專題11平面解析幾何（選擇題、填空題）一、單選題1．（2022·浙江·高三開學考試）若圓（為圓的半徑）關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知直線過圓心，由此可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意可知直線過圓心，所以，，解得.故選：A.2．（2022·浙江嘉興·高三階段練習）已知直線及圓，過直線l上任意一點P作圓C的一條切線PA，A為切點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由切線長公式可得，據(jù)此可得當取得最小值時，取得最小值，又由的最小值即點C到直線l的距離，計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心C(1，2)，半徑r=2，過直線上任意一點P向圓引切線PA，切點為A則，當取得最小值時，取得最小值，又由的最小值即點C到直線l的距離，取得最小值為.故選：A3．（2022·浙江·高三開學考試）已知分別為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，畫出圖像，根據(jù)，可令，然后表示出，，然后利用橢圓定義找到與之間的關系，然后用分別表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出與之間的關系，從而求解離心率.【詳解】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：因為，令，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.4．（2022·浙江·紹興魯迅中學高三階段練習）過拋物線上一點作其切線，該切線交準線于點，垂足為，拋物線的焦點為，射線交于點，若，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分別表示出點的坐標，然后根據(jù)，列出方程，即可得到結果.【詳解】如圖所示，當在第一象限時，設，，則切線斜率由點斜式可得，，因為點在拋物線上，則，則或舍同理，當點在第二象限時，可以得到一樣結果.故選:B.5．（2022·浙江·慈溪中學高三開學考試）已知點、，直線，動點到點的距離和它到直線的距離之比為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設點，由題意可求出點的軌跡方程，再利用平面內(nèi)兩點間的距離公式和二次函數(shù)的基本性質可求得的最大值.【詳解】設點，由題意可得，整理可得，則，其中，所以，，所以，當時，取最大值，即.故選：C.6．（2022·浙江·高三開學考試）已知為坐標原點，直線與拋物線交于兩點，以為直徑的圓經(jīng)過，則直線恒過（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出圓心坐標，和直徑的長度，再根據(jù)圓經(jīng)過圓點，有，化簡式子，即可得出，代入直線方程，即可得出定點坐標.【詳解】如圖所示：設直線方程為：，，聯(lián)立方程得，有.，，，故中點，即圓心C的坐標為直徑.因為以為直徑的圓經(jīng)過，故有，即，化簡得：，故直線方程為：，當時，，即直線經(jīng)過定點.故選：D7．（2022·浙江·高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對變形得到，進而得到以，結合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉化，需要作出輔助線，結合內(nèi)心的性質得到三角形三邊關系，求出離心率.二、多選題8．（2022·浙江省淳安中學高三開學考試）已知點，若過點的直線交圓于兩點是圓上一動點，則（

）A．的最大值為B．點到直線的距離的最大值為4C．的最小值為D．的最小值為【答案】AC【分析】首先求出圓心坐標與半徑，求出，即可得到，從而判斷A，再判斷在圓內(nèi)，即可求出點到直線的距離的最大值為，即可判斷B，當直線時，弦取得最小值，即可判斷C，設，表示出，，利用坐標法求出數(shù)量積，再根據(jù)輔助角公式計算即可判斷D.【詳解】解：圓的圓心為，半徑，又，所以，故A正確；因為，所以點在圓內(nèi)，又，所以點到直線的距離的最大值為，當且僅當直線時取最大值，故B錯誤；因為，所以當直線時，弦取得最小值，，故C正確；設，，所以，，所以，其中，所以當時，故D錯誤；故選：AC9．（2022·浙江·高三開學考試）已知常數(shù)，直線與拋物線交于兩點（異于坐標原點），且，交于點，則（

）A．直線過定點B．線段長度的最小值為C．點的軌跡是圓弧D．線段長度的最大值為【答案】AC【分析】對A，設，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)垂直數(shù)量積為0求解可得即可證明；對B，利用弦長公式結合韋達定理，結合函數(shù)值域的方法分析即可；對C，由A根據(jù)判斷即可；對D，由A根據(jù)判斷即可.【詳解】對A，設，因為，所以，所以，因為，所以，所以.因為，所以，所以，解得.所以，所以直線過軸上的定點，故A選項正確.對B，，因為，所以，B選項錯誤.對C，設與軸的交點為，因為為定值，所以在以為直徑的圓上運動，C選項正確.對D，因為在中，，且當時，，所以最大值為，D選項錯誤.故選：AC10．（2022·浙江·杭十四中高三階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，點P在拋物線C上，，若為等腰三角形，則直線AP的斜率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由題意知，然后分和兩種情況求出點的坐標，從而可求出直線AP的斜率【詳解】由題意知，設，若，則，解得，則點P的坐標為或，所以或；若，則.因為，所以，解得或（舍去），所以點P的坐標為或，所以或.故選：AB11．（2022·浙江·高三開學考試）已知拋物線上的四點，，，，直線，是圓的兩條切線，直線、與圓分別切于點、，則下列說法正確的有（

）A．當劣弧的弧長最短時， B．當劣弧的弧長最短時，C．直線的方程為 D．直線的方程為【答案】BD【分析】對于AB選項，當劣弧最短時，即最小，最大，最小，根據(jù)二倍角公式及三角函數(shù)可得，設點，求的最小值即可得解；對于CD選項，根據(jù)相切可得直線與的方程，進而可得點與點的坐標，即可得直線.【詳解】由已知得拋物線過點，即，所以，即拋物線為，對于AB選項，如圖所示，設點當劣弧的弧長最短時，最小，又，所以最大，即最小，又，又圓，所以圓心，半徑，，又，所以當時，取最小值為，此時最小為，所以A選項錯誤，B選項正確；對于CD選項，設過點作圓切線的方程為，即，所以，解得，則直線的方程為：，即，直線的方程為：，即，聯(lián)立直線與拋物線，得，故，，，同理可得，所以，直線的方程為，即，所以C選項錯誤，D選項正確；故選：BD.12．（2022·浙江·慈溪中學高三開學考試）設拋物線的焦點為，過點的直線與交于、兩點，的準線與軸交于點，為坐標原點，則（

）A．線段長度的最小值為4B．若線段中點的橫坐標為，則直線的斜率為C．D．【答案】ABD【分析】設點、，設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點弦長公式可判斷A選項；利用韋達定理計算出的值，可判斷B選項；計算出，可判斷C選項；計算，可判斷D選項.【詳解】易知拋物線的焦點為，準線方程為，點，設點、，若直線軸，此時直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，對于A選項，，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，由題意可得，解得，B對；對于C選項，，同理可得，所以，，，C錯；對于D選項，，所以，，D對.故選：ABD.13．（2022·浙江省桐廬中學高三階段練習）已知拋物線C：y2＝4x，其焦點為F，P為直線x＝﹣2上任意一點，過P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，斜率分別為k1，k2，則（

）A． B．|k1﹣k2|＝2C．AB過定點 D．的最小值為8【答案】AC【解析】設，則y12＝4x1，y22＝4x2，對拋物線的方程兩邊求導，可得切線的斜率、切線的方程，聯(lián)立兩切線方程求得P的橫坐標，可判斷A；由切線的斜率相減，化簡可判斷B；求得AB的直線方程，結合恒過定點，可判斷C；由拋物線的定義和基本不等式可判斷D．【詳解】由題意可得，拋物線的準線方程為，設，則，，由y2＝4x得，求導得，所以，所以過A的切線的方程為x﹣x1＝，化為x＝y(tǒng)①，同理可得過B的切線方程為x＝y(tǒng)②，由①②解得x＝，由P的橫坐標為，即，則，k1k2＝，故A正確；因為|k1﹣k2|＝＝不為定值，故B錯誤；因為AB的直線方程為y﹣y1＝，即y＝y(tǒng)1+x，整理得y＝，所以AB恒過定點，故C正確；將轉化為到準線的距離，即＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+＝5+≥5+2＝9，當且僅當|y1|＝|y2|時取得等號，所以的最小值為9，故D錯誤．故選：AC．【點睛】關鍵點點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關系，解題關鍵是找到過A、B兩點的切線斜率與方程得到，然后利用此結論表示各個選項可得出判斷，考查了學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.14．（2022·浙江嘉興·高三階段練習）如圖，拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，過點，分別作準線的垂線，垂足分別為，，準線與軸的交點為，則（

）A．直線與拋物線必相切 B．C． D．【答案】BD【分析】設點的坐標，及過點的直線方程；選項A，聯(lián)列方程，整理成的一元二次方程，用判別式判定是否恒為零即可；選項B，由知，選項B正確；選項C，計算得，，兩式不恒等，故C不正確；選項D，先計算，從而得，由等面積法知選項D正確.【詳解】由已知，，設過點的直線方程為：，設點，，則，，由得，所以，選項A：直線的方程為，聯(lián)立方程組得：，所以，不恒為零，故選項A不正確；選項B：由題得，而所以，所以，所以，故B正確；選項C：，所以；，所以，，，，所以所以選項C不正確；選項D：，，，在中，，故D正確.故選：BD.15．（2022·浙江省蒼南中學高三階段練習）拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，則下列結論中正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．當時，C．若，則的取值范圍為D．在直線上存在點，使得【答案】BC【分析】對A，根據(jù)拋物線的定義轉化求解最小值即可；對B，根據(jù)拋物線的定義，結合三角函數(shù)關系可得直線傾斜角，再根據(jù)拋物線焦點弦長公式求解即可；對C，根據(jù)拋物線的定義可得，再分析臨界條件求解即可；對D，【詳解】對A，如圖，由拋物線的定義，的長度為到準線的距離，故的最小值為與到準線距離之和，故的最小值為到準線距離，故A錯誤；對B，不妨設在第一象限，分別過作準線的垂線，垂足，作.則根據(jù)拋物線的定義可得，故.故，所以.故B正確；對C，過作垂直于準線，垂足為，則，由圖易得，故隨的增大而增大，當時在點處，此時取最小值1；當與拋物線相切時最大，此時設方程，聯(lián)立有，，此時解得，不妨設則方程，此時傾斜角為，.故的取值范圍為，故C正確；對D，設，中點，故到準線的距離，又，故，故以為直徑的圓與準線相切，又滿足的所有點在以為直徑的圓上，易得此圓與無交點，故D錯誤；故選：BC16．（2022·浙江·紹興魯迅中學高三階段練習）將兩圓方程作差，得到直線的方程，則（

）A．直線一定過點B．存在實數(shù)，使兩圓心所在直線的斜率為C．對任意實數(shù)，兩圓心所在直線與直線垂直D．過直線上任意一點一定可作兩圓的切線，且切線長相等【答案】BCD【分析】利用分離參數(shù)法求出直線恒過的定點即可判斷A；利用兩圓心坐標求斜率進而判斷B；利用垂直直線的斜率之積為1判斷C；設直線上一點，利用兩點坐標求距離公式和勾股定理化簡計算即可判斷D.【詳解】由題意知，，兩式相減，得，A：由，得，則，解得，所以直線恒過定點，故A錯誤；B：，故B正確；C：因為，故C正確；D：，，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，又，得，即直線與圓相離，，得，即直線與圓相離，所以過直線上任一點可作兩圓的切線.在直線上任取一點，設點P到圓的切線長為，到圓的切線長為，則，，所以，即，故D正確.故選：BCD.17．（2022·浙江·高三開學考試）已知拋物線的焦點為，直線與交于點與點，點關于原點的對稱是點，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在以為直徑的圓上，則D．若直線與與拋物線都相切，則【答案】ACD【分析】設方程為，代入拋物線方程得，由求得判斷A由韋達定理求得弦長后求得，判斷B，由求得判斷C，設出切線方程為，求出兩點坐標判斷D．【詳解】設方程為，由得，，，，A．由得得，所以直線過點，A正確；B．，由，當時，，，B錯誤；C．，，，，即，所以，，，C正確；D．設（或）方程為，由上面推理過程得，，代入得，，不妨設，，則，所以直線過點，D正確．故選：ACD．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，解題方法是設出直線方程，代入拋物線方程后應用韋達定理得出，然后把此結論代入各選項計算可得．考查了學生的運算求解能力，邏輯思維能力，屬于難題．三、填空題18．（2022·浙江省蒼南中學高三階段練習）已知直線與圓相切，則______.【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】由點到直線的距離公式可得，故答案為：19．（2022·浙江·高三開學考試）如圖，拋物線的焦點為的準線與軸交于點，過點斜率為的直線與交于點在軸上方），則___________.【答案】3【分析】根據(jù)題意可得直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可解坐標，進而根據(jù)兩點間距離公式即可求解.【詳解】由題意可知,直線方程為：，聯(lián)立方程，解得，由于在軸上方,故可得，因此，故答案為：320．（2022·浙江·高三階段練習）已知雙曲線恰好滿足下列條件中的兩個：①過點；②漸近線方程為；③離心率．則雙曲線C方程為______．【答案】【分析】利用漸近線以及離心率的定義，列出方程求解即可.【詳解】若選②③，，得，又，化簡得，可得，不符題意，故選②③錯；若選①③，，得，過點，得，又由，得到，無解，故選①③錯；若選①②，，化簡得，又由且過點，得，解得，故此時，雙曲線C方程為故答案為：21．（2022·浙江省淳安中學高三開學考試）拋物線上的動點到的距離最小值記為，則滿足的所有實數(shù)的和為___________.【答案】【分析】設點，可得出，其中，令，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用二次函數(shù)的基本性質可得出關于實數(shù)的方程，解出的可能取值，即可得解.【詳解】設點，則，令，其中，當時，即當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，整理可得，解得或；當時，即當時，，整理可得，因為，解得，因此，滿足條件的實數(shù)之和為.故答案為：.22．（2022·浙江·高三開學考試）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸?軸于兩點，當點運動時，點的軌跡方程是___________.【答案】【分析】由題意求出過A點的切線，可得與直線垂直的直線，求出C、D點坐標，平方后作差即可得出軌跡方程.【詳解】由得，，因為與雙曲線有唯一的公共點，即相切于點，所以化簡得，，所以過點且與垂直的直線為，所以，所以所以點的軌跡是.故答案為：23．（2022·浙江·杭十四中高三階段練習）橢圓（焦點在軸上）的上?下頂點分別為，點在橢圓上，平面四邊形滿足，且，則該橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】由題意得在以為直徑的圓上，求出圓的方程，結合橢圓求出，進而求得，即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意可得，設，由，可得點在以為直徑的圓上，又原點為圓上的弦的中點，所以圓心在的垂直平分線上，可得圓心在軸上，所以，又，可得，故圓心坐標為，半徑為，所以圓的方程為，將代入結合，可得，所以，則，所以該橢圓的離心率為.故答案為：.24．（2022·浙江·杭十四中高三階段練習）已知直線：與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點.則_________.【答案】4【詳解】試題分析：由，得，代入圓的方程，整理得，解得，所以，所以．又直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．【考點】直線與圓的位置關系【技巧點撥】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系的非常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決．25．（2022·浙江嘉興·高三階段練習）已知點，點在曲線上運動，點在曲線上運動，則的最小值是_____．【答案】【分析】作出圖形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長為，所以，雙曲線的左、右焦點分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當且僅當為射線與圓的交點，且時，等號成立，故的最小值是.故答案為：.26．（2022·浙江省蒼南中學高三階段練習）已知橢圓，點，過點的直線與橢圓相交于兩點，直線的斜率分別為，則的最大值為______.【答案】【分析】從直線斜率為和不為兩個方面取討論.斜率為時，分別為橢圓左、右頂點，可直接求;斜率不為時，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系、直線的斜率公式與直線方程化簡的式子，通過分析的正負，再根據(jù)基本不等式即可得到的最值.【詳解】當直線的斜率為時，分別為橢圓左、右頂點，則當直線的斜率不為時，設直線的方程為，點，由消去，整理得..當時，，當且僅當，即時取得等號.此時，.當時，，當且僅當，即時取得等號.此時，.綜上可知，的最大值為：故答案為：1.27．（2022·浙江·紹興魯迅中學高三階段練習）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是___________.（寫出符合條件的一個方程即可）【答案】【分析】由題意設直線方程為，利用直線與單位圓和曲線均相切，聯(lián)立直線與曲線方程，消去變量后整理為關于的一元二次方程，利用判別式為0，求得關系，解出的值，可得直線方程.【詳解】解：由題可知，直線的斜率存在，設直線方程為，單位圓的方程為：所以則，整理得：所以則，整理得：所以，解得則則直線的方程為：.故答案為：.28．（2022·浙江·高三開學考試）已知雙曲線的右焦點為，右頂點為，以坐標原點為圓心，過點的圓與雙曲線的一條漸近線交于位于第一象限的點，若直線的斜率為，則雙曲線的漸近線方程為________．【答案】【分析】先由題意得到圓的方程，再與雙曲線的漸近線聯(lián)立得到的坐標，利用的坐標求出直線的斜率，得到，繼而求出雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由題意得圓的方程為，雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為，聯(lián)立方程，解得點的坐標為，有，又由直線的斜率為，可得，有，故雙曲線的漸近線方程為．故答案為：29．（2022·浙江·高三開學考試）已知，是雙曲線的左、右焦點，A，B分別在雙曲線的左右兩支上，且滿足（為常數(shù)），點C在x軸上，，，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質，結合角平分線的性質、雙曲線的定義、余弦定理、雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】解析：，∵，所以∴，∴，設，則．由可知，平分，由角分線定理可知，∴，∴，，，由雙曲線的定義知，，∴，即①，，∴