《函數模型的應用》教學設計教學環節教學內容師生互動設計意圖問題引入人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律，可以為制定一系列相關政策提供依據.早在1798年，英國經家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然狀態下的人口增長模型：，其中表示經過的時間，表示時的人口數，表示人口的年平均增長率.（1）根據國家統計局網站公布的數據，我國1950年末、1959年末的人口總數分別為55196萬和67207萬.根據這些數據，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型.（2）利用（1）中的模型計算1951～1958年各年末的人口總數.查閱國家統計局網站公布的我國在1951～1958年間各年末的實際人口總數，檢驗所得模型與實際人口數據是否相符.（3）以（1）中的模型作預測，大約在什么時候我國人口總數達到13億？師：形如的函數為指數型函數，生產生活中以此函數構建模型的實例很多（如“問題引入”中的題目）.學生在教師的引導下審題、建模、求解、檢驗，嘗試完成此問題.師生合作總結解答思路及題型特征.師生共同完成題目的解答：（1）由題意知=55196，設1950～1959年期間我國人口的年平均增長率為，根據馬爾薩斯人口增長模型，有67207=55196，由計算工具得0.021876.因此我國在1950～1959年期間的人口增長模型為，.（2）分別取，由可得我國在1951～1958年間的各年末人口總數；查閱國家統計局網站，得到我國1951～1958年各年末的實際人口總數，如下表所示.根據1950～1959年我國人口總數的實際數據畫出散點圖，并畫出函數（）的圖象（如下圖）由表和圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實際人口數據基本吻合.（3）將130000代入，由計算工具得.所以，如果人口按照（1）中的模型增長，那么大約在1950年后的第40年（即1990年），我國的人口就已達到13億.通過人口問題導入課題，讓學生熟悉數學模型的實際應用價值.讓學生明確：如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的壓力.例題講解例12010年，考古學家對良渚古城水利系統中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？分析：因為死亡生物機體內碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數衰減，所以應選擇函數建立數學模型.例2假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？分析：我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據.例3某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型：，，，其中哪個模型能符合公司的要求？分析：本例提供了三個不同增長方式的獎勵模型，按要求選擇其中一個函數作為刻畫獎金總數與銷售利潤的關系.由于公司總的利潤目標為1000萬元，所以銷售人員的銷售利潤一般不會超過公司的總利潤.于是，只需在區間[10，1000]上，尋找并驗證所選函數是否滿足兩條要求：第一，獎金總數不超過5萬元，即最大值不大于5；第二，獎金不超過利潤的25%，即.不妨先畫出函數圖象，通過觀察函數圖象，得到初步的結論，再通過具體計算，確認結果.師生合作探究解答過程.解：設樣本中碳14的初始量為，衰減率為，經過年后，殘余量為.根據問題的實際意義，可選擇如下模型：.由碳14的半衰期為5730年，得.于是.所以.由樣本中碳14的殘余量約為初始量的55.2%可知，，即.解得.由計算工具得.因為2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成的.師生合作探究解答過程.解：設第天所得回報是元，則方案一可以用函數進行描述；方案二可以用函數進行描述；方案三可以用函數進行描述.三種方案所得回報的增長情況見教材第151頁表4.5-5.再畫出三個函數的圖象（見教材第151頁圖4.5-7）.由表和圖可知，從每天所得回報看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.下面再看累計的回報數，通過信息技術列表（見教材第152頁表4.5-6）.因此，投資1～6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8～10天，應選擇方案二；投資11天（含11天）以上，則應選擇方案三.教師出示例3，讓學生明確：本題是已知3個函數模型，根據已知數據推斷這3個模型中哪個符合公司的要求（即契合度最高）.這種題型和之前學習的根據函數模型計算相關數據和自己根據數據推斷函數模型都不同，教師要關注學生是否會解決.教師提示學生：利用函數圖象來輔助對題目的理解是一個好方法.解：借助信息技術畫出函數，，，的圖象（見教材第153頁圖4.5-8）.觀察圖象發現，在區間[10，1000]上，模型，的圖象都有一部分在直線的上方，只有模型的圖象始終在的下方，這說明只有按模型進行獎勵時才符合公司的要求.下面通過計算確認上述判斷.首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬.對于模型，它在區間[10，1000]上單調遞增，而且當時，，因此，當時，，所以該模型不符合要求；對于模型，由函數圖象，并利用信息技術，可知在區間內有一個點滿足，由于它在區間[10，1000]上單調遞增，因此當時，，所以該模型也不符合要求；對于模型，它在區間[10，1000]上單調遞增，而且當1000時，，所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.再計算按模型獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當[10，1000]時，是否有成立.令，[10，1000]，利用信息技術畫出它的圖象（見教材第153頁圖4.5-9）.由圖象可知函數在區間[10，1000]上單調遞減，因此，即.所以當時，，說明按模型獎勵，獎金不會超過利潤的25%.綜上所述，模型確實能符合公司要求.將實際問題轉化為數學問題，利用合理的函數模型來解決實際，培養學生分析問題、解決問題的能力.利用表格、圖象，根據不同函數的增長快慢解決實際問題，提升學生的知識運用能力.通過借助函數解決函數模型的優化選擇問題，培養學生的數學運算素養.歸納總結數學建模的主要步驟：（1）理解問題：閱讀理解，讀懂文字敘述，認真審題，理解實際背景，弄清楚問題的實際背景和意義，設法用數學語言來描述問題.（2）簡化假設：理解所給的實際問題之后，領悟背景中反映的實質，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當的假設，精選問題中關鍵或主要的變量.（3）數學建模：把握新信息，勇于探索，善于聯想，靈活化歸，根據題意建立變量或參數間的數學關系，實現實際問題數學化，引進數學符號，構建數學模型，常用的函數模型有一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等.（4）求解模型：以所學的數學性質為工具對建立的數學模型進行求解.（5）檢驗模型：將所求的結果代回模型之中檢驗，對模擬的結果與實際情形比較，以確定模型的有效性；如果不滿意，要考慮重新建模.（6）評價與應用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結果做出解釋并給出其實際意義，最后對所建立的模型給出運用范圍；如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復上述步驟.師生合作，反思、歸納、總結、完善.學生通過獨立思考和必要的交流，分析歸納例題的解題過程，簡述建模的主要步驟.教師點評、總結學生的回答，然后完善歸納步驟.培養學生整理知識的習慣，提升歸納總結能力.課后練習教材第154頁練習第1，2題.學生獨立完成.強化基礎，提高能力.板書設計4.5.3函數模型的應用問題引入例1例2例3數學建模的主要步驟：（1）理解問題（2）簡化假設（3）數學建模（4）求解模型（5）檢驗模型（6）評價與應用課后練習教學研討本節課是比較難上的一節課，對