專題02常用邏輯用語一、命題1．一般地，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．2．判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題.3．命題常寫成“若p，則q”的形式，其中命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.4．定理：在數(shù)學(xué)中，有些已經(jīng)被證明為真的命題可以作為推理的依據(jù)而直接使用，一般稱之為定理.5.定義：定義是對(duì)某些對(duì)象標(biāo)明符號(hào)、指明稱謂，或者揭示所研究問題中對(duì)象的內(nèi)涵.6．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不一定都是定理，因?yàn)槊}有真假之分，而定理是真命題．二、充要條件1.充分條件、必要條件與充要條件的概念p?qp是q的充分條件，q是p的必要條件p?q，且qpp是q的充分不必要條件pq，且q?pp是q的必要不充分條件p?qp是q的充要條件pq，且qpp是q的既不充分也不必要條件提醒：A是B的充分不必要條件是指：A?B且BA，A的充分不必要條件是B是指：B?A且AB，弄清它們區(qū)別的關(guān)鍵是分清誰是條件，誰是結(jié)論．2.等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件p是q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件．其他情況依次類推．3.充分、必要條件與集合的子集之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．(3)若A＝B，則p是q的充要條件．三、全稱量詞和存在量詞1.全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號(hào)“?”表示．2.存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)“?”表示．3．全稱命題、特稱命題及含有一個(gè)量詞的命題的否定命題名稱語言表示符號(hào)表示命題的否定全稱命題對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)特稱命題存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立?x0∈M，p(x0)?x∈M，p(x)提醒：含有一個(gè)量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．題型一命題真假的判定【典例1】（2021·江蘇·高一期中）關(guān)于區(qū)間，有下列四個(gè)命題：甲：小于1的數(shù)都不在區(qū)間I內(nèi)

乙：區(qū)間I內(nèi)不存在兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)丙：區(qū)間I內(nèi)存在小于1的數(shù)

丁：區(qū)間I內(nèi)每個(gè)數(shù)的平方都大于它本身如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【典例2】同住一個(gè)房間的四名女生，她們?cè)谀程煜挛缯n外活動(dòng)時(shí)間中，有一人在看書，有一人在梳頭發(fā)，有一人在聽音樂，另外一人在修剪指甲．有以下五個(gè)命題：(1)A既不在修剪指甲，也不在看書；(2)B既不在聽音樂，也不在修剪指甲；(3)若C在修剪指甲，則A在聽音樂；(4)D既不在看書，也不在修剪指甲；(5)C既不在看書，也不在聽音樂．若上面的命題都是真命題，問：她們各自在干什么？【規(guī)律方法】1.命題真假的判定方法真命題的判定過程實(shí)際就是利用命題的條件，結(jié)合正確的邏輯推理方法進(jìn)行正確邏輯推理的一個(gè)過程．可以根據(jù)已學(xué)過的定義、定理、公理，已知的正確結(jié)論和命題的條件進(jìn)行正確的邏輯推理進(jìn)行判斷．要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可．2．從集合的觀點(diǎn)看，我們建立集合A、B與命題中的p、q之間的一種聯(lián)系：設(shè)集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是說，A是能使條件p成立的全體對(duì)象x所構(gòu)成的集合，B是能使條件q成立的全體對(duì)象x所構(gòu)成的集合，此時(shí)，命題“若p，則q”為真，當(dāng)且僅當(dāng)A?B時(shí)滿足．題型二充分、必要條件的判定【典例3】（2022·天津·高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不允分也不必要條件【典例4】（2020·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校高一期中）“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【典例5】（2020·江蘇·泰州市第二中學(xué)高一期中）命題“”是“”的（

）A．既不充分又不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件【典例6】【多選題】（2021·江蘇常州·高一期中）命題“，則”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【規(guī)律方法】1.判斷p是q的充分條件，就是判斷命題“若p，則q”為真命題．2.判斷p是q的必要條件，就是判斷命題“若q，則p”成立.3.充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷；(2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題．4．充分條件、必要條件、充要條件與命題的真假之間關(guān)系：條件p與結(jié)論q關(guān)系結(jié)論p?q，但qeq\o(?,/)pp是q成立的充分不必要條件q?p，但peq\o(?,/)qp是q成立的必要不充分條件p?q，q?p，即p?qp是q成立的充要條件peq\o(?,/)q，qeq\o(?,/)pp是q成立的既不充分也不必要條件題型三：充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用【典例7】（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【典例8】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若，則的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【典例9】【多選題】（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知p：或，q：，則a取下面那些范圍，可以使q是p的充分不必要條件（）A． B．C． D．【總結(jié)提升】充分、必要條件的探求方法(與范圍有關(guān))先求使結(jié)論成立的充要條件，然后根據(jù)“以小推大”的方法確定符合題意的條件．題型四利用充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍【典例10】（2021·江蘇·東?？h教育局教研室高一期中）若集合，，其中b為實(shí)數(shù).若A是B的充分不必要條件，則b的取值可以是___________.（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）【典例11】（2021·江蘇省天一中學(xué)高一期中）已知集合，或．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，且“”是“”的__________條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（請(qǐng)?jiān)凇阿俪浞植槐匾虎诒匾怀浞帧眱蓚€(gè)條件中選一個(gè)條件填入橫線后作答）【總結(jié)提升】利用充要條件求參數(shù)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)端點(diǎn)取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍．題型五全稱命題、存在命題的否定與命題真假判斷【典例12】（2021·江蘇·徐州市第七中學(xué)高一期中）命題“，都有”的否定是（

）A． B．C． D．【典例13】（2021·江蘇·鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)高一期中）已知命題p：?n∈N，n2>3，則﹁p為（

）A．?n∈N，n2≤3 B．?x∈N，n2≤3C．?n∈N，n2>3 D．?n∈N，n2＝3【典例14】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題p：，或，則（

）A．：，或 B．：，且C．：，且 D．：，或【典例15】【多選題】（2020·江蘇·南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）已知下列命題中，真命題的是（

）A． B．C． D．【總結(jié)提升】1．全稱命題與存在命題的否定(1)改量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫．(2)否結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．2．全稱命題與存在命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對(duì)象使命題真否定為假假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定為真存在命題真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定為假題型六由全稱命題、存在命題真假求參數(shù)【典例16】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題p：，命題q：，使得成立，若p是真命題，q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____.【規(guī)律方法】1.根據(jù)全稱(存在)命題的真假求參數(shù)的思路與全稱命題或存在命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．2．全稱命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以可以代入，也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決．3．存在命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”、“不存在”、“是否存在”等語句表達(dá)．解答這類問題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè)．1．（2021·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一期中）命題“”的否定是（）A． B．C． D．2．（2020·江蘇省西亭高級(jí)中學(xué)高一期中）設(shè)命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022·江蘇·南京市大廠高級(jí)中學(xué)高二期末）不等式成立的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）命題“，”是真命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．5．（2021·江蘇常州·高一期中）若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2021·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高一期中）“”是“”成立的是（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·江蘇·高一期中）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)高一期中）命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2021·江蘇蘇州·高一期中）下列四個(gè)選項(xiàng)中，是的充分不必要條件的是（）A．：，：B．：，：C．：，，：D．：，，：10．（2021·江蘇蘇州·高一期中）若集合，，則（）A．B．可能為、C．與有相同的子集個(gè)數(shù)D．是的必要不充分條件11．（2021·江蘇·高一期中）“關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．12．（2021·江蘇·高一期中）若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2021·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高一期中）命題“”的否定是_____.14.（2021·江蘇宿遷·高一期中）若命題“”為假命題，則滿足條件的一個(gè)自然數(shù)的值為______15．（2021·江蘇省濱海中學(xué)高一期中）命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的范圍是_________．16．（2021·江蘇省天一中學(xué)高一期中）已知命題：，，則命題的否定為___________；若命題為真命題，則的取值范圍為___________.四、解答題17．（2021·江蘇·姜堰中學(xué)高一期中）已知集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（2021·江蘇省沭陽高級(jí)中學(xué)高一期中）已知命題：“，不等式成立”是真命題．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（2021·江蘇·南京市人民中學(xué)高一期中）設(shè)集合，B＝{x|2(a＋1)x＋a2－1＝0}.(1)若－1∈B，求a的值；(2)設(shè)條件p：x∈A，條件q：x∈B，若q是p的充分條件，求a的取值