石偉、向中輝、喻歡

自動化車床管理

摘要

本文建立的是自動化車床單刀具連續加工零件工序定期檢查和刀具更換的隨機性優化模型。我

們對題中所給數據進行處理和理論分析，并用卡方擬合檢驗法，確定了刀具壽命服從M600/968)

的正態分布。為了使總的期望損失到達最小，進而使工序得到最好的效益，我們針對三個不同的問

題建立了三個最優化模型。

針對問題一：我們將檢行間隔和道具更換策略的問題確定為單個零件期望損失最小的一個優

化問題。首先求出刀具故障和非刀具故障兩種情況的總故障間隔的分布函數E⑺。然后列出以單

個零件的期望損失為目標函數，關于檢測間隔和刀具定期更換間隔為變量的目標函數方程建立了一

個單目標的期望值模型。最后，利用計算機采用窮舉搜索法求得模型一的最優解為每生產18個零

件檢查一次，定期更換刀具間隔〃為360,相應的單個零件的最小費用。為4.595元。

針對問題二：我們采用分攤法建立了單個零件的效益函數。首先，求出在一個預防性換刀周

期內刀具故障出現次數的數學期望。然后以費用多樣性建立了兩個過渡模型作為跟用多樣性問題的

特殊情況的單目標函數。最后，綜合這兩個過渡模型，建立了以每個零件的平均費用為目標函數的

單目標最優化模型。用窮舉法求得檢查間隔〃為27,換刀間距u為297為問題二的最好檢查間隔

和換刀策略，相應的單個零件的最小費用。為9.216元。

針對問題三：在問題二的建模基礎上，我們增加每次檢查零件的次數來減少誤判。首先根據

是否發生刀具故障分別求出每個零件的損失費用。然后根據期望值對這兩種費用進行加權得到一個

周期內的平均損失費用。最后，建立用周期內平均損失除以周期長度的單目標優化模型。得到的結

果為險查間隔〃為29,換刀間距〃為319為最優解，相應的單個零件的最小費用。為5.238元。

最后，針對問題一的結果，對局部參數進行了靈敏度分析。

關鍵詞：卡方擬合正態分布檢驗窮舉法單目標期望靈敏度分析

1.問題重述

1.1問題背景

一個基于小型控制的自動化系統，應該能結合其所使用的輸入輸出模塊、操作儀器設備和網絡

元器件，以此構成一個經濟的自動化解決方案在這方面，有大量適用于各種專業技術標準的模塊化

零部件可供使用，在加工機床自動化控制功能的范圍內，需要針對機床的運動定位數據、原材料長

度數據、工作時的溫度數據和加工的工件數量，及零件的好壞等進行采集和匯總，及時的檢驗生產

的質量的好壞，便于對機器進行修理，減少不必要的損失，以提高經濟效益。

1.2問題提出

一道工序用自動化車床連續加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現故障，其中刀具

損壞故障占95%,其它故障僅占5虬工序出現故障是完全隨機的，假定在生產任一零件時出現故障

的時磯均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現故障。現積累有100次刀具故障記錄,

故障出現時該刀具完成的零件數如附表lo現方案在刀具加工一定件數后定期更換新刀具。

生產工序的費用參數如下：

1、故障時產出的零件損失費用f=200元/件；

2、進行檢查的費用tTO元/次；

3、發現故障進行調節使恢復正常的平均費用d=3000元/次（包括刀具費）；

4、未發現故障時更換一把新刀具的費用k=1000元/次。

1.3需要解決的問題

①假定工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品，試對該工序設計

效益最好的檢查間隔（生產多少零件檢查一次）和刀具更爽策略。

②如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有僚為不合格品：而工序故隙時產出的零件

有4佻為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認有故障仃機產生的損失費用為1500元/次。對

該工序設II效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。

③在②的情況，可否改良檢查方式獲得更高的效益。

表1100次刀具故障記錄（完成的零件數）

459362624542509584433748815505

612452434982640742565706593680

9266531644877346084281153593844

527552513781474388824538862659

775859755649697515628954771609

402960885610292837473677358638

69963455557084416606106484120

447654564339280246687539790581

621724531512577496468499544645

764558378765666763217715310851

2.問題分析

2.1問題一的分析

由于刀具損壞和其他故障使工序出現故障，工序出現故障是隨機的，工作人員通過檢查零件來

確定工序是否出現故障。當發現零件不合格時認為工序發生故障并停機檢查。并方案在刀具加工一

定件數后定期更換刀具。對于每一把刀具其可能加工的零件數都是相互獨立的，呈現出一個隨機的

分布。題目要求我們設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。效益最好即為每個零件的損失費最

少。損失費用有刀具在未發生故障而采取預防性更換的損失費用和刀具發生故障而帶來的損失費用

兩局部組成.給定檢查間隔，對零件做檢查，若刀具正常則不干預設備的工作，到了定期更換刀具

的時期，即使設備未出現故障，也要更換刀具。由于可能發生刀具故障和非刀具故障，在這里我們

假定發生故障后無法判斷是刀具故障還是非刀具故障，首先求出兩種故障下的總的分布函數。于是

以每一個零件的平均費用作為E標函數，那么費用就可以用非刀具故障和無非刀具故障兩種情況下

的總的分布函數求出損失費用后除以一個換刀周期的平均間距求得。故障可能出現在預防性換刀之

前，也有可能出現在預防性后。我們對這兩種情況分別作考慮，在知道了刀具壽命的分布函數之后,

便可以通過分布函數求得此時這兩種情況下的損失費用。然后考慮刀具更換周期，由于假設其他隨

機原因對任一零件出現故障的幾率相同且相互獨立，對于刀具更換周期〃來說，因為它是s,〃的函

數，所以也是隨機變量，求其數學期望值可以求出期望周期長。所以我們確定目標函數為：

一個周期內期望損失

單個零件的期望損失費用二

期望周期長

最后，通過對概率分布的分析，初步確實定一個檢查間隔和預防性更換刀具周期的區間，再利

用有窮列舉法得出最優化組合，則認為該組合為問題一的解。

2.2問題二的分析

在問題一的基礎上，我們主要考慮有題目中所說的兩種誤判，一種情況是工序正常時檢查到不

合格品誤判停機，這將會使檢查的費用增加。另種情況是在工序故障時檢查到合格品，這種情況

下，零件將會繼續生產直到下一檢查的到來，因此，生產的不合格品損失將會增加。這樣就使得不

能隨便停機檢查，但是由于刀具正常產出的產品是合格品的為98%,只是在刀具損壞產出的產品合

格率變化較大，因此在刀具好而誤判是壞的概率也不大，就可以采取與問題一相同的處理方法，假

設一個更換周期，再來確定更換次數與間隔。然后對工序發生故障的時間進行分析，得出供需發生

故障的時間可分為兩種情況：一是一個周期內未發生故障，二是在一個周期內工序發生故障。對這

兩種情況分別求出最小本錢，便可求出目標函數。

圖1問題一分析圖

2.3問題三的分析

對于問題三，就是對問題二的檢查中做出更為全面的考慮。我們首先對零件的檢查次數作考慮,

可以對零件進行檢查兩次，也可以檢查三次，實際上，由于時間因素，我們對進行兩次檢查進行計

算，發現誤判的的概率已經很小。其次考慮到一般設備在使用期限內可分為穩定期和非穩定期。這

里的穩定指故障少，而非穩定指故障多。我們考慮在問題二的檢查方式上加以改良得到更好的經濟

效益，我們考慮采用不相等間隔的檢查周期，在問題（1）和問題（2）中，我們得知：無論檢查周

期的長短都要檢查〃個零件，但是實際上，隨著檢查周期的不斷縮短，檢查的零件數〃也要減小；

其次由于考慮到新的刀具在生產的初期產生不合格零件的暇率相對較小，若在開始加大檢查間隔會

減少損失費，以后逐漸減少檢查的間隔，采取不等距檢查的策略來降低損失費用，即在穩定期內檢

查時間間隔大，在非穩定期內檢查間隔小，由刀具失效概率函數可知檢查工序出現故障間隔是隨著

換刀周期遞減的。

3.模型假設與符號說明

3.1模型的假設

（1）假定在生產任?零件時出現故障的時機均相同;

（2）假設工序出現故障是完全隨機的；

（3）假設題目所給的數據真實可靠，且不考慮其他的費用：

（4）假設工序在發生故障后，無法判斷是刀具故障還是非刀具故障;

（5）假設非刀具故障在任一零，‘牛處發生的概率均相同；

（6）假設從換上新刀到下一次工序故障或預防性換刀構成一個周期;

3.2符號的說明

符號符號說明

U預防性換刀的固定間隔（刀具更換周期）

U刀具更換周期的長度的平均值

n檢查的固定間隔

S預防性換刀對的間隔中檢查的次數

h一個周期內合格零件件數

f故障時產出的每件零件損失費用/=200元/件

t每次進行檢驗的費用r=10元/次

d每次發現故障進行調節使恢復正常的平均費用（包含刀具費）d=3（XX）元/次

k每次未發現故障時更換一把新刀具的費用％=1000元/次

b刀具出現故障后生產合格零件的概率〃=40%

a刀具沒有出現故障時生產合格零件數。=98%

S工序正常而誤認為有故障停機產生的損失費用g=1500元/次

T一個周期內總的故障間隔

c每個零件的平均費用

p工序中每一零件處非刀具故障率

Co一個周期內平均費用

G在一周期內未出現故障所產生的費用

c2一周期內出現故障所產生的費用

出現非刀具故障在一周期內所產生的零件數

工出現非刀具故障時在一周期內所生產的零件數

/(〃)〃的概率密度函數

E(u)間隔期（0,u）刀具故障發生次數的數學期望

尸Q)”的分布函數

q工序故障是由刀具故隙引起的的概率

刀具未故障引起的損失

C/由刀具發生故障引起的損失

4.數據處理與假設檢驗

由附表1的100次刀具故障記錄，故障出現時該刀具完成的零件數，為了粗略了解這些數據的

分布情況，我們先根據所給數據畫直方圖：

為

15

200初笠■發生FJ已經生產的8行皎跳10001X0

圖2無具故障時已生產的零件個數的頻數直方圖

以上的直方圖可以看出它的分布與正態分布類似，通過對100次刀具故障記錄的完成零件數觀

察研究及用Excel處理驗證，可以估計刀具故障分布函數，其服從正態分布工~2(〃62),根據記

I100I1001

錄數據求出了了)2=38659.42,則有f(x)=r=-e2,發現

100,=1100/=1。2乃(T

這100次刀具故障時完成的零件數近似服從X?N(6()(),196622)的正態分布

為使保證正確性，同樣運用Excel中進行正態性檢驗，我們選用雅克一貝拉檢驗和卡方優度檢

驗，經軟件處理得到如下表格

表2雅克-貝拉檢驗和卡方擬合優度檢驗結果

雅克-貝拉檢驗卡方擬合優度檢驗

數據100數據個數100

零假設是正態分布平均值600

顯著性水平0.05標準偏差196.6291695

最小值84

中間計算最大值1153

數據個數100區間個數16

平均值600區間寬度66.875

標準偏差196.6291695假設檢驗

偏度-0.011165425零假設服從正態分布

峰度0.441397949自由度9

JB統計量0.813878402卡方統計量2.521839719

雅克-貝拉檢驗綜

P值0.665684663P值0.980290368

合考慮了壬態分布的寬

檢驗結果接受零假設顯著性水平0.05

度和偏斜對分布的影

結果接受零假設

響，由結果知JB統計量

為0.813878402且40.665684663》顯著性水平0.05,即假設正確。而卡方擬合優度險驗得結果

Q0.980290368》顯著性水平0.05,進一步證明了假設的正確性。

綜上檢驗我們接受原假設，即表1中的數據服從N(600,196.62)的正態分布。

圖3正態性分布檢驗圖

所以，根據以上分析，我們可以得到一下表達式：

刀具壽命的概率密度函數為f(x)=^^e2揖

\J27TO-

(戶〃)2

所以刀具壽命的發布函數為2標dx

5.問題一的解答

針對問題一我們建立了模型一。

5.1模型一的建外

5.1.1確定目標函數

首先求非刀具故障和刀具故障總的分布函數:

在刀具壽命的分布函數的情況下，我們將從換上新刀到下一次工序故障或預防性換刀作為一個

周期，然后計算一個周期內每個零件的平均費用，我們己經假設其它隨機原因對于任何一個零件出

現故障的時機相同，親相互獨立我們假設7；服從幾何分布其分布函數為：

叩1

F（G=Zp（l—P嚴，（0<P<1），E（G=一

m=lP

由題意知，刀具損壞故障占工序故障的95%,而其它故障占5%,近似求得：

47；）195%

----------==--------=19

E（T0）4P5%

求得

/?=0.000087719

所以總的故障間隔T=丁的分布函數

4”）二1一（1一紜⑺）（1一工⑺）

然后求一個周期內平均損失費用

對于模型一，可分為兩種情況進行考慮

第一種情況：設每檢查〃個零件檢查一次，第$次檢查換刀具。若第s次檢查零件仍然合格，

則前面生產的零件都合格，即工序正常，這時的費用為：

G=（s，+QP{7>〃}

第二種情況:設每檢查〃個零件檢查一次，第m次檢查零件不合格，則設故障出現在第（m-Dn-^i

個，這時費用記為

Z，P{T=(〃2-l)n+i}

$

制+d+f---------------------P{(tn-\)n<T<mn

'P{(in-i)n<T</〃}

圖4模型一求解圖

最后求刀具更換周期：

對于刀具更換周期〃來說，因為它是s,〃的函數，所以也是隨機變量，求其數學期望值，即得

刀具更換的平均周期：

-rsnfoo

u=E(s,n)=udF(u)+Jsnf(u)du

=snF(sn)-￡F(u)du4-sn[]-

所以問題二的目標函數為minC=9二

u

5.1.2綜上所述，得到問題一的單目標最優化模型

minC=_~

u

C,=(st+k)P{T>u}

V

s￡iP{r=(w-l)n+z}

cmt+d+

2=Zf-^T(~r—7-~,P[{m-[)n<T<mn]

ZiP[(m-])n<T<mn>：

5.2模型一的求解

對于模型一，我們用matlab編程進行窮舉法進行搜索，由刀具壽命呈正態分布可知，當刀具

生產600個零件附近時出現故障的概率最大，所以刀具更換周期“應在600附近，又因為s和〃有

函數關系，所以檢查周期也應有一定的范圍.因此，我們判定s和〃必定落在（10100）之間，我

們把〃的取值以5為步長計算費用。得到的主要結果如下表（詳細結果見附錄三）：

一個檢查間隔內完成的在一個換刀周期內完成單個零件的損失費用

零件件數〃，單位（件）的零件件數u,單位（件）C單位（元）

183604.595

5.3模型一結果分析

我們對模型一中局部結果用如下表格表示：

由表3可以看出〃和〃的取值都會制約。的取值，當〃和〃的取值分別為360和18時，目標

函數的值最小，而當〃和〃的取值越接近這個值時，目標函數的值越接近這個最小值，所以我們認

為6M.595為模型一的最優解。

表3問題一的數據分析

16171819

3454.6214.6104.6014.602

3504.6174.6014.5994.598

3554.6114.5944.5974.596

3604.6074.5974.5954.596

3654.6024.5984.5964.598

3704.6044.5994.5994.602

3754.6114.6024.6034.607

結果說明：當工序設計換刀周期為生產360個零件，檢查周期為18個零件時，所獲得的效益

最好，即生產單位合格零件的消消耗用最少。

6.問題二的解答

針對問題二，我們建立了模型二。

6.1模型二的建立

6.1.1確立目標函數

對于問題二，考慮到問題二是問題一的特殊情況，主要考慮到題目中所說的兩種誤判，一種

情況是工序正常時檢查到不合格品誤判停機，這將會使檢查的費用增加。另一種情況是在工序故障

時檢查到合格品。針對這種情況，我們首先要求出一個換刀周期內換刀次數的期望值。

在一個預防性換刀周期內，第一次故障可能出現在生產第1,2……〃個零件時，設犯為第一

次故障發生在第i個零件時.

七(〃)二￡口十E(〃一l)[f"/。)力(〃>1)

r=0'

然后對可能會發生的不同情況，在模型一的基礎上建立兩個過渡模型：

過渡模型一：

假設工序處于正常狀態下，次品率為2%,而當工序不正常時，生產的零件全部為次品，則有

平均每個零件的費用包含四個局部：預防刀具費用、故障調整費、檢查費、換零件損失費。

則每個零件的平均費用為：

G-二伙+C/膽+f巳+fE(u)^+[--E(〃)](l—a)(g+f)\/u

qn2n

過渡模型二：

假設工序處于正常狀態時產品全為正品，而當工序處于不正常狀態下，次品率為60%,有則有

平均每個零件的費用包含四個局部：預防刀具費用、故障調整費、檢查費、換零件損失費，所以

dE(u)(\-b)tufE(u)n(\-b)

伙+----------+—+-----------]/〃

qn2

綜合過渡模型一和過渡模型二，問題二的模型為：

c=G+G+G

其中c,為故障調節恢復費用和檢查費用：

dE(u)Q-b)1

G=---------------+一

qun

G為壞零件損失費：

C,=f

\_n_

為誤停機造成的損失費：

G=g[--?(〃)(。)/〃

n

所以：模型二的目標函數為minC=C1+C2+C3

6.1.2綜上所述，得到問題二的最優化模型

minC=C,+C2+C3

c+一

i=-------q--u-------n

C=f--E(u)(\-b)(i-a)/u

2n

C=g[--E(u)(i-b)](l-a)/u

3n

6.2模型二的求解

對于模型一的求解，由于目標函數由三局部構成，而且相互之間有聯系，換刀周期和一個周期

內的殮查間隔也沒有受到約束，這種情況下，我們采用搜索法對模型進行求解，根據刀具壽命的分

布函數，我們限定換刀周期和檢查次數的大致分布范圍，用Matlab進行計算，最終求得的主要結

果如下表（詳細結果見附錄五）：

一個檢查間隔內完成的在一個換刀周期內完成單個零件的損失費用

零件件數〃，單位（件）的零件件數u,單位（件）C單位（元）

272979.2158

從表中數據我們得知當，當設計方案為：檢查間隔爐27件，即生產27件零件檢查一次；換到

周期”二297件，即每生產297件零件換刀；單個零件的損失費用。9.2158元。

6.3模型二的結果分析

針對模型二，我們對局部結果進行分析（見表6）,當〃固定時，目標函數C的會發生變化，

說明臉查間隔制約著最小費用。同理，當〃固定時，目標函數。的取值會隨著〃的改變而發生變化,

說明奧刀周期也對目標函數產生影響。所以，只有當〃和〃的取值同時到達最正確時\目標函數的

取值才會最小。即當/尸27,尸297時，目標函數C的取值最小為9.2158元。

表4模型二的數據分析

u26272829

2959.23369.22959.22879.2307

2969.22309.22029.22079.2241

2979.21719.21589.21769.2224

2989.21609.21619.21939.2256

2999.21959.22109.22589.2335

3009.22749.23059.23679.2460

3019.23989.24449.25229.2630

7.問題三的解答

針對問題三，我們建立了模型三。

7.1琪型三的建立

7.1.1確立目標函數

對于問題三，我們改良檢查方式，使其在檢查一個零件后，由于不確定是否會發生誤判而對零

件的險查次數重新考慮，從而獲得更高的的效益。我們在問題二的建模基礎上，模擬思路類似，只

是將險查次數改為一(檢查次數為三次發生誤判的概率更小，為了計算簡單，我們只檢查兩次，檢

查三次建模方法類似)，每次的概率有所不同，具體建模過程為總的費用為：這兩局部的費用分別

乘以與之相對應的概率之和。同樣利用所得到的刀具壽命概率分布函數求得周期的平均長度,這樣,

每個零件的損失費用為：總的損失費用除以周期的平均長度(在問題三中，由于我們只求解檢查兩

次的情況，所以X的取值為2)。

刀具未發生故障而采取預防性更換的損失費用為：

Cl=(—+k)a2+(—+(u-h)f+cl+g)(\-a)2+2[—+(u-h)f+d+g]a(i-a)

nnn

刀具發生故障引起的損失費用為：

C,=(―+k)b2+(―+(〃-〃)/+J)(l-b)2+2[—+(w-/?)/+d]b(1-b)

刀具更換的平均周期為：

一rsnfoo

u=E(s,n)=J。udF(u)+Jsnf(u}du

一，°F(u)du+-F(5/?)]

=￡7，[1-F(M)}/W

一個周期內的平均損失為：

Cn=CfF(u)+Cd(\-F(u))

所以問題三的目標函數為：

單個零件的平均損失費用minC=S

u

7.1.2綜上所述，得到問題三的最優化模型

C/F(〃)+G(l-F3))

min\-X--

u

7.2喋型三的求解

對問題三建立的模型，我們用Matlab進行積分運算，我們的計算方法同模型一的求解，考慮

到實際情況，不可能一次只檢查一個零件，也不可能檢查一次就換刀，所以我們判定s和〃必定落

在(10?100)之間，我們以先對〃的取值以5為步長計算費用，確定最小費用的范圍后，對〃的

取值精度進一步提高，得到模型二的結果如下表(詳細結果見附錄七)：

一個檢查間隔內完成的在一個換刀周期內完成單個零件的損失費用

零件件數〃，單位(件)的零件件數u,單位(件)C單位(元)

293195.238

從表中數據我們得知當，蘭設計方案為：檢查間隔〃=29件，即生產29件零件檢查一次；換刀

周期x=319件，即每生產319件零件換刀；單個零件的損失費用伐5.238元。

7.3模型三的結果分析

對于模型三的結果，我們采用和模型二同樣的分析方法。分別固定U和〃，然后對數據進行分

析，發現分別固定一個參數時，目標函數的取值都會在接近我們求的結果時不斷減小，當超過這個

值時，目標函數的取值又會不斷的增大，因此，我們認為我們求得的換刀周期尸319,檢查間隔爐29,

單個零件的平均損失費用小5.238為最優解。

表5模型三的數據分析

28293031

3155.23905.23865.23865.2388

3165.23855.23815.23825.2386

3175.23805.23785.23805.2384

3185.23785.23775.23795.2385

3195.23775.23765.23805.2386

3205.23775.23785.23825.2390

3215.23795.23815.23865.2395

3225.23825.23855.23915.2401

3235.23875.23915.23985.2409

最后，我們比較問題二的結果和問題三的結果，發現改良方案后單個零件損失費用有明顯的減

小，換刀周期的值變大，檢查間隔也略微的增大了。目標函數由問題二中的俏9.2158元減小為

65.238元，檢查間隔〃由問題二中的27變為29。這樣采取模型三工序效益進一步提高，因此模

型三有明顯的優勢。

8.靈敏度分析

為了方便，我們僅對問題一進行靈敏度分析。

8.1件100,其它參數不變

我們首先對參數f（其他費用參數可以做同樣處理）進行分析，由題目中的200減小到100,

其它參數不變，再對問題一進行求解，得到的結果如下表：

表6參數f的靈敏度分機

22232425

3454.30884.30214.29794.2943

3504.29534.29004.28534.2821

3554.28374.27884.27474.2728

3604.27484.26954.26584.2644

3654.26674.26194.25964.2577

3704.26044.25614.25424.2528

3754.25574.25284.25054.2496

3804.25364.25024.24844.2490

3854.25214.24924.24804.2490

3904.25214.24984.24994.2506

3954.25374.25194.25254.2537

4004.25674.25634.25664.2583

4054.26204.26124.26214.2653

與問題一的結果相比，f減小時，〃增大，f減小后，產生的壞零件的損失費減小，從而檢查

間隔也由模型一中的18增大到24,一個換刀周期內每個零件的平均費用也減小到了4.2484元。

8.2尸1/1140,其它參數不變

然后對非刀具故障率夕進行考慮，將非刀具故障率調整到1/1140.再對問題一進行求解，得到

的結果如下表：

表7參數〃的靈敏度分析

----13141516

3505.25845.25225.24585.2442

3555.25465.24355.23825.2435

3605.24645.23645.23795.2384

3655.24555.23655.23325.2347

3705.24005.23215.22995.2382

3755.23605.22915.23385.2373

3805.23895.23315.23315.2377

3855.23735.23275.23375.2451

3905.24275.23345.24125.2480

3955.24345.24105.24425.2520

4005.24535.24405.24835.2628

與問題一的結果相比，當非刀具的平均故障率增大時，〃減少，每個零件的平均本錢降低，這

是由于夕增大時，刀具的平均故障率減小，而由刀具故障產生的損失在總平均費用中的權重減少。

所以，一個周期內每個零件的平均費用增加到了5.2291元。

9.模型優缺點

9.1模型的優點

優點一：本文建模思想易于理解，模型可操作性強，有廣泛的應用價值。

優點二：由對已往數據通過概率統計建立的模型，得出的結論對實際的刀具生產和零件加工的過程

都具有比較實用的價值。

優點三：我們對100次刀具故障記錄的完成零件數觀察研究及處理驗證。刀具故障分布函數服從正

態分布模型比較容易理解，也能反映實際生產中的問題。

優點四：我們的所建模型對題目中數據進行了卡方擬合正態性檢驗，使我們所建模型利用到的數據

準確，可靠，最優。

優點五：本文所建模型也運用于不同的變量中，即變量改變照樣能模擬得到對應的最優解，對以

后工序長期生產有指導性的價值。

9.2模型的缺點

缺點一：沒有考慮實際加工過稱中，零件的人為因素損壞也會對其加工的連續所帶來較大的影響。

缺點二：沒有考慮刀具的壽命和零件的加工過程中其本身所具有的加工風險給模型的求解帶來的不

利因素。

10.模型的改良與推廣

10.1模型的改良

我們所建立的三個模型，對零件的檢查間隔采取了等間距檢查的方法來對目標函數的最小值進

行求解求解。我們可以考慮先考慮用枚舉法對一個周期內的檢查次數進行分析,分別求出目標函數。

然后進行比較，得到最優解。然后針對檢查次數，再對檢查間隔進行分析。用搜尋法找出一個周期

內的險查間隔，也就是盡量讓檢查間隔是非固定的，由于刀具壽命服從正態分布，我們考慮可以在

開始險查的時候讓檢查間距盡可能大，到600附近時加大檢查密度，這樣雖然是問題愛雜化了，但

可以在我們的模型基礎上進一步完善，在實際生活中也是這樣處理的。這樣的改良也可以對目標函

數做進一步優化。

由于第三問的模型假設為當每次檢查零件件數為二時，以第二次檢查為標準來判斷零件是否故

障，這樣盡管誤判的概率會減小，但我們仍是每次檢查兩個零件，誤判的概率還是稍微大一些，所

以我們可以增加每次檢查的零件數來進一步增加檢查的精確性，可以是每次檢查三個或四個甚至更

高來減少誤判的概率。這樣對工廠的效益會進一步增強。從而使該種方案得到優化。

10.2模型的推廣

本文著重討論了一個關于機械零件加工生產過稱中的一個隨機優化問題，即如何設定一個檢

查的間隔和檢查的周期，使得總的檢查費用到達最小。通過對刀具壽命的概率分布檢驗，比較合理

的得出一個正態分布密度函數，從而奠定了模型求解的基礎，再次通過一定的假設和判斷建立了一

個隨機優化模型，并采用了matlab程序編寫主要模型函數，得出了一組比較合理的最終結果，在

機械零件實際加工生產中，具有比較重要的實際指導作用。對于實際一般車床加工過程中。頻繁更

換刀具對零件的加工工藝以及理論尺寸都具有十分不利的影響。對其同軸度更是影響巨大，即此模

型比較適用于高等精密度的零件加工，對于IT等級大于8的零件來說，本文的指導意義不大，具

有一定的局限性。另一方面，由于我們所建模型為動態隨機模型，可以運用于不同的變量中，所以

此模型可以運用于多個行業領域，例如各種機械零件更換，汽車輪胎更換領域等。

11.參考文獻

[1]韓中耕，《數學建模競賽-獲獎論文精選與點評》，北京：科學出版社，2006.

[2]宋來忠，王志明，《數學建模與實驗》，北京：科學出版社,2005

[3]梁國業，廖鍵平，《數學建模》，北京，冶金工業出版社，2004

[4]盛驟，謝式千,潘承毅，《概率論與數理統計》第三版，北京，高等教育出版社，2003

12.附錄

附錄一：正態分布檢驗結果

數據序號F(Y.)安德森-達令檢驗

45910.0043422670.002458661

36220.007320420.009396784數據

62430.0132988430.026023591零假設是正態分布

54240.0257177130.033560904顯著性水平0.05

50950.0359032270.035903227數據個數100

58460.0518230150.048664463平均值600

43370.0586274610.073608922標準偏差196.6291695

74880.0701254330.091354959

81590.0921928740.093885748中間計算

505100.1092094750.10088684AD統計量0.22273681

612110.1130626690.107318656調整了的AD0.224457452

452120.1294428370.114040916P值0.823045761

434130.1404785760.12730982

982140.1569741980.137102784檢驗結果

640150.1746953890.166950562接受零假設

742160.1908568640.178651982

565170.1978531640.18673289

706180.1992707930.192243847

593190.218250770.200694522

680200.2258193480.202124339

926210.2366605550.203560235

653220.251010120.215264749

164230.2591766390.225819348

487240.260826270.235094494

734250.2776144360.247782053

608260.2827518920.26414166

428270.2984324150.279321845

1153280.303745820.294913815

593290.3144971140.307311371

844300.3217538290.310895229

527310.3272415390.329079182

552320.3290791820.342056424

513330.3327668490.347676862

781340.3552229770.368564685

474350.3628262970.382066759

388360.3762614930.391800783

824370.3781935460.39375596

538380.3840078280.401603018

862390.3878986620.409489956

659400.4035711330.419400017

775410.4094899560.423378777

859420.4154294810.431359386

755430.4273653660.443382019

649440.4293614720.451426871

697450.4393681150.457473814

515460.4534413370.475668222

628470.4615106740.479719674

954480.4675732780.481746212

771490.4858006510.483773222

609500.4858006510.487828447

402510.5121715530.514199349

960520.5162267780.514199349

885530.5182537880.532426722

610540.5202803260.538489326

292550.5243317780.546558663

837560.5425261860.560631885

473570.5485731290.570638528

677580.5566179810.572634634

358590.5686406140.584570519

638600.5766212230.590510044

699610.5805999830.596428867

634620.5905100440.612101338

555630.5983969820.615992172

570640.606244040.621806454

84650.6081992170.623738507

416660.6179332410.637173703

606670.6314353150.644777023

1062680.6523231380.667233151

484690.6579435760.670920818

120700.6709208180.672758461

447710.6891047710.678246171

654720.6926886290.685502886

564730.7050861850.69625418

339740.7206781550.701567585

280750.735858340.717248108

246760.7522179470.722385564

687770.7649055060.73917373

539780.7741806520.740823361

790790.7847352510.74898988

581800.7964397650.763339445

621810.7978756610.774180652

724820.7993054780.78174923

531830.8077561530.800729207

512840.813267110.802146836

577850.8213480180.809143136

496860.8330494380.825304611

468870.8628972160.843025802

499880.872690180.859521424

544890.8859590540.870557163

645900.8926813440.886937331

764910.899113160.890790525

558920.9061142520.907807126

378930.9086450410.929874567

765940.9263910780.941372539

666950.951335537