第第頁湖南省張家界市普通高中2021-2022學年高一下學期數學期末聯考試卷一、單選題1．復數1?3iA．-1 B．1 C．-3 D．32．能反映一組數據的離散程度的是（）.A．眾數 B．平均數 C．中位數 D．方差3．在擲一枚硬幣的試驗中，共擲了100次，“正面朝上”的頻率為0.49，則“正面朝下”的次數為（）A．0.49 B．49 C．0.51 D．514．已知向量a=(?1，2)，A．平行且同向 B．平行且反向C．垂直 D．不垂直也不平行5．下列命題錯誤的是（）A．過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直B．過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面平行C．過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線垂直D．過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行6．已知a與b均為單位向量，且a與b的夾角為120°，則|aA．2 B．3 C．2 D．17．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知在陽馬P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=1，則直線PD與平面PAC所成角的正弦值等于（）A．12 B．33 C．328．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=32，BC=9，AB=5，cosB=A．134 B．132 C．634二、多選題9．下列關于向量的命題中為真命題的是（）A．若|a→|=|C．若m→=n→，n→10．某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量的數據，繪制了下面的折線圖．根據該折線圖，下列結論正確的有（）．A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩11．從甲袋中摸出一個紅球的概率是13，從乙袋中摸出一個紅球的概率是1A．2個球都是紅球的概率為1B．2個球不都是紅球的概率為1C．至少有1個紅球的概率為2D．2個球中恰有1個紅球的概率為112．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F在側面CDDA．側面CDD1C1上存在點F，使得BB．直線B1F與直線CD1所成角可能為60°C．三棱錐A1-BEF的體積為定值D．設正方體棱長為1，則過點E，F，A的平面截正方體所得的截面面積最大值為5三、填空題13．i+i2+i3+i4=．14．某射擊運動員平時訓練成績的統計結果如下：命中環數678910頻率0.10.20.30.20.2視頻率為概率，如果這名運動員只射擊一次，則他命中的環數小于9環的概率為．15．如圖所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著的一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為榮的發現．設圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則mn=16．已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA+C2=bsinA，c=2四、解答題17．已知向量a=(1（1）當a⊥（2）當x=3時，求向量a與向量b的夾角．18．已知復數z=(（1）若m=2，求z?z（z（2）若點Z在直線y=x上，求|z19．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，已知a=22，c=13（1）求sinA（2）求b的值．20．設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27，9，18．現采用分層隨機抽樣的方法從這三個協會中抽取6名運動員組隊參加比賽．（1）求從這三個協會中分別抽取的運動員的人數；（2）將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽．①用所給編號列出所有可能的結果；②設事件A為“編號為A3和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發生的概率．21．某市工會組織舉行“紅心向黨”職工歌詠比賽，分初賽、復賽和決賽三個環節，初賽全市職工踴躍參與，通過各單位的初選，最終有2000名選手進入復賽，經統計，其年齡的頻率分布直方圖如右圖所示．（1）求直方圖中x的值，并估計復賽選手年齡的平均值（同一組中的數據用該區間的中點值作代表，結果保留一位小數）；（2）根據頻率分布直方圖估計復賽選手年齡的第75百分位數；（3）決賽由8名專業評審、10名媒體評審和12名大眾評審分別打分，打分均采用10分制．已知某選手專業得分的平均數和方差分別為x1=8.4，S12=0.015附：方差S222．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，（1）證明：BE//（2）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求三棱錐F-ABD的側面FBD與底面ABCD所成二面角的余弦值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由復數的概念可知，1-3i的虛部是-3。故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合復數的虛部的定義，進而得出復數1?3i2．【答案】D【解析】【解答】眾數代表一組數據的一般水平，平均數表示一組數據的集中趨勢，中位數可將數值集合劃分為相等的上下兩部分，方差能反映一組數據的離散程度，綜上所述，能反映一組數據的離散程度的是方差，故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合方差與數據的離散程度的判斷方法，進而找出正確的選項。3．【答案】D【解析】【解答】由題意知“正面朝上”的次數為0.故“正面朝下”的次數為100－故答案為：D．

【分析】利用一種痛苦結合頻率等于頻數除以樣本容量的公式得出“正面朝上”的次數，再利用對立事件的定義，進而得出“正面朝下”的次數。4．【答案】B【解析】【解答】根據題意可知，b→=?2a故答案為：B.

【分析】利用已知條件結合向量共線的坐標表示和反向向量的定義，進而找出a→5．【答案】B【解析】【解答】對于A，根據線面垂直的定義，可得經過平面外一點作已知平面的垂線，有且僅有一條，A符合題意；對于B，過平面外一點可以作一個平面與已知平面平行，在這個平行平面內的經過已知點作直線，它就和已經平面平行，故過平面外一點有無數條直線與這個平面平行，B不正確；對于C，由直線與平面垂直的性質知：過直線外一點只能作一個平面與這條直線垂直，C符合題意；對于D，由平行公理得：過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，D符合題意．故答案為：B．

【分析】利用已知條件結合線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理、線線平行的判斷方法，進而找出命題錯誤的選項。6．【答案】D【解析】【解答】因為a與b均為單位向量，且a與b的夾角為120°，所以|a故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合單位向量的定義和數量積求向量的模公式，再利用數量積的運算法則和數量積的定義，進而得出|a7．【答案】A【解析】【解答】如圖，在正方形ABCD中，連接BD交AC于O，則DO⊥AC，連接PO.因為PA⊥平面ABCD，DO?平面ABCD，所以PA⊥DO，而PO∩AC=O，則DO⊥平面PAC，于是因為PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以PD=12+12=2故答案為：A.

【分析】在正方形ABCD中，連接BD交AC于O，則DO⊥AC，連接PO，利用PA⊥平面ABCD結合線面垂直的定義證出線線垂直，所以PA⊥DO，再利用線線垂直證出線面垂直，則DO⊥平面PAC，于是∠DPO是直線PD與平面PAC所成的角，利用PA=AD=1，易知PA⊥AD，再結合勾股定理得出PD的長，再結合中點的性質和勾股定理得出DO的長，再利用正弦函數的定義得出直線PD與平面PAC所成角的正弦值。8．【答案】C【解析】【解答】如圖，以點B為原點，BC所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，∵AD//BC，AD=32，∴C(9，0)，∴A(設M(x，0)∴DM=(x?∴DM?∴x=4時，DM?DN取得最小值故答案為：C.

【分析】以點B為原點，BC所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，再利用AD//BC，AD=32，BC=9，AB=5，cosB=35，得出點C的坐標，再結合余弦函數的定義和代入法得出點A的坐標，以及點D的坐標，設M9．【答案】B,C,D【解析】【解答】易知B，C，D符合題意，對A，兩個向量的模相等，但兩個向量的方向不一定相同，則A不符合題意.故答案為：BCD.

【分析】利用已知條件結合向量的模求解方法和性質、向量相等的判斷方法、三角形法則、相反向量的定義，進而找出真命題的選項。10．【答案】B,C,D【解析】【解答】對于A，由折線圖的變化趨勢可得，月接待游客量有增有減，A不符合題意；對于B，由折線圖的變化趨勢可得，年接待游客量逐年增加，B符合題意；對于C，由折線圖可得，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，C符合題意；對于D，由折線圖可得，各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩，D符合題意．故答案為：BCD.

【分析】利用已知條件結合折線圖中的數據，再結合統計的知識和方差與穩定性的關系，進而找出正確的選項。11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件A1，“從乙袋中模出一個紅球”為事件A則P(A1)=13在A中，2個球都是紅球為A1A2在B中，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為56在C中，2個球中至少有1個紅球的概率為1?P(A2個球中恰有1個紅球的概率為13故答案為：ACD．【分析】設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件A1，“從乙袋中模出一個紅球”為事件A2，則P(A1)=12．【答案】A,C【解析】【解答】分別取CC1，C1D1的中點K，H，連接B1K則B1K//A1E，又則平面B1KH//則當點F落在線段KH上時，B1F?平面B1KH，則即滿足題意的點F在側面CDD1C對于A，在正方體ABCD?A1又HK所以F=K時，B1F?平面對于B，∵CD1//HK，∴直線B1∴當點F在線段KH上運動變化到端點K或H時，直線B1F與直線CD1所成角取得最小值此時直線B1F與直線CD1所成角為∠B又cos∠B∴∠B對于C，由平行關系可知三棱錐A1-BEF的體積即三棱錐F?A因為A1B//HK，所以F到平面A1BE的距離不變，又對于D，正方體棱長為1，當F為C1E與過點E，F，A的平面交BB1于BB1的中點M，連接MC1，過點E，F，A的平面截正方體所得截面為菱形AMC又菱形AMC1E則截面AMC1E故答案為：AC.

【分析】分別取CC1，C1D1的中點K，H，連接B1K，B1H，HK、EK，再利用中點作中位線的方法和中位線的性質，則B1K//A1E，再利用A1B//HK結合線線平行證出線面平行，則平面B1KH//平面A1BE，則當點F落在線段KH上時，則B1F//平面A1BE，即滿足題意的點F在側面CDD1C1上的軌跡為線段KH。在正方體ABCD?A1B1C1D1中，有CD⊥平面BB1C1C，所以F=K時結合線面垂直的定義，進而證出線線垂直，所以B1F⊥CD；利用CD1//HK，得出直線B1F與直線CD1所成角為∠B1FD1或其補角，所以當點F在線段KH上運動變化到端點K或H時，直線B1F與直線CD1所成角取得最小值，此時直線B1F與直線CD1所成角為∠13．【答案】0【解析】【解答】解：i+i2+i3+i4=i﹣1+i2?i+i2?i2=i﹣1﹣i+1=0．故答案為：0．【分析】直接利用虛數單位i的運算性質化簡求值．14．【答案】0.6【解析】【解答】由題意，小于9環的概率為0.1+0.2+0.3=0.6。故答案為：0.6。

【分析】利用已知條件結合互斥事件加法求概率公式，進而得出這名運動員命中的環數小于9環的概率。15．【答案】1【解析】【解答】設球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，于是m=πr2故答案為：1。

【分析】設球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，再利用已知條件得出高為2r，再利用圓柱的體積公式和球的體積公式，進而得出m，n的值，從而得出mn16．【答案】π3；【解析】【解答】由題意，asin(π2?B2)=bsinA?acosB易知A+C=23π，而該三角形是銳角三角形，則0<C<π=12×4×sinAsinC×故答案為：π3；(

【分析】由題意結合誘導公式和正弦定理以及二倍角的正弦公式，再結合三角形中角B的取值范圍，進而得出角B的值，再利用三角形內角和為180度的性質，進而得出A+C=23π，而該三角形是銳角三角形，進而得出角C的取值范圍，再利用已知條件結合正弦定理和三角形的面積公式以及同角三角函數基本關系式得出S17．【答案】（1）解：當a→⊥b→時，（2）解：當x=3時，a→=(3，1)∵θ∈[0，π]，∴當x=3時，向量【解析】【分析】（1）利用已知條件結合數量積為0兩向量垂直的等價關系，再結合數量積的坐標表示，進而得出實數x的值。

（2）利用已知條件結合數量積求向量夾角公式和向量夾角的取值范圍，進而得出向量a與向量b的夾角。18．【答案】（1）解：若m=2，此時z=2+5i，z∴z?z（2）解：若點Z在直線y=x上，則m+3=m2?m解得：m=?1或m=3，此時z=2+2i或z=6+6∴|z|【解析】【分析】（1）利用已知條件結合m的值和復數與共軛復數的關系，再利用復數的乘法運算法則，進而得出復數z?z。

19．【答案】（1）解：由正弦定理可得asinA=（2）解：由余弦定理可得cosC=整理得：b2?4b?5=0，解得：∴b=5.【解析】【分析】（1）利用已知條件結合正弦定理得出角A的正弦值。

（2）利用已知條件結合余弦定理以及三角形邊的取值范圍，進而得出滿足要求的邊b的值。20．【答案】（1）解：由題意，甲、乙、丙三個乒乓球協會共有運動員27+9+18=54人抽樣比為654∴從這三個協會中抽取的運動員的人數分別為3，1，2.（2）解：①由題意，從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽所有可能結果為{A{A{共15種；②編號為A3和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到所有可能結果為{A{A∴事件A發生的概率為915【解析】【分析】（1）利用已知條件結合分層抽樣的方法，進而求出從這三個協會中分別抽取的運動員的人數。

（2）①利用已知條件結合列舉法，從而用所給編號列出所有可能的結果。②利用已知條件結合古典概型求概率公式，進而得出事件A發生的概率。21．【答案】（1）解：由題意，(解得x=0.x+47.（2）解：通過計算知第75百分位數落在[45，50)區間內，設為t，則(0解得t=47，即第75百分位數為47；（3）解：由S設該名選手最終的平均分為y，最終方差為S2則y=S=1估計該選手最終得分為8.933分，其得分方差為0.216．【解析】【分析】（1）利用已知條件結合頻率分布直方圖各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，再結合頻率之和等于1，進而得出實數x的值，再利用頻率分布直方圖求平均數的公式，進而估計出復賽選手年齡的平均值。