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以的最小值為，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.方法二，先探究必要性，由題意知當(dāng)時(shí)，是的最小值，則，即得到必要條件為，下證的充分性，即證：當(dāng)時(shí)，，證明：由（2）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故的最小值為，符合題意；故只需要證明時(shí)，．由（2）分析知時(shí)，+0-0+極大值極小值其中．因?yàn)椋瑩?jù)此可得更精確的范圍是，等價(jià)于證明，又因?yàn)椋矗傻茫恍枳C明，可得，等價(jià)于證明，注意到，即，故若①當(dāng)，此時(shí)顯然成立；若②當(dāng)，只要證明，此時(shí)，且，所以，故得證，綜上必要性，充分性的分析，本題所求的取值范圍為．19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一點(diǎn)，總存在一個(gè)點(diǎn)滿足關(guān)系式，則稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.（1）若曲線的方程為.（i）求經(jīng)過伸縮變換后所得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）設(shè)曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)的直線與曲線交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在一條定直線上；（2）已知，拋物線經(jīng)過伸縮變換，得到拋物線，設(shè)，，.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（i）；（ii）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）（i）設(shè)上任意一點(diǎn)，利用點(diǎn)在上，求得軌跡方程；（ii）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，求得直線的直線方程，設(shè)點(diǎn)，求得