2025年普通高等學校招生全國統一考試模擬試題數學本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數z為方程的根，則（）A. B.3 C. D.23.已知等比數列前3項的積為27，則的最小值為（）A. B. C. D.4.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.5.某校派高一、高二、高三每個年級各2名學生參加某項技能大賽，比賽要求每2名學生組成一個小組，則在這6名學生組成的小組中，只有一個小組的2名學生來自同一年級的概率為（）A. B. C. D.6.已知函數，若關于x的方程在區間上有兩個不同的解，，則（）A. B. C. D.7.已知圓E：與拋物線C：交于A，B兩點，且直線AB過C的焦點F，點K與點F關于原點對稱，M為C上一點，當為等腰三角形時，面積的最大值為（）A.1 B.2 C. D.8.任意作一條直線分別與定義域均為的函數，，的圖象交于點A，B，C，若點B始終為線段AC的中點，則稱，是關于的“對稱函數”．已知定義域為的函數，，且，是關于的“對稱函數”．若，，成立，則r的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2024年10月27日，國家統計局發布了全國規模以上工業企業各月累計營業收入與累計利潤總額同比增速統計數據，如圖所示，則（）A.累計營業收入增速的方差比累計利潤總額同比增速的方差小B.累計利潤總額同比增速極差為10.2%C.累計營業收入增速的上四分位數為2.9%D.累計利潤總額同比增速的平均數超過0.3%10已知函數，則（）A.有兩個極值點的充要條件為B.當時，若，且m，n為的兩個極值點，則C.當，時，圖象的對稱中心為點D.若的圖象上有3個不同的點，，，這3個點處的切線的斜率分別記為，，，則為常數11.在棱長為a的正方體中，點P在線段上，過點P與棱BC的平面截該正方體得到一截面，則（）A.四面體的體積隨點P的改變而改變B.直線BD與PC的公垂線段（同時與BD，PC垂直且相交）的長度的最小值為C.當時，截面圖形的面積為D.當時，以點A為球心，AB長為半徑球面與截面圖形的交線長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數滿足條件：①圖象為軸對稱圖形，②至少有一個最值，③至少有兩個零點，請寫出的一個表達式______．13.在直角梯形ABCD中，，，，以AB邊所在直線為軸，旋轉一周后得到的幾何體可以看作是由圓錐與圓柱構成的幾何體，若圓錐與圓柱的體積比為，則的值為______．14.已知雙曲線E：的左、右焦點分別為，，，離心率為e，點P在E的右支上，且，，若，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列滿足，，數列滿足．（1）證明：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式及前n項和；（3）記，求數列的前n項和．16.近幾年，人工智能的應用越來越受到人們的重視與應用，比如“NotionAI”是一個基于人工智能的寫作助手，它可以幫助用戶自動生成各種文本內容，如博客文章、頭腦風暴、待辦事項等等，因此它的應用迅速融入了我們的生活，特別是教師團隊．某市為了解該市的教師是否喜歡運用“NotionAI”，隨機抽取了該市名教師，統計了他們一周內使用“NotionAI”幫助寫作的次數，并將一周內使用“NotionAI”幫助寫作的次數超過次的認定為喜歡運用“NotionAI”，不超過次甚至從不使用“NotionAI”的認定為不喜歡運用“NotionAI”，統計數據如表所示．年齡是否喜歡運用“NotionAI”合計喜歡不喜歡不超過歲超過歲合計（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該市的教師是否喜歡運用“NotionAI”與年齡有關？（2）該市張老師在寫周一、周二的博客文章時習慣使用“NotionAI”與“文心一言”來幫助寫作，且周一等可能的從“NotionAI”與“文心一言”中隨機選擇一個，若周一選擇使用“NotionAI”，則周二選擇使用“NotionAI”的概率為；若周一選擇使用“文心一言”，則周二選擇使用“文心一言”的概率為，求張老師周二選擇使用“文心一言”的概率；（3）用樣本頻率估計概率，現從該市隨機抽取名教師，記其中喜歡運用“NotionAI”的教師人數為隨機變量，“NotionAI”的應用度為隨機變量，且，求、的期望和方差．附：，其中．17.如圖，DE是正的一條中位線，O為線段DE的中點，，將沿DE折起，得到四棱錐，且平面平面ABED．（1）證明：平面ABED；（2）R為棱PB上一點（不包括端點），若平面AOR與平面AOB夾角的余弦值為，求的值．18.已知函數，．（1）若在其定義域上單調，求的取值范圍；（2）若．（ⅰ）證明：；（ii）若，求的取值范圍．19.定義：由橢圓的一個焦點、一個長軸頂點（焦點與長軸頂點在對稱軸同一側）和一個短軸頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．若兩個橢圓的“特征三角形”相似，則稱這兩個橢圓是“相似三角形關聯橢圓”，并將這兩個“特征三角形”的相似比稱為“相似三角形關聯橢圓”的相似比．已知橢圓C：的左、右頂點分別為，，離心率為，點在C上，焦點在x軸上的橢圓與C是“相似三角形關聯橢圓”，且相似比為，的左、