2025屆高三第二學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)，然后結(jié)合交集、補(bǔ)集合的概念即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法以及實(shí)部的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?fù)數(shù)的實(shí)部為.故選：A.3.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)遞減解關(guān)于的不等式，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上有定義，所以，所以所以，解得.所以的取值范圍為.故選：D.4.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)為，上?下頂點(diǎn)為，若四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，整理得，所以，所以橢圓的離心率為.故選：B.5.一個(gè)筆盒中裝有10支除顏色外完全一樣的筆，其中5支黑色?3支紅色?2支藍(lán)色，將這10支筆排成一排，則2支藍(lán)色的筆排在一起的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法可求得2支藍(lán)色的筆恰好排在一起的方法數(shù)，結(jié)合筆隨機(jī)排列的方法總數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】10支筆隨機(jī)排列，有種情況；把2支藍(lán)色的筆看成一個(gè)整體，有種情況，然后把這個(gè)整體與其他筆排序，有種情況；2支藍(lán)色的筆排在一起的概率為：.故選：C.6.已知一個(gè)樣本容量為10的樣本的平均數(shù)為6，方差為2.現(xiàn)將樣本中的5個(gè)數(shù)據(jù)去掉，這5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為1，則余下的5個(gè)數(shù)的方差為（）A.1.2 B.0.8 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用方差與平均數(shù)的意義計(jì)算可求得方差.【詳解】因?yàn)闃颖救萘繛?0的樣本的平均數(shù)為6，所以樣本數(shù)據(jù)的總和為，又去掉的5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，所以剩余的5個(gè)數(shù)據(jù)的總和為，所以剩余5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因?yàn)樵瓉?lái)樣本容量為10的樣本的方差為2，所以，所以，又又去掉的5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為1，所以，解得，所以余下的5個(gè)數(shù)的平方和為，所以余下的5個(gè)數(shù)的方差為故選：C.7.對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，記曲線與直線及軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn).若，則圍成的曲邊梯形的面積為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】首先將所求梯形面積化成兩塊梯形面積的和，然后根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)可求得答案.【詳解】因?yàn)楸硎镜氖乔€與直線及軸圍成的曲邊梯形的面積，，所以因?yàn)?，所?故選：B.8.如圖，在正四面體木塊中，點(diǎn)在內(nèi)，過(guò)點(diǎn)將木塊鋸開，且使截面平行于直線，若鋸開后截面的周長(zhǎng)為12，則正四面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出示意圖，由題意可求得，進(jìn)而求得正面體的棱長(zhǎng)，求得正四面體的高，可求體積.【詳解】作出截面如圖所示：因?yàn)榻孛媾c平行，從而可得，從而截面是平行四邊形，所以，所以，又，所以，又因?yàn)榻孛娴闹荛L(zhǎng)為12，所以，所以，所以正三角形的外接圓的半徑為，由勾股定理可得正四面體的高為，所以正四面體的體積為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則（）A.向量的夾角為B.若，則C.若，則D.向量在向量上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，直接由夾角公式計(jì)算即可；對(duì)于B，轉(zhuǎn)換成即可驗(yàn)算；對(duì)于C，由向量平行的充要條件即可求解；對(duì)于D，由投影向量的定義即可求解.【詳解】對(duì)于A，向量的夾角的余弦值為，即向量的夾角為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則存在實(shí)數(shù)，使得，因?yàn)椋圆还簿€，所以，故C正確；對(duì)于D，向量在向量上的投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)B.若函數(shù)單調(diào)遞增，則C.當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)D.若的極大值與極小值互為相反數(shù)，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意得出定點(diǎn)判斷A，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得函數(shù)單調(diào)性得出極值點(diǎn)判斷B，C，最后根據(jù)極值關(guān)系計(jì)算求參判斷D.【詳解】由，過(guò)定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確由，可得，若函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，則即得，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，的極小值為與極大值，若的極大值與極小值互為相反數(shù)，則，滿足方程，設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，，即方程至少還有一個(gè)根在內(nèi)，D選項(xiàng)不正確；故選：AB.11.已知點(diǎn)為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線與軸?拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.C.D.若線段與拋物線交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，直接根據(jù)拋物線的方程求得準(zhǔn)線方程即可；對(duì)于選項(xiàng)B，首先求出切線方程，然后將向量的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后求它們的數(shù)量積，看是否為0；對(duì)于選項(xiàng)C，先求出直線的方程，然后聯(lián)立拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到向量的坐標(biāo)，計(jì)算這兩個(gè)向量的坐標(biāo)是否成線性關(guān)系；對(duì)于選項(xiàng)D，通過(guò)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其坐標(biāo)代入拋物線方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意畫出圖象為：因?yàn)閽佄锞€的方程為，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得，所以斜率為.所以切線方程為，即：，則點(diǎn).所以，，所以，所以，選項(xiàng)B正確.因?yàn)橹本€的方程為，令，則.直線的斜率為，所以該直線的方程為.聯(lián)立該直線與拋物線方程為，化簡(jiǎn)得：.由韋達(dá)定理，所以，所以.所以，，而，所以平行，選項(xiàng)C正確.因?yàn)辄c(diǎn)，則.因?yàn)?，，所以?因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，，所以，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，若，則的面積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理求出角，再由基本不等式及三角形面積公式即可求解.【詳解】由，可得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以故的面積的最大值為，故答案為：13.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為__________.【答案】或.【解析】【分析】首先利用兩點(diǎn)距離公式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)弦長(zhǎng)和半徑求出圓心到直線的距離，最后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出直線的方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓.因?yàn)橄议L(zhǎng)，所以圓心到直線的距離.設(shè)直線的方程為，即.所以圓心到直線的距離為，解得，所以直線的方程為或.即或.故答案為：或.14.已知為正整數(shù)，關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有2026個(gè)根，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】平方后利用降冪公式，解方程可知在一個(gè)周期內(nèi)方程有3個(gè)根，再結(jié)合題意即可求的值.【詳解】由，有，有，解得或，可得在一個(gè)周期內(nèi)方程有3個(gè)根，由，可得．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.3月9日，在十四屆全國(guó)人大三次會(huì)議舉行的記者會(huì)上，國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)主任雷海潮表示，體重管理年實(shí)施的首期三年體重管理行動(dòng)，目的是“在全社會(huì)形成重視體重?管好體重，健康飲食?積極參與運(yùn)動(dòng)鍛煉等良好的生活方式和習(xí)慣.”由于肥胖對(duì)人體健康的危害，某健康咨詢機(jī)構(gòu)為了了解居民是否有減肥的想法，隨機(jī)調(diào)查了400名居民，得到如下列聯(lián)表：

有減肥的想法沒(méi)有減肥的想法合計(jì)男性居民

女性居民

合計(jì)180

（1）求的值，并完成上述列聯(lián)表；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與是否有減肥的想法有關(guān)？（3）以樣本估計(jì)總體，且以頻率估計(jì)概率，若從男性居民中隨機(jī)抽取4人，記其中“有減肥想法”的人數(shù)為，求的期望值.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）,表格見解析（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由表，得，可得，再填表即可；（2）根據(jù)列聯(lián)表，求得值，再與臨界值表對(duì)照下結(jié)論；（3）先求“有減肥想法”的概率為，再用二項(xiàng)分布期望公式計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】列聯(lián)表中部分?jǐn)?shù)據(jù)補(bǔ)充如下：

有減肥的想法沒(méi)有減肥的想法合計(jì)男性居民女性居民

合計(jì)180400由上知，有，可得，完成列聯(lián)表如下：

有減肥的想法沒(méi)有減肥的想法合計(jì)男性居民100100200女性居民80120200合計(jì)180220400【小問(wèn)2詳解】零假設(shè)為：性別與是否有減肥的想法無(wú)關(guān)，由，根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，故能認(rèn)為性別與是否有減肥的想法有關(guān)；【小問(wèn)3詳解】由表格中的數(shù)據(jù)知，從男性居民中抽取1人，其“有減肥想法”的概率為，的取值可以是0，1，2，3，4，且，所以.16.如圖，在圓臺(tái)中，，梯形是圓臺(tái)的一個(gè)軸截面，點(diǎn)在圓臺(tái)下底面的圓周上，且.（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在圓臺(tái)的上底面的圓周上，且，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用是菱形，所以，再應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，應(yīng)用線面垂直判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)，向量法求平面和平面的法向量再應(yīng)用夾角的余弦公式計(jì)算求值.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)?，所以，所以都是等邊三角形，因?yàn)槭橇庑?，所以，因?yàn)椋?，因，圓臺(tái)下底面與平面垂直，且交線為，在圓臺(tái)下底面內(nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】連接，由兩兩垂直，分別以所在方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系.

∴由，是等邊三角形，可得，所以，設(shè)點(diǎn)，又由，可得，由及平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，，∴，，令，則，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.因此平面和平面夾角的余弦值為.17.在前項(xiàng)和為的等比數(shù)列中，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前2025項(xiàng)的和；（3）從集合中隨機(jī)取出四個(gè)元素（其中），記，求的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和已知條件，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式.（2）首先根據(jù)（1）求出的數(shù)列求出數(shù)列，然后利用分組求和的方法求.（3）首先將的表達(dá)式和不等式化簡(jiǎn)，然后判斷哪些數(shù)能夠使不等式成立，從而可求得概率值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得②.聯(lián)立①②解得：.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?所以前2025項(xiàng)和為：.【小問(wèn)3詳解】由題意知，..要使得，即.要使不等式成立，則任何一個(gè)都不能大于等于11，所以需要從1-10中選4個(gè)數(shù)才能滿足，此時(shí)，共有種，所以概率為.18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，雙曲線的右支上任意一點(diǎn)都使得.（1）求雙曲線的離心率；（2）若點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，求的取值范圍.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，代入雙曲線方程得，再利用二倍角正切公式有，結(jié)合即可得到方程，解出即可.（2）代入得到雙曲線具體方程，再設(shè)，根據(jù)正弦定理得，再作差結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)值域即可求出其范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，由，有，可得，又由，有又由，有，有，又由，有，又由，有，可得，故雙曲線的離心率為2.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知雙曲線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，有，可得，設(shè)，由雙曲線的漸近線的傾斜角及雙曲線的圖像和性質(zhì)，可得，又由，在中，由正弦定理，有，有，有，由，有，有，可得的取值范圍為．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若是兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由（1）可知，解不等式即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可證不等式.【小問(wèn)1