高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省齊魯名校教研共同體2025屆高三下學期第六次聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，集合A中的元素中，屬于B的有0，1，e．故.故選：A2.已知向量，，則=（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】B【解析】由題意可得，故．故選：B．3.已知z是方程的一個復數根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，因為，所以z和是方程的兩個根，所以，即，所以.故選：B.4.已知，則的最小值是（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】由可得，即，故，由，可得，當且僅當時取等號，即當時，取得最小值為8.故選：D5.現有5種顏色筷子各一雙，從中任取兩根筷子，若已知取到的筷子中有紅色的，則兩根筷子都是紅色的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設事件M為“兩根筷子都是紅色的”，則．設事件N為“取到的筷子中有紅色的”，則．所求即為．故選：D6.在一個建筑工程中，工程師需要根據斜坡的傾斜角度來計算一些結構的受力情況.設斜坡的傾斜角度為，經測算分析，發現，若該斜坡的摩擦系數為，則此系數的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，則，即，解得，因為，故，故．故選：B．7.小王到某公司面試，一共要回答道題，每道題答對得分，答錯倒扣分，設他每道題答對的概率均為，且每道題答對與否相互獨立，記小王答完道題的總得分為，則當取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設答對題的個數為，由已知可得，所以，，因為每道題答對得分，答錯倒扣分，為小王答完道題的總得分，所以，所以，，所以，又，所以當時，取最大值，最大值為.故選：C.8.在銳角三角形PMN中，，，垂足為Q，，則點P的軌跡為（）A.長軸長為2，離心率為的橢圓的一部分B.長軸長為，離心率為的橢圓的一部分C.實軸長為2，離心率為的雙曲線的一部分D.實軸長為，離心率為的雙曲線的一部分【答案】D【解析】以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸，MN的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，不妨令，，設，則，因為是銳角三角形，所以，則|，，，由，得，整理得，其為雙曲線的一部分，且雙曲線的實軸長為，離心率為，故點P的軌跡為實軸長為，離心率為的雙曲線的一部分．故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數列的通項公式為，若為遞減數列，為遞增數列，則t的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】當為正偶數時，，則，因為遞增數列，則對任意的正偶數恒成立，則，解得，當為正奇數時，，則，因為遞減數列，則對任意的正奇數恒成立，則，解得，所以的取值范圍是，故的可能取值為，．故選：CD10.已知點，均在拋物線C：上，F是C的焦點，則下列說法正確的是（）A. B.直線軸C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對于A．將的坐標代入C：，得，故A錯誤．對于B，由題可得，點A，F的橫坐標相同，所以直線軸，故B正確．對于C，因為點A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正確．對于D，若，因為，所以，故，解得，故D正確．故選：BCD11.已知函數，為常數，則下列說法正確的有（）A.的最小正周期為B.當時，的值域為C.在，上單調遞增D.若對于任意的，函數（a為常數）的圖象均與曲線總有公共點，則【答案】ACD【解析】，易得的最小正周期為，故A正確；當時，，其值域為，故B錯誤；令，得，故在上單調遞增，故C正確；當時，，此時；當時，，此時；當時，，因函數的圖象均與曲線總有公共點，則且，當時，，此時；當時，，此時，故，綜上所述，，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題．每小題5分，共15分．12.現有一個圓錐與一個球，它們的表面積相等，圓錐的母線長與球的直徑相等，則圓錐的底面直徑與母線長的比值為______．【答案】【解析】設該圓錐的底面半徑為，母線長為，則其表面積為，球的表面積為，所以，即，解得（負值舍去），故圓錐的底面直徑與母線長的比值為．故答案為：13.已知函數，的定義域均為R，其中是奇函數，是偶函數，且，若對于任意，都有，則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】∵是奇函數，是偶函數，在中，用去代換x，得，∴，，∵，∴由，可得，令，則在上單調遞增．若，則的圖象的對稱軸為直線，圖象開口向上，符合題意；若，則的圖象的對稱軸為直線，圖象開口向下，則需，即；若，則在上單調遞增，符合題意．綜上，．故答案為：.14.已知三個正數構成公比為的等比數列，圓：，過圓上一點P分別作圓，的切線，切點分別為，若，則______．【答案】3【解析】不妨設，，，三個圓心分別為，，，根據勾股定理得，，所以，因為點P在圓上，故可設點，其中，則，整理得，即，解得．故答案為：3四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.下表是2020—2024年中國出生人口數y（單位：十萬人）的數據：年份20202021202220232024年份代碼x12345出生人口數y/十萬人120106969095（1）求2020—2024年中國每年出生人口數的平均數；（2）某研究人員建立了y關于x的回歸模型，用該回歸模型預測從哪一年開始中國出生人口數將低于700萬；（3）求（2）中回歸模型的決定系數，并評價其擬合效果．（如果，就認為擬合效果好，如果，就認為擬合效果一般，如果，就認為擬合效果差）附：，．解：（1）．（2）中國出生人口數低于700萬，即．，解得：,,當時，，當時，，對應2028年，即預測從2028年開始中國出生人口數將低于700萬．（3）當，，，當，，，當，，，當，，，當，，，所以因為，所以這個模型的擬合效果一般．16.如圖，在中，，點是邊上的兩點，點在之間，．（1）求的值；（2）若，，求的值．解：（1）因為，且，所以，可得，即，所以．（2）因為，，，所以，又因為，所以，因為，所以，所以，又因為，所以，所以．17.如圖，四棱錐的所有頂點均在同一個球的球面上，且，，平面．（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐體積的最大值；（3）當四棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：由題意知四邊形存在外接圓，故，而，即，所以，故，由平面，平面，可得，而，平面，平面，故平面，又因為平面，故平面平面．（2）解：如圖，過點作，垂足為，由（1）平面平面，又平面平面，平面，所以平面．設四邊形的面積為，則四棱錐的體積，因為，，所以，因為平面，平面，所以，則點P在以AB為直徑的圓上，當時，PH最大，最大值為．因為，所以點在以為直徑的圓上，且，當時，最大，最大值為，此時底面ABCD是正方形．所以四棱錐體積的最大值為．（3）證明：以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸，過點A且與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖．由（2）可知，，，．所以，，．設平面PBD的法向量為，則，取，則，所以為平面PBD的一個法向量，設直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知，函數．（1）若，，求曲線在點處的切線方程；（2）若，，求的單調區間；（3）若對任意，至多有2個零點，求a的取值范圍．解：（1）若，，則，，所以，，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）由題易知，所以．令，得，當或時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故的單調遞增區間為，單調遞減區間為和．（3）若，則，僅有1個零點，符合題意．若，由至多有2個零點，可知至多有1個極值點，則至多有1個變號零點．由，可得．設，則，可得在上單調遞減，在和上單調遞增，所以的極大值為，極小值為，且當時，，當時，，作出的大致圖象如下：根據題意，直線與的圖象至多有1個交點（切點除外），所以或，解得或．綜上，a的取值范圍是．19.已知橢圓C：經過點．（1）求C離心率．（2）設A，B分別為C的左、右頂點，P，Q為C上異于A，B的兩動點，且直線的斜率恒為直線的斜率的5倍．①當b的值確定時，證明：直線過x軸上的定點；②按下面方法構造數列：