專題38不同函數增長的差異1.三種函數模型的性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數增函數增函數圖象的變化趨勢隨x增大逐漸近似與y軸平行隨x增大逐漸近似與x軸平行保持固定增長速度增長速度①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會遠遠大于y＝kx(k>0)的增長速度，y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢；②存在一個x0，當x>x0時，有ax>kx>logax2.幾種函數模型的增長差異(1)當a＞1時，指數函數y＝ax是增函數，并且當a越大時，其函數值的增長就越快．(2)當a＞1時，對數函數y＝logax是增函數，并且當a越小時，其函數值的增長就越快．(3)當x＞0，n＞1時，冪函數y＝xn顯然也是增函數，并且當x＞1時，n越大，其函數值的增長就越快．(4)一般地，雖然指數函數y＝ax(a>1)與一次函數y＝kx(k>0)在區間[0，＋∞)上都單調遞增，但它們的增長速度不同，隨著x的增大，指數函數y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，即使k的值遠遠大于a的值，y＝ax(a>1)的增長速度最終都會超過并遠遠大于y＝kx的增長速度．盡管在x的一定變化范圍內，ax會小于kx，但由于指數函數y＝ax(a>1)的增長最終會快于一次函數y＝kx(k>0)的增長，因此，總會存在一個x0，當x>x0時，恒有ax>kx.(5)一般地，雖然對數函數y＝logax(a>1)與一次函數y＝kx(k>0)在區間(0，＋∞)上都單調遞增，但它們的增長速度不同．隨著x的增大，一次函數y＝kx(k>0)保持固定的增長速度，而對數函數y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢．不論a的值比k的值大多少，在一定范圍內，logax可能會大于kx，但由于logax的增長慢于kx的增長，因此總會存在一個x0，當x>x0時，恒有logax<kx.3.指數函數、對數函數和冪函數的增長差異一般地，在區間(0，＋∞)上，盡管函數y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢，總會存在一個x0，當x＞x0時，就有logax＜xn＜ax.題型一幾類函數模型增長差異的比較1．下列函數中，增長速度最快的是()A．y＝2019x B．y＝2019C．y＝log2019x D．y＝2019x[解析]指數函數y＝ax，在a>1時呈爆炸式增長，并且隨a值的增大，增長速度越快，應選A.2．下列函數中，隨x的增大，增長速度最快的是()A．y＝1 B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3x[解析]結合函數y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的圖象可知(圖略)，隨著x的增大，增長速度最快的是y＝3x.3．當a>1時，有下列結論：①指數函數y＝ax，當a越大時，其函數值的增長越快；②指數函數y＝ax，當a越小時，其函數值的增長越快；③對數函數y＝logax，當a越大時，其函數值的增長越快；④對數函數y＝logax，當a越小時，其函數值的增長越快．其中正確的結論是()A．①③B．①④C．②③ D．②④[解析]結合指數函數及對數函數的圖象可知①④正確．故選B.4．下面對函數f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝－2x在區間(0，＋∞)上的遞減情況說法正確的是()A．f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越慢B．f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度越來越快C．f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度不變D．f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越快[解析]觀察函數f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝－2x在區間(0，＋∞)上的圖象(如圖)可知：函數f(x)的圖象在區間(0,1)上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢；在區間(1，＋∞)上，遞減較慢，且越來越慢，同樣，函數g(x)的圖象在區間(0，＋∞)上，遞減較慢，且遞減速度越來越慢；函數h(x)的圖象遞減速度不變．5．函數y＝x2與函數y＝xlnx在區間(0，＋∞)上增長較快的一個是________.[解析]當x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快．6．四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數據如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關于x呈指數函數變化的變量是________．[解析]以爆炸式增長的變量呈指數函數變化．從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關于x呈指數型函數變化．故填y2.7．以固定的速度向如圖所示的瓶子中注水，則水面的高度h和時間t之間的關系是()[解析]水面的高度增長得越來越快，圖象應為B．8．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()[解析]小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.9．生活經驗告訴我們，當水注入容器(設單位時間內進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應________；B對應________；C對應________；D對應________．[解析]A容器下粗上細，水高度的變化先慢后快，故與(4)對應；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應與(1)對應；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的變化為：C容器快，與(3)對應，D容器慢，與(2)對應．題型二指數函數、對數函數、冪函數、一次函數模型的比較1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當2<x<4時，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1[解析]在同一平面直角坐標系內畫出這三個函數的圖象(圖略)，在區間(2,4)內，從上到下圖象依次對應的函數為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.2．下列各項是四種生意預期的收益y關于時間x的函數，從足夠長遠的角度看，更為有前途的生意是___．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.[解析]結合三類函數的增長差異可知①的預期收益最大，故填①.3．當2<x<4時，2x，x2，log2x的大小關系是()A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x[解析]解法一：在同一平面直角坐標系中分別畫出函數y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在區間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖象，所以x2>2x>log2x.解法二：比較三個函數值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，經檢驗易知選B.4．某地區植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數y公頃關于年數x的函數關系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x[解析]用排除法，當x＝1時，排除B項；當x＝2時，排除D項；當x＝3時，排除A項．5．四人賽跑，假設他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時間x(x>1)的函數關系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數關系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[解析]顯然四個函數中，指數函數是增長最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數關系是f4(x)＝2x，故選D.6．某林區的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經過y年，則函數y＝f(x)的圖象大致為()ABCD[解析]設該林區的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函數y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.7．某地為加強環境保護，決定使每年的綠地面積比上一年增長10%，那么從今年起，x年后綠地面積是今年的y倍，則函數y＝f(x)的大致圖象是()[解析]設今年綠地面積為m，則有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故選D．8．某工廠8年來某種產品的總產量C與時間t(年)的函數關系如圖所示．以下四種說法：①前三年產量增長的速度越來越快；②前三年產量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產品停止生產；④第三年后產量保持不變．其中說法正確的序號是________．[解析]由t∈[0,3]的圖象聯想到冪函數y＝xα(0<α<1)．反映了總產量C隨時間t的變化而逐漸增長但速度越來越慢．由t∈[3,8]的圖象可知，總產量C沒有變化，即第三年后停產，所以②③正確．9．已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿足關系y＝a·0.5x＋b，現已知該廠今年1月、2月生產該產品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產品的產量為________萬件．[解析]∵y＝a·0.5x＋b，且當x＝1時，y＝1，當x＝2時，y＝1.5，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×0.5x＋2.當x＝3時，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬件)．10．畫出函數f(x)＝eq\r(x)與函數g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關系．[解析]函數f(x)與g(x)的圖象如圖所示．根據圖象易得：當0≤x<4時，f(x)>g(x)；當x＝4時，f(x)＝g(x)；當x>4時，f(x)<g(x)．11．函數f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數．(2)結合函數圖象，判斷f(6)，g(6)的大?。甗解析](1)C1對應的函數為g(x)＝x3，C2對應的函數為f(x)＝2x.(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2.由圖可知g(6)>f(6)．12．函數f(x)＝2x和g(x)＝2x的圖象如圖所示，設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數；(2)結合函數圖象，判斷feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))與geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f(2019)與g(2019)的大?。甗解析](1)C1對應的函數為g(x)＝2x，C2對應的函數為f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，從圖象上可以看出，當1＜x＜2時，f(x)＜g(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))；當x＞2時，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．13．函數f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據函數的增長差異指出曲線C1，C2分別對應的函數；(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)．[解析](1)C1對應的函數為g(x)＝0.3x－1，C2對應的函數為f(x)＝lgx.(2)當x<x1時，g(x)>f(x)；當x1<x<x2時，f(x)>g(x)；當x>x2時，g(x)>f(x)；當x＝x1或x＝x2時，f(x)＝g(x)．14．函數f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對應的函數，并比較三個函數的增長差異(以1，a，b，c，d，e為分界點)．[解析]由指數爆炸、對數增長、冪函數增長的差異可得曲線C1對應的函數是f(x)＝1.1x，曲線C2對應的函數是h(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))，曲線C3對應的函數是g(x)＝lnx＋1.由題圖知，當x<1時，f(x)>h(x)>g(x)；當1<x<e時，f(x)>g(x)>h(x)；當e<x<a時，g(x)>f(x)>h(x)；當a<x<b時，g(x)>h(x)>f(x)；當b<x<c時，h(x)>g(x)>f(x)；當c<x<d時，h(x)>f(x)>g(x)；當x>d時，f(x)>h(x)>g(x)．15．某國2016年至2019年國內生產總值(單位：萬億元)如下表所示：年份2016201720182019x(年份代碼)0123生產總值y(萬億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數圖象，猜想y與x之間的函數關系，近似地寫出一個函數關系式；(2)利用得出的關系式求生產總值，與表中實際生產總值比較；(3)利用關系式預測2033年該國的國內生產總值．[解析](1)畫出函數圖象，如圖所示．從函數的圖象可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，設所求的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)．把直線經過的兩點(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.∴函數關系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函數關系式計算出2017年和2018年的國內生產總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844(萬億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬億元)．與實際的生產總值相比，誤差不超過0.1萬億元．(3)2033年，即x＝17時，由(1)得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276，即預測2033年該國的國內生產總值約為19.7276萬億元．題型三函數模型的選擇問題1．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時，應分別選擇________方案．[解析][將投資數分別代入甲、乙、丙的函數關系式中比較y值的大小即可求出．答案乙、甲、丙2．在某實驗中，測得變量x和變量y之間對應數據，如表．x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00則x，y最合適的函數是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]根據x＝0.50，y＝－1.01，代入計算，可以排除A；根據x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B、C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意．故選D.3．某人對東北一種松樹的生長進行了研究，收集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關數據，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關系，你認為哪個符合？并預測第8年的松樹高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7[解析]據表中數據作出散點圖如圖：由圖可以看出用一次函數模型不吻合，選用對數型函數比較合理．將(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．當t＝8時，h＝log3(8＋1)＝2，故可預測第8年松樹的高度為2米．4．某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且資金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？[解析]借助工具作出函數y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求．5．蘆薈是一種經濟作物，可以入藥，有美容、保健的功效．某人準備栽培并銷售蘆薈，為了解行情，進行市場調研．從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/千克)與上市時間t(單位：天)的數據情況如下表：上市時間t50110250種植成本Q15.010.815.0(1)根據表中數據，從下列選項中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數式：①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝alogbt；(2)利用你選擇的函數，求蘆薈種植成本最低時的上市時間及最低種植成本．[解析](1)由表中所提供的數據可知，反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是常數函數，故用函數Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個來反映時都應有a≠0，而上面三個函數均為單調函數，這與表格提供的數據不符合，所以應選用二次函數Q＝at2＋bt＋c進行描述．將表格所提供的三組數據分別代入函數Q＝at2＋bt＋c，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15.0＝2500a＋50b＋c，,10.8＝12100a＋110b＋c，,15.0＝62500a＋250b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2000)，,b＝－\f(3,20)，,c＝\f(85,4).))所以反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數為Q＝eq\f(1,2000)t2－eq\f(3,20)t＋eq\f(85,4).故選②.(2)當t＝150(天)時，蘆薈種植成本最低，為Q＝eq\f(1,2000)×1502－eq\f(3,20)×150＋eq\f(85,4)＝10(元/千克)．6．某債券市場發行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元；C種面值為100元，但買入價為97元，一年到期本息和為100元．作為購買者，分析這三種債券的收益，如果只能購買一種債券，你認為應購買哪種？[解析]A種債券的收益是每100元一年到期收益3元；B種債券的半年利率為eq\f(51.4－50,50)，所以100元一年到期的本息和為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(51.4－50,50)))2≈105.68(元)，收益為5.68元；C種債券的利率為eq\f(100－97,97)，100元一年到期的本息和為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(100－97,97)))≈103.09(元)，收益為3.09元．通過以上分析，購買B種債券．7．某工廠生產某種產品，每件產品的出廠價為50元，其成本價為25元，因為在生產過程中平均每生產一件產品有0.5立方米污水排出，為了凈化環境，工廠設計兩套方案對污水進行處理，并準備實施．方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費2元，并且每月排污設備損耗費為30000元；方案二：工廠將污水排到污水處理廠統一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費，問：(1)工廠每月生產3000件產品時，你作為廠長，在不污染環境，又節約資金的前提下應選擇哪種方案？通過計算加以說明；(2)若工廠每月生產6000件產品，你作為廠長，又該如何決策呢？[解析]設工廠每月生產x件產品時，選擇方案一的利潤為y1，選擇方案二的利潤為y2，由題意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)當x＝3000時，y1＝42000，y2＝54000，∵y1<y2，∴應選擇方案二處理污水．(2)當x＝6000時，y1＝114000,y2＝108000，∵y1>y2，∴應選擇方案一處理污水．8．某鞋廠從今年1月份開始投產，并且前四個月的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產品質量好，款式受歡迎，前幾個月的產品銷售情況良好．為了使推銷員在推銷產品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產量．以這四個月的產品數據為依據，用一個函數模擬產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數有三