專題01代數計算問題（實數、整式、分式、二次根式）

題型解讀｜模型構建｜真題強化訓練｜模擬通關試練

代數式的計算通常出現在各地市的中考大題第1題，分值在5-10分左右，主要考查實數的計算、整式的運

算與化簡求值、分式的混合運算與化簡求值、二次根式的計算等，題目為基礎題，比較容易得分，學生需

要牢記相關易錯點、公式和口訣，避免出現低級的計算錯誤。

模型01實數的計算

考｜向｜預｜測

1.實數的計算一般為解答題第1題：

2.涉及到的知識點有：零次冪、-1的奇偶次冪、數的乘方、負整數指數冪、絕對值、開方運算、特殊角的三

角函數值等，一般為3-5個知識點的組合：

3.乘方、負整數指數冪涉及的一般為絕對值小于5的數字，開方運算涉及的一般為100以內的數字.

答｜題｜技｜巧

1.實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以

進行開方運算，其中正實數可以開平方．

2.在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，

有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．

3.實數運算的“三個關鍵”

①運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角

函數值的計算以及絕對值的化簡等．

②運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，

1

無論何種運算，都要注意先定符號后運算．

③運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．

4.常見的公式及易錯點：

1

（1）負整數指數冪：am（m為正整數）；

am

（2）零指數冪：a01(a0)

（3）特殊角的三角函數值：

123

sin30，sin45，sin60，

222

321

cos30，cos45，cos60，

222

3

tan30，tan451，tan603．

3

11

（4）常見的易錯點：224,(2)24,22,(2)2

44

12025(1)20251，120241,(1)20241

（2024?濟南）計算：．

01?1

9?(??3.14)+(4)+|3|?2???30°

1．（2024?樂山模擬）計算：．

01?1

(2024??)+|3?1|?(2)+12

2．（2024?五華區校級模擬）計算：．

01?1

9?2???45°?(1??)+(3)+|?2|

3．（2024?甘肅二模）計算：．

1?10

9?(3)+???60°?(??2024)

4．（2024?荷塘區校級模擬）計算：．

1?112

2???60°+|3?2|+(2022)?2

2

5．計算：

（1）；（2）．

33

0231

27+?8?12

(3)?(?7)+(9)?4

6．計算：

（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）；（2）．

3

221

(?6)×(3?2)?8

模型02整式的混合運算與化簡

考｜向｜預｜測

1.常考的形式有直接化簡整式；先對整式化簡，再代人字母的值求整式的值：；給出解題過程，尋找過

程中的錯誤并寫出正確的結果；出現的位置一般為解答題的第1或第2題：

2,題目必考乘法公式，還會涉及單項式乘多項式、多項式乘多項式等，涉及1個字母或2個字母：

3.代值時：除直接給出字母的值，還會結合實數的運算、方程（組）等求出字母的值，還可能會涉及整體代

人法

答｜題｜技｜巧

1.有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似．

2.“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題，此時

應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來．

3.整式的化簡求值：先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值．

有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似.

4.常用的乘法公式：

2

（1）完全平方公式：aba22abb2；

（2）平方差公式：ababa2b2．

（2024?甘肅）先化簡，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．

3

1．（2024?連州市二模）化簡：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2．

2．（2024?鎮海區校級三模）化簡：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．

小明的解答如下：

解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．

小明的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答．

3．（2024?北戴河區一模）已知多項式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．

（1）當x＝0時，求P的值；

（2）若x為整數，試說明多項式P能被5整除．

4．（2024?城中區校級三模）求代數式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|0．

+?+?=

5．（2024?城中區校級二模）先化簡，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，

y＝﹣1．

6．（2024?北京模擬）已知x2+2x﹣1＝0，求代數式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．

模型03分式的運算及化簡

考｜向｜預｜測

1.常考的形式有兩種：給出分式，直接化簡求結果；給出分式化簡的過程，根據題意補全過程或尋找

4

解題過程中的錯誤并寫出正確的化簡結果；先化簡分式再由字母或式子的值進行求解

2.題目一般為2-3項的混合運算，涉及1個字母或2個字母，字母的指數一般不超過2，字母的系數為10

以內的有理數：

3.解題過程中涉及的運算有：分式的加減乘除、通分、約分、去括號法則等，分子或分母為多項式時，還會

涉及因式分解。

答｜題｜技｜巧

1.分式的混合運算，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號

的先算括號里面的．最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．

分式的混合運算，一般按常規運算順序，但有時應先根據題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算．

2.分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果

要化成最簡分式或整式．

（2024?哈爾濱）先化簡，再求代數式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．

12??1

2

(?+1??+2?+1)÷?+1

1．（2025?泗洪縣一模）先簡化，再求值：，其中．

2?1??1

(2?)÷

??4?+2??2?=3+1

2．（2024?西城區校級模擬）先化簡，再求值：，其中x＝5．

2

2??6?+9

2

(1???1)÷???

3．（2024?深圳模擬）先化簡，再求值：，其中a＝1．

2

2???4?+4

(?+2?1)÷?+2

4．（2024?平江縣二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．

2

21???

?2

(?+1?)÷?+2?+1

5．（2024?朝陽區一模）已知x+2y+2＝0，求代數式（x）?的值．

2

4?2?

????2?

5

6．（2024?大余縣二模）如圖是學習了分式混合運算后，甲，乙兩名同學解答一道題目中第一步的做法，選

擇其中一名同學的做法，完成解答過程．

計算：

22

3????1

甲同學(??1??+1)?2?乙同學

解：原式．解：原式

2

3?(?+1)?(??1)??13??(?+1)(??1)

=[?]?

我選擇：=[(??1)(同?+學1)?(??1)(?+1)]?2???1?+12?

7．（2024?開封二模）化簡：，下面是甲、乙兩同學的部分運算過程：

2

????1

(?+1+??1)??解：原式＝

[]?

2

?(??1)?(?+1)??1

+?

(?+1)(??1)(?+1)(??1)?

解：原式??

22

???1???1

=+?

?+1???1?

（1）甲同學解法的依據是，乙同學解法的依據是；（填序號）

①等式的基本性質；

②分式的基本性質；

③乘法分配律；

④乘法交換律．

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．

模型04二次根式的計算

考｜向｜預｜測

二次根式的計算主要考查二次根式的混合運算，常結合乘法公式、零指數冪、整數指數冪、特殊角的三角

函數進行綜合考查。

答｜題｜技｜巧

二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應注

6

意以下幾點：

①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．

③二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．

④在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往

能事半功倍．

（2024?甘肅）計算：．

3

18?12×2

1．（2024?甘州區二模）計算：4（）2．

11

+

2×23?3+23?2

2．（2024?臨渭區三模）計算：．

1

27?2×6+45÷5

3．（2024?浙江模擬）先化簡，再求值：，其中a2．

2(?+5)(??5)??(??4)+14=6?

4．（2024?青神縣模擬）計算：．

1?2302

|3?2|+(?)?(2022?)+

223+1

5．計算：．

2

(5?1)?(3+2)(3?2)

6．計算：

（1）；

2

（2）(33?1)(33+1)?(23?．1)

127+12

(212?)×6?

33

7

1．（2024?北京）計算：．

0

(??5)+8?2???30°+|?2|

2．（2024?青海）計算：tan45°+π0﹣||．

18??2

3．（2024?吉林）先化簡，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．

?=3

4．（2024?重慶）計算：

（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；

（2）（1）．

2

2??4

+2

??2÷??4?+4

5．（2024?濰坊）（1）計算：；

3

1?2

（2）先化簡，再求值：?8+(2)?|?，3其|中．

3?+2

(?+1???1)÷??1?=3+2

6．（2024?西寧）先化簡，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a滿足a2﹣4a+3＝0．

﹣

7．（2024?山西）（1）計算：（﹣6）（）2+[（﹣3）+（﹣1）]；

11

×?

（2）化簡（）．32

11?+2

+÷2

??1?+1??1

8．（2024?廣安）先化簡（a+1），再從﹣2，0，1，2中選取一個適合的數代入求值．

2

3?+4?+4

???1÷

??18

9．（2024?甘南州）先化簡，再求值：，且x滿足﹣2≤x≤2，取一個值即

22

?+4?+4??44

可．2?2÷(+1)

?+2???4?+4??2

10．（2024?煙臺）利用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下：，若m是其顯示結

果的平方根，先化簡：（），再求值．

?7??44?2?

+2÷

??39???+3

11．（2024?綿陽）（1）計算：；

012

（2）先化簡，再求值：?+28+，2其|1中????45°|?．(?3)

2

1??1

(1+?)÷??=2+1

12．（2024?北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代數式的值．

3(??2?)+3?

22

??2??+?

13．（2024?淄博）化簡分式：，并求值（請從小宇和小麗的對話中確定a，b的值）

22

???1????

22+

??2??+????

9

14．（2024?泰安）（1）計算：；

1?22

（2）化簡：2??．?60°+(2)?|?12|+(?3)

2

2??1??1

(???)÷?

1．（2024?茂南區校級一模）計算：．

201?1

(?2)?9+(2?1)+(3)

2．（2024?羅湖區校級模擬）計算：．

0

2???30°?(??2024)+|3?2|

3．（2024?湘陰縣二模）計算：．

1?10

|?3|?2???60°+(4)+(2023??)

4．（2024?渭源縣模擬）計算：．

1?20

|1?2|+(2)?2???45°+(??3.14)

﹣

5．（2024?鄲城縣四模）（1）計算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（）1；

1

2

（2）化簡：（2x﹣1）﹣（2x+3）（2x﹣3）．?3

6．（2024?婁星區校級二模）先化簡，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，．

1

?=?2

7．（2024?南充模擬）化簡并求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b），其中b＝﹣1．

8．（2025?閔行區一模）計算：．

4?10

?(???30°)+|????45°|+?

1+3

10

9．（2024?甘州區二模）計算：4（）2