2025屆高三信息卷校本考試（二）數學科試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.或0【答案】A【解析】【分析】根據集合的包含關系以及集合中元素的互異性解方程即可求得.【詳解】由可知或，解得或；又因為時，集合中的元素不滿足互異性，舍去；所以.故選：A2.已知是虛數單位，復數、在復平面內對應的點坐標分別為、，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復數的幾何意義，除法運算和復數的模計算即可.【詳解】由題意，，，.故選：D.3.已知，且在方向上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據投影向量的定義，結合條件列方程可求結論.【詳解】在方向上的投影向量為，由已知可得，因為，所以，又，所以，又，所以與的夾角為.故選：D.4.鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已知人眼距離地面高度，某建筑物高，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測量人與鏡子的距離，將鏡子后移a米，重復前面中的操作，則測量人與鏡子的距離，則鏡子后移距離a為（）A.6m B.5m C.4m D.3m【答案】A【解析】【分析】設建筑物底部到第一次觀察時鏡面位置之間的距離為，根據光線反射性質列出關于的方程組，求解即可.【詳解】如圖：設建筑物最高點為A，建筑物底部為，第一次觀察時鏡面位置為，第一次觀察時人眼睛位置為C處，第二次觀察時鏡面位置為，設到之間的距離為，由光線反射性質得，所以，即，①同理可得，②①②兩式相比得，解得，代入①得，故選：A．5.如圖是函數的圖象，則的值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由對稱性可知到間隔半個周期即可求解.【詳解】由三角函數對稱性可得，因此，故選：C.6.古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點，中心為原點，橢圓的面積為，直線上一點滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，由條件可得是以為頂角的等腰三角形，列出關于的方程，再由離心率的計算公式，即可得到結果.【詳解】由題可知，，即，是以為頂角等腰三角形，則有：，，，所以，又因為，即，，可得：，解得，故離心率為．故選：B．7.二項式的展開式中，把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法種數為（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】先利用二項式的展開式的通項公式求出有理項的項數，再利用插空法求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，得，所以展開式中的有理項有項，把展開式中的項重新排列，先把項無理項全排列，再把項有理項插入形成的個空中，所以有理項互不相鄰的排法種數為種.故選：D.8.設，其中，則的最小值為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，，則可轉化為曲線上的點與曲線上的點之間的距離與到直線的距離之和，據此利用導數和三角形不等式即可求解.【詳解】令，，則點在函數圖象上，在函數的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點為，過作拋物線的準線的垂線，垂足為，如圖所示：則，當且僅當在線段上時，取最小值.設這時點坐標為，又，所以有，解得，即該點為，所以，因此.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于數形結合，將的值轉化為點到點的距離與點到直線的距離之和的問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部份分，有選錯的得0分．9.已知空間中異面直線所成的角為，若過空間中某點A的直線與所成的角都為，則（）A.滿足直線有且只有1條 B.滿足的直線有且只有1條C.滿足的直線有且只有1條 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據異面直線所成角的概念，以及兩直線的夾角的概念，平移兩異面直線，即可求解.【詳解】把異面直線平移到相交直線，設其交點為，此時，過點作直線平分，這時與所成的角為，所以滿足的直線只有一條，故A正確.把異面直線平移到直線，設其交點為，則所成的角角為，其補角為，當經過點且為的角平分線時，與均成角，設角的平分線為，把繞旋轉，且再旋轉過程中保持與所成角等于，則逐漸增大，上下旋轉各能得到一個位置，使與均成角，所以這的直線有3條，所以B錯誤.把異面直線平移到相交直線，設其交點為，此時，作直線垂直相交直線所在的平面，所以滿足的直線只有一條，所以C正確.把異面直線平移到相交到直線，設其交點為，此時，過點作直線平分，這時與所成的角為最小角，且為，作直線垂直相交直線所在的平面，這時與所成的角取得最大角，且為，綜上，所以D正確.故選：ACD.10.設函數，則（）A.當時，的圖象關于點對稱B.當時，方程有個實根C.當時，是的極大值點D.存在實數，恒成立【答案】ABD【解析】【分析】利用函數對稱性的定義可判斷A選項；利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可判斷B選項；當時，利用導數分析函數的單調性，可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，當時，，因為，所以，，所以的圖象關于點對稱，故A正確；對于B選項，當時，，則，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，所以，，又因為，如下圖所示：由圖可知，直線與函數的圖象由三個交點，即時，方程有個實根，故B正確；對于C選項，，當時，，此時函數在上單調遞增，故C錯誤；對于D選項，當時，函數在上單調遞增，此時恒成立，故D正確．故選：ABD．11.若，滿足且的點構成的區域記為.滿足且的點構成的區域記為，則（）A.的面積為16 B.的周長為C.的面積為 D.的周長為【答案】AB【解析】【分析】根據曲線方程求出表示的曲線，進而畫出不等式所表示區域，結合圖形的對稱性求出面積和周長，逐項分析即可.【詳解】由得，所以或或，表示兩條相交直線和一個圓，由，當，方程為；以代替x方程不變，曲線關于y軸對稱；以代替y方程不變，曲線關于x軸對稱；以、代替x、y方程不變，曲線關于原點對稱；所以曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；所以方程的曲線圍成的封閉圖形是一個以、、、為頂點的正方形．滿足且即，則或；所以滿足且的點構成的區域如圖1陰影部分.其的面積為，的周長為，故AB正確；滿足且即，則或；所以滿足且的點構成的區域如圖2陰影部分.其的面積為，周長為，故CD錯誤；故選：AB三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.若，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，再利用兩角差的余弦公式及輔助角公式化簡得到，利用三角函數的有界性即可得解.【詳解】解：因為，所以所以的最小值為,故答案為：.【點睛】本題考查三角函數的恒等變形和三角函數的性質，屬基礎題，關鍵是熟練掌握兩角和差的三角函數公式，將所求式子化為關于的一角一函的形式.13.函數的極小值點為__________.【答案】##【解析】【分析】先將函數進行變形得到，再利用復合函數的求導法則進行求導，然后判斷函數的單調性即可.【詳解】因，則，令，則，則則得；得，則在上單調遞減，在上單調遞增，則的極小值點為.故答案為：14.“四進制”是一種以為基數的計數系統，使用數字，，，來表示數值．四進制在數學和計算的世界中呈現出多個維度的特性，對于現代計算機科學和技術發展有著深遠的影響．四進制數轉換為十進制數的方法是通過將每一位上的數字乘以的相應次方（從開始），然后將所有乘積相加．例如：四進制數轉換為十進制數為；四進制數轉換為十進制數為；四進制數轉換為十進制數為；現將所有由，，組成的位（如：，）四進制數轉化為十進制數，在這些十進制數中任取一個，則這個數能被整除的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據四進制與十進制的轉換規則，利用二項式定理將的高次方展開并求得除以之后的余數，令余數能被整除即可得出所有數字組合種類數，可求得概率.【詳解】設，則位四進制數轉換為十進制為，若這個數能被3整除，則能被整除．當這個四進制數由，，，組成時，有個；當這個四進制數由，，，組成時，有個；這個四進制數由，，，組成時，有個；這個四進制數由，，，組成時，有個；這個四進制數都由組成時，有個．因為由，，組成的位四進制數共有個，所以能被整除的概率．故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將進制轉化為進制之后，利用二項式定理來求解能否被整除的問題，得出所有可能的組合即可求得相應概率.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在四邊形中，，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，再由，在三角形BCD中，由余弦定理即可得出答案；（2）設，三角形ABD和三角形BCD中，由余弦定理可得，解方程即可得出答案.【小問1詳解】在三角形ABD中，根據余弦定理可得，，由題得：，所以，在三角形BCD中，根據余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】設，在三角形ABD中，根據余弦定理可得，，在三角形BCD中，根據余弦定理可得，，所以，得：或（舍），則.16.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）求證：平面；（2）若，，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據面面垂直的性質可得平面，進而可得，同理得，即可利用線面垂直的判定求解，（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可利用法向量的夾角求解.【小問1詳解】如圖，取內一點，作，交于點，作，交于點．因為平面平面且平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以，同理得．因為，且平面，所以平面．【小問2詳解】因為，，兩兩垂直，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示．由題意，得，，，，則，，，．設平面的法向量為，則令，則，，所以．設平面的法向量為，則令，則，，所以．設二面角的平面角為，則由圖可得．故二面角的余弦值為．17.某工廠的質檢部門對擬購買的一批原料進行抽樣檢驗，以判定是接收還是拒收這批原料.現有如下兩種抽樣檢驗方案：方案一：隨機抽取一個容量為10的樣本，并全部檢驗，若樣本中不合格品數不超過1個，則認為該批原料合格，予以接收.方案二：先隨機抽取一個容量為5的樣本，全部檢驗.若都合格，則予以接收；若樣本中不合格品數超過1個，則拒收；若樣本中不合格品數為1個，則再抽取一個容量為5的樣本，并全部檢驗，且只有第二批抽樣全部合格，才予以接收.假設擬購進的這批原料，合格率為，并用p作為原料中每件產品是合格品的概率.若每件產品的所需的檢驗費用為10元，且費用由工廠承擔.（1）若，記方案二中所需的檢驗費用為隨機變量X，求X的分布列；（2）分別計算兩種方案中，這批原料通過檢驗的概率，如果你是原料供應商，你希望該工廠的質檢部門采取哪種抽樣檢驗方案？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）方案二，理由見解析.【解析】【分析】（1）依題意，的可能取值為50，100.分別求出概率即可求得分布列；（2）分別求出方案一和方案二的概率，作差比較大小即可求得結論.【詳解】（1）依題意，的可能取值為50，100.，.故的分布列為：50100（2）方案一通過檢驗的概率為；方案二通過檢驗的概率為.由知：，所以，又，，所以，即，所以供應商希望該工廠的質檢部門采取方案二檢驗.18.已知雙曲線方程為1，F1，F2為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，點P為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足·0，|PF1||PF2|＝6．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點F2作直線交雙曲線于A、B兩點，則在x軸上是否存在定點Q(m，0)使得為定值，若存在，請求出m的值和該定值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）x21（2）存在，m＝﹣1，定值為0【解析】【分析】（1）由離心率得，從而得，再由數量積為0得垂直，利用勾股定理得的關系式，從而求得得雙曲線方程；（2）直線斜率為0時，直接求出坐標，計算出數量積，當l斜率不為0時，設l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程代入雙曲線方程，應用韋達定理得，代入，由它為定值求得值，得結論．【小問1詳解】由題意可得e2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，所以ba，又因為·0，|PF1||PF2|＝6．所以,由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，所以4c2﹣12＝4a2，可得b2＝3，a2＝1，所以雙曲線的方程為：x21；【小問2詳解】由(1)可得F2(2，0)，當直線l的斜率為0時，l：y＝0，此時A(﹣1，0)，B(1，0)，由M(m，0)，則·m2﹣1，當l的斜率不為0時，設l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，因為t2，y1+y2，y1y2，因為·(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)