高2027屆高一下5月教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試卷(考試時間：120分鐘；總分：150分)第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A． B． C．D．【詳解】計算，虛部為.故選：C2．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（

）A． B．C．D．【詳解】在中，，則，故選：B3．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．在下圖分布形態(tài)中，、、分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【分析】利用數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，即平均數(shù)小于中位數(shù)，再利用眾數(shù)是用最高矩形的中點值來估計，可判斷眾數(shù)大于中位數(shù)，即可作出判斷.【詳解】由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)為右起第二個矩形下底邊的中點值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，又?jǐn)?shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)小于中位數(shù)，即，所以.故選：A.4．已知向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)模長公式可得，即可根據(jù)夾角公式求解.【詳解】由可得，故，結(jié)合故，，故，故選：B5．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的動點，下列說法不正確的是（

）A．對任意點，平面B．三棱錐的體積為C．線段長度的最小值為D．存在點，使得與平面所成角的大小為【答案】D【分析】連接，證得平面平面，可判定A正確；根據(jù)，可判定B正確；當(dāng)點為線段的中點時，求得線段的長度最小值，可判定C正確；求得與平面所成角的正切值的取值范圍，可判定D錯誤.【詳解】連接，由且，可得四邊形為平行四邊形，所以，又由平面，且平面，所以平面，同理可得平面，又，可得平面平面，所以對于任意點，則平面，所以A正確；由，所以B正確；當(dāng)點為線段的中點時，可得，此時線段的長度最小，最小值為，所以C正確；當(dāng)點在線段上運動時，長度的最小值為，最大值為，又由長度的取值范圍為，而點到平面的距離為定值1，因為平面平面，所以與平面所成角與與平面所成角相等，又由平面，可得在平面射影為，所以在平面所成角的正切值為，即與平面所成角的正切值的取值范圍為，其最大值小于，則不存在點使得與平面所成角的大小為，所以D錯誤.故選：D.【點睛】1、對面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”認(rèn)識不清導(dǎo)致錯解；2、等體積法：等體積法也稱積轉(zhuǎn)化或等積變形，通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決錐體的體積，特別時三棱錐的體積.3、求解直線與平面所成角時，根據(jù)直線與平面所成角的定義，結(jié)合垂線段與斜線段的長度比求得線面角的正弦值.6．已知一個正四棱錐的底面邊長為，內(nèi)切球的體積為，則這個正四棱錐的體積為（

）A．16B．C．D． 【分析】由內(nèi)切球的體積為可求內(nèi)切球的半徑.設(shè)球與正四棱錐底面切于點，側(cè)面切于點，設(shè)，延長交底面于點.根據(jù)正四棱錐的底面邊長及即可求解的值，利用棱錐體積公式即可求解.【詳解】因為內(nèi)切球的體積為，所以內(nèi)切球的半徑為1.如圖所示，設(shè)球與正四棱錐底面切于點，側(cè)面切于點，設(shè)，延長交底面于點.因為正四棱錐的底面邊長為，所以.又，所以，即，解得.所以，所以正四棱錐的體積為.故選：B.7．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，則角（

）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出，再由正弦定理將角化邊，結(jié)合余弦定理求出，再求出、，最后根據(jù)計算可得.【詳解】因為，由正弦定理可得，又，所以，又，由正弦定理可得，即，由余弦定理，所以，所以為銳角，所以，所以，又，所以.故選：A8．設(shè)向量滿足，則的最大值為（

）A．4B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】由已知可得，.設(shè)，，進(jìn)而分點在的內(nèi)部以及外部兩種情況，結(jié)合圖象以及圓的性質(zhì)，即可得出的位置或點的位置，進(jìn)而得出答案.【詳解】因為，所以.因為向量與的夾角，所以.設(shè)，，則.①如圖1，若點在的內(nèi)部，則，由題意與的夾角.所以，，由平面幾何知，四點共圓.要使最大，為圓的直徑，且，，所以有，即.②若點在的外部，如圖2所示此時有，，由平面幾何知，C點在以A為圓心，以長為半徑的圓上.此時.綜上所述，的最大值為2.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9．某科研院所共有科研人員200人，統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

研究學(xué)科性別數(shù)學(xué)物理化學(xué)生物合計女1510243180男45401817120合計60504248200欲了解該所科研人員的創(chuàng)新能力，決定抽取40名科研人員進(jìn)行調(diào)查，那么（

）A．若按照性別進(jìn)行分層抽樣（比例分配），則男性科研人員可能被抽取20人B．若按照研究學(xué)科進(jìn)行分層抽樣（比例分配），則數(shù)學(xué)學(xué)科科研人員一定被抽取12人C．若按照簡單隨機抽樣，則女性科研人員一定被抽取10人D．若按照簡單隨機抽樣，則可能抽出的均為數(shù)學(xué)學(xué)科科研人員【分析】選項A,B利用分層抽樣即可判斷，選項C,D則利用簡單隨機抽樣判斷即可.【詳解】對于選項A：按性別分層抽樣，男性抽樣比為，則男性科研人員被抽到的人數(shù)為人，故選項A錯誤.對于選項B：按學(xué)科分層抽樣，則數(shù)學(xué)學(xué)科抽樣比為，則數(shù)學(xué)學(xué)科抽取人數(shù)為人，故B正確；對于選項C：若按照簡單隨機抽樣，則每個人被抽到的概率都相等，則女性科研人員不一定被抽取10人，選項C錯誤；對于選項D:若按照簡單隨機抽樣，則每個人被抽到的概率都相等，則可能抽出的均為數(shù)學(xué)學(xué)科科研人員，故選項D正確；故選：BD10．已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，在上的投影向量為C．當(dāng)時，D．當(dāng)與的夾角為銳角時，的取值范圍為．【分析】根據(jù)判斷A，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷C，根據(jù)且不同向判斷D.【詳解】對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：當(dāng)時，，所以，，所以在上的投影向量為，故B正確對于C：若，則，解得，故C錯誤；．對于D：當(dāng)與夾角為銳角時，則，解得，此時向量不同向，所以當(dāng)與的夾角為銳角時，的取值范圍為，故D正確；故選：ABD．11．如圖，是邊長為2的正方形，都垂直于底面，且，點在線段上，平面交線段于點，則（

）A．該幾何體的體積為8B．四點不共面C．若中點為為的四等分點（靠近），則三線共點D．截面四邊形的周長的最小值為10【答案】ACD【分析】對于A，通過補形可知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，進(jìn)而求體積；對于B，利用證明四點共面；對于C，延長，設(shè)它們交于點，延長，設(shè)它們交于點，利用三角形相似得到對應(yīng)線段的比例關(guān)系，可求得，即點與點重合，即可得到三線共點；對于D，利用面面平行的性質(zhì)定理證明四邊形為平行四邊形，則周長，進(jìn)而求的最小值即可.【詳解】對于，由對稱性知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，所以，故A正確；對于B，取中點，取靠近的三等分點，則四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，則，所以四點共面，故B錯誤；對于C，若中點為為的四等分點（靠近），由已知，則，延長，設(shè)它們交于點，則，又，所以，延長，設(shè)它們交于點，則，則，即，又，則，則，所以點與點重合，即三線共點，故C正確.對于D，由題意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，則周長，沿將右面和后面相鄰兩面展開，當(dāng)三點共線時，最小，最小值為，所以截面四邊形的周長的最小值為10，故D正確.第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．某校高二年級選擇“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”組合的學(xué)生人數(shù)分別為480，40，120和80，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)生中選出72人參加一項活動，則“史政生”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為.【答案】8【分析】由按比例分配的分層抽樣方法中抽樣比相等，解方程即可.【詳解】由題意，，設(shè)在“史政生”組合中應(yīng)選出的學(xué)生人數(shù)為，則根據(jù)按比例分配分層抽樣可得，解得.故“史政生”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：.13．香霏樓是榮昌昌州故里景區(qū)的標(biāo)志性建筑之一，也是榮昌歷史文化的重要象征。某同學(xué)為測量香霏樓的高度，在香霏樓的正西方向找到一座建筑物，高約為15m，在地面上點E處（A，C，E三點共線）測得建筑物頂部B，香霏樓頂部D的仰角分別為和，在B處測得塔頂部D的仰角為，則香霏樓的頂部與地面的距離約為m..【答案】30m【分析】在直角三角形中利用銳角三角函數(shù)表示斜邊長，根據(jù)三角形內(nèi)角和以及平行線性質(zhì)可得角的度數(shù)，在結(jié)合正弦定理，可得答案.【詳解】在中，；在中，；由圖可知，易知，在中，，根據(jù)正弦定理可得：，所以所以.故答案為：3014．如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點在正方形及其內(nèi)部運動，點在矩形及其內(nèi)部運動，設(shè)，若，則四面體體積的最大值為．【分析】先確定點的軌跡，確定四面體體積最大時，點的位置，再利用錐體的體積公式計算即可求解.【詳解】如圖：因為平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.又在正方形及其內(nèi)部，所以點軌跡是如圖所示的以為直徑的半圓，作于，則是三棱錐的高.所以當(dāng)?shù)拿娣e和都取得最大值時，四面體的體積最大.此時點應(yīng)該與或重合，為正方形的中心.當(dāng)點與重合，為正方形的中心時，如圖：此時，，所以；當(dāng)點與重合，為正方形的中心時，如圖：此時，，.綜上可知，當(dāng)四面體的體積的最大值為4.故答案為：4【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)得到點在以為直徑的球面上，又點在正方形及其內(nèi)部，所以點軌跡就是球面與平面的交線上，即以為直徑的半圓上.明確點軌跡是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．已知向量，滿足，，．計算(1)；(2)．【答案】(1)(2)11【分析】根據(jù)已知條件得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律及向量模運算求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，因為，所以，所以.（2）由（1）可知，所以.16．在中，內(nèi)角所對的邊分別為的面積為.(1)求角的大小；(2)若的平分線交于點，求的長度.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和角的正弦公式求解.（2）利用三角形面積求出邊，再利用面積建立方程求解.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，則，即，而，于是，而，所以.（2）由（1）知，，又，的面積為，則，即，解得，由，得，，所以.17．某學(xué)校為提高學(xué)生對《紅樓夢》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)；(3)若落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52，方差是6；落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64，方差是3，求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和方差.【答案】(1)0.030(2)79分(3)，【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1列式即可求解；（2）由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計算公式即可求解；（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.【詳解】（1）由，解得；（2）因為，，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內(nèi)，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；（3）樣本數(shù)據(jù)落在的個數(shù)為，落在的個數(shù)為，，總方差.18．在四棱錐中，，，平面，分別為的中點，．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析.(2)30°.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再利用面面垂直的判定定理即可求證.（2）取的中點，連接，取的中點，連接，，證明二面角的平面角與互補，計算的大小即可.【詳解】（1）解：∵平面，平面，∴又，∴,∵，∴平面，又在中，分別為中點，故，∴平面∵平面，∴平面平面.（2）解：取的中點，連接，取的中點，連接，，由，平面，可得平面，又，，可得，因為是斜線在平面上的射影，由三垂線定理可得，所以是二面角的平面角，二面角的平面角與互補．在中，設(shè)，，可得，在直角三角形中，，可得，即有，則二面角的大小為．19．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知三棱錐如圖所示．(1)求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；(2)若平面ABC，，，三棱錐在頂點C處的離散曲率為，求點A到平面PBC的距離；(3)在（2）的前提下，又知點Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為，求BQ的長度．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給的定義，表示，再相加，即可求解；（2）先根據(jù)題設(shè)中垂直關(guān)系結(jié)合點C處的離散曲