第07講直線的傾斜角與斜率目錄TOC\o"1-2"\h\u13510第07講直線的傾斜角與斜率 120693一、直線的傾斜角與斜率 225072基礎知識 223927考點1求直線傾斜角 2585考點2求直線斜率 38654考點3由直線的傾斜角或斜率求參數 323744考點4由直線與線段的相交關系求斜率范圍 421781二、兩條直線平行和垂直的判定 520357基礎知識 522809考點5兩條直線平行的判定 510277考點6兩條直線垂直的判定 613401考點7直線平行、垂直的判定在幾何中的應用 611681三、課后作業 82641單選題 829722多選題 927363填空題 93852解答題 9

一、直線的傾斜角與斜率基礎知識1．直線傾斜角(1)傾斜角的定義①當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．②當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2．直線斜率(1)直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率與傾斜角的對應關系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0(3)過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【注】(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系．(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據數形結合思想，利用斜率公式求解．考點1求直線傾斜角【例1.1】（23-24高二上·河南洛陽·期末）直線3x+y?2=0A．60° B．90° C．120° D．150°【例1.2】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知A?2,0，B?5,3，則直線AB的傾斜角為（A．π4 B．π3 C．2π【變式1.1】（23-24高二上·浙江嘉興·期末）直線x=3的傾斜角為（

A．0 B．π6 C．π3 【變式1.2】（23-24高二上·湖北武漢·期末）若直線l的斜率為k，且k2=3，則直線l的傾斜角為（A．30°或150° B．60°或120° C．45°或135° D．90°或180°考點2求直線斜率【例2.1】（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知點A1,3,B?2,2，則直線ABA．－3 B．?13 C．1【例2.2】（23-24高二上·北京豐臺·期末）已知直線l經過A(?1,0)，B0,3兩點，則直線l的傾斜角為（A．30° B．60° C．120° D．150°【變式2.1】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知直線l的傾斜角α滿足120°<α≤135°，則l的斜率A．?1,?33 C．?3,?1 【變式2.2】（22-23高二上·山東淄博·階段練習）直線l1經過兩點A0,0，B1,3，直線l1的傾斜角是直線lA．32 B．33 C．3 考點3由直線的傾斜角或斜率求參數【例3.1】（23-24高二上·河南鄭州·期末）經過兩點A2,m,B?m,4的直線l的傾斜角為135°，則A．-2 B．1 C．3 D．4【例3.2】（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知斜率為2的直線經過點M2,m,N1,2，則m=A．2?2 B．2+2 C．1【變式3.1】（23-24高二上·江蘇無錫·期末）已知直線l的傾斜角為π3，且直線經過P(?2,3)，Q(?m,0)兩點，則實數mA．2 B．3 C．4 D．5【變式3.2】（23-24高一·江蘇無錫·期末）已知經過兩點(5,m)和(m,8)的直線的斜率大于1，則m的取值范圍是A．(5,8) B．(8,+∞) C．(132,8)考點4由直線與線段的相交關系求斜率范圍【例4.1】（23-24高二上·山東威海·期末）已知點A(?2?,?4)，B(?1?,?A．k∈(?∞?,?C．k∈(?∞?,?【例4.2】（2024高二·江蘇·專題練習）已知直線l:m+2x+m?1y+m?1=0，若直線l與連接A1,?2A．?π4,C．π4,3π【變式4.1】（2024高二·全國·專題練習）若直線l:y=kx?3與直線2x+3y?6=0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

A．π6,πC．π3,π【變式4.2】（23-24高二上·山西呂梁·階段練習）經過點P0,?1作直線l，若直線l與連接A1,?2，B2,1兩點的線段總有公共點，設l的傾斜角為α，l的斜率為kA．α∈0,π4C．k∈?1,1 D．

二、兩條直線平行和垂直的判定基礎知識1．兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示2．兩條直線垂直的判定圖示對應關系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【注】判斷兩條直線是否垂直時：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．考點5兩條直線平行的判定【例1.1】（23-24高二上·山西臨汾·階段練習）下列各對直線互相平行的是（

）A．直線l1經過點A0,1，B1,0，直線l2B．直線l1經過點A?1,?2，B1,2，直線l2C．直線l1經過點A1,2，B1,3，直線l2D．直線l1經過點A3,2，B3,?1，直線l2【例1.2】（23-24高二下·浙江麗水·期中）已知直線l1:(m+1)x+3y?1=0,l2:5x+(m?1)y?m+1=0，則“m=4A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1.1】（22-23高二上·遼寧鞍山·期末）直線2x+y+1=0和直線x+2y+1=0的位置關系是（

）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合【變式1.2】（23-24高二下·北京懷柔·開學考試）已知直線l1：ax?y?1=0，l2：ax+a+2y?1=0.若l1A．0或?3 B．?3 C．0 D．?1與0考點6兩條直線垂直的判定【例2.1】（22-23高二下·上海楊浦·期中）下列各組直線中，互相垂直的一組是（

）A．2x?3y?5=0與4x?6y?5=0 B．2x?3y?5=0與4x+6y?5=0C．2x?3y?5=0與3x?2y?5=0 D．2x?3y?5=0與6x+4y?5=0【例2.2】（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習）已知直線l1:mx?y?3=0,l2:m?2x?y+1=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式2.1】（22-23高二下·山東濟南·期末）直線l1:ax+y?1=0與直線l2A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合【變式2.2】（2024高二·全國·專題練習）若直線l1：ax+1?ay?3=0與直線l2：a?1x+2a+3y?2=0A．?3 B．1 C．0或?32 考點7直線平行、垂直的判定在幾何中的應用【例3.1】（23-24高二·全國·課后作業）已知A1,2，B5,0，（1）若A，B，C，D可以構成平行四邊形，求點D的坐標；（2）在（1）的條件下，判斷A，B，C，D構成的平行四邊形是否為菱形.【例3.2】（23-24高二·全國·課后作業）在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點按逆時針順序依次是O0,0，P1,t，Q1?2t,2+t，R?2t,2，其中【變式3.1】（23-24高一·全國·課后作業）已知四邊形ABCD的頂點B6,1，C3,3，【變式3.2】（23-24高二上·全國·課后作業）在平面直角坐標系xOy中，設三角形ABC的頂點分別為A0,a，Bb,0，Cc,0，點P0,p是線段AO上的一點（異于端點），設a,b,c,p均為非零實數，直線BP,CP分別交AC,AB于點E,F，若

三、課后作業單選題1．（23-24高二上·北京·期中）過?2,0和0,2兩點的直線的斜率是（）A．1 B．?1 C．π4 D．2．（23-24高二下·山西太原·階段練習）直線x+3y+πA．π6 B．π3 C．2π3．（2024·貴州貴陽·模擬預測）直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，則“α=β”是“tanα=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（23-24高二下·湖北·期中）已知點A1,?2,Bm,0，若直線AB與直線l:x+2y?1=0垂直，則實數m=A．?3 B．2 C．3 D．45．（23-24高二下·北京·期中）“a=2”是“直線2x+ay?1=0與直線ax+2y?2=0平行”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（23-24高二上·山東濰坊·期末）已知兩直線l1,l2的斜率分別為k1,k2，且k1A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直7．（2024高三·全國·專題練習）已知點A(0，3)，B(3，2)，直線l過點P1,1且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（

A．[－2，0)∪(0，12] B．(－∞，－1C．[－2，12] D．(－∞，－2]∪[18．（23-24高二下·江西宜春·階段練習）已知a>0，b>0，直線l1：a?1x+y?1=0，l2：x+2by+1=0，且l1⊥A．2 B．4 C．8 D．16多選題9．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（）A．任意一條直線都有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C．若一條直線的傾斜角為α，則該直線的斜率為tanD．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°10．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知直線l1:x+2y?2=0，直線l2A．直線l2可以與x軸平行 B．直線l2可以與C．當l1∥l2時，k=2 D．當l填空題11．（23-24高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標系xOy中，經過兩點A?m,6，B2,3m的直線傾斜角為45°，則實數m的值為12．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習）已知經過點A?2,0和點B1,3a的直線l1與經過點P0,?4和點Qa,?3a的直線l2解答題13．（23-24高二·全國·課后作業）分別判斷經過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．(1)C(?3,4),D(2,4)；(2)P(0,0),Q(?1,3(3)M(?3,2(4)E(7,0),Q(7,