第05講空間向量的應用（一）：直線、平面的位置關系目錄TOC\o"1-2"\h\u12003第05講空間向量的應用（一）：直線、平面的位置關系 113783一、空間中點、直線和平面的向量表示 217746基礎知識 25837考點1法向量 27110二、由空間向量研究直線、平面的平行關系 429965基礎知識 429525考點2證明線線平行 421013考點3證明線面平行 5316考點4證明面面平行 718690三、由空間向量研究直線、平面的垂直關系 92992基礎知識 926775考點5證明線線垂直 919008考點6證明線面垂直 1118069考點7證明面面垂直 123671四、課后作業 1424261單選題 147311多選題 159059填空題 159729解答題 16

一、空間中點、直線和平面的向量表示基礎知識1．空間中點、直線和平面的向量表示(1)空間中點的位置向量：如圖，在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點A.如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．(3)平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.【注】一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量.已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量.考點1法向量【例1.1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知點A1,0,0,B0,2,0,C0,0,3A．1,2,3 B．3,2,1 C．2,3,6 D．6,3,2【例1.2】（23-24高二上·浙江嘉興·期中）在空間直角坐標系O?xyz中，A?1,0,0，B1,2,?2，C2,3,?2，則平面ABCA．1,?1,0 B．1,?1,1 C．1,0,?1 D．0,1,1【變式1.1】（23-24高二上·河南·階段練習）已知點A1,2,3，B1,1,0，C0,1,1，則下列向量是平面ABCA．?1,3,?1 B．?1,?3,?1C．1,3,1 D．?1,3,1【變式1.2】（23-24高二下·江西撫州·階段練習）已知平面α內兩向量a=(1,1,1)，b=(0,2,?1)且c=ma+nb+(4,?4,1).若c為平面αA．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2

二、由空間向量研究直線、平面的平行關系基礎知識1．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.2．利用向量證明線線平行：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行：(1)證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線向量且直線不在平面內；(2)證明直線的方向向量可以用平面內兩個不共線向量表示且直線不在平面內；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內．4．證明面面平行：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明．考點2證明線線平行【例1.1】（2023高二·全國·專題練習）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,AA證明：B2【例1.2】（23-24高二·全國·課后作業）已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=3，點S、P在棱CC1、AA1上，且CS【變式1.1】（23-24高二上·全國·課后作業）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點，N為DE的中點，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2

【變式1.2】（22-23高二下·江蘇·課后作業）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：CE//MN.考點3證明線面平行【例2.1】（2024高二上·全國·專題練習）如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=12AP=2，D是AP的中點，E,F,G分別為PC,PD,CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，試用向量方法證明AP∥【例2.2】（2024高二上·全國·專題練習）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC,AB=1，AC=AA1=2,AD=CD=【變式2.1】（2023高二·全國·專題練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥MN，AB=2，AD=AP=4，M，N分別是BC，PD的中點.求證：MN∥平面PAB.

【變式2.2】（23-24高三上·云南昆明·階段練習）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF//AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點G是EF的中點．

(1)證明：AG⊥平面ABCD；(2)線段AC上是否存在一點M，使MG//平面ABF？若存在，求出MCAC考點4證明面面平行【例3.1】（23-24高二上·湖南株洲·期中）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，

(1)MN//平面CC(2)平面MNP//平面C【例3.2】（2023高一·全國·專題練習）如圖所示，正四棱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長1，側棱長4，AA1中點為

【變式3.1】（23-24高二·全國·課后作業）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，求證：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【變式3.2】（23-24高二上·天津薊州·階段練習）如圖，長方體ABCD?A1B1C1(1)求證：平面A1C1B(2)線段B1C上，是否存在點P，使得A1P

三、由空間向量研究直線、平面的垂直關系基礎知識1．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.2．證明兩直線垂直：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標法證明線面垂直：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標表示；②找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直：(1)常規法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．考點5證明線線垂直【例1.1】（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，下列正方體中，O為底面的中點，P為所在棱的中點，M、N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【例1.2】（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M，N分別是棱DDA．有且僅有1條 B．有且僅有2條C．有且僅有3條 D．有無數條【變式1.1】（2024高三·全國·專題練習）已知在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AA(1)EF⊥BD1且(2)EF//【變式1.2】（21-22高一下·四川成都·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=2，E為PB

(1)求證：PD∥平面ACE；(2)在棱PD上是否存在點M，使得AM⊥BD?若存在，求PMPD考點6證明線面垂直【例2.1】（2024高三·全國·專題練習）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，M、N、P分別是棱CC【例2.2】（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1=1，BC=2

(1)求該正三棱臺的表面積；(2)求證：DE⊥平面BC【變式2.1】（2024·重慶·模擬預測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E在棱DD1上運動，

(1)當E,F為中點時，證明：DF⊥平面ACE；(2)若DF⊥平面ACE，求DGDF的最大值及此時DE【變式2.2】（23-24高二上·全國·課后作業）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C(1)在B1B上是否存在一點P，使D1P⊥平面(2)在平面AA1B1B上是否存在一點N考點7證明面面垂直【例3.1】（2023高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且求證：平面AEF⊥平面PCD.【例3.2】（2023高二·全國·專題練習）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，

證明：平面CEF⊥平面ACC【變式3.1】（23-24高二上·新疆昌吉·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB,AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．證明：

(1)BE//平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PAD．【變式3.2】（23-24高三上·重慶沙坪壩·開學考試）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，三角形PAB為正三角形，且側面PAB⊥底面ABCD.E,M分別為線段AB,PD的中點.

(1)求證：PB//平面ACM；(2)在棱CD上是否存在點G，使得平面GAM⊥平面ABCD？若存在，請求出CGCD

四、課后作業單選題1．（23-24高二下·江蘇·單元測試）已知平面α上的兩個向量a→=2,3,1，b→=A．1,?1,1 B．2,?1,1C．?2,1,1 D．?1,1,12．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知直線l的方向向量為m=a,1,?2，平面α的一個法向量為n=?1,2,3，若直線l//平面α，則A．?7 B．2 C．?1 D．?43．（23-24高二上·江西九江·期末）若平面α外的直線l的方向向量為a→=1,0,?2，平面α的法向量為mA．l⊥α B．l//α C．a//m D．l與4．（23-24高二上·河南洛陽·期末）若平面α的法向量為n，直線l的方向向量為m，l?α，則下列四組向量中能使l//α的是（

）A．m→=(?1,0,1)，n→=(1,0,1) C．m→=(1,?2,1)，n→=(?2,1,?2) 5．（23-24高二下·湖南長沙·開學考試）如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足MN⊥l的是（

）A．

B．

C．

D．

6．（23-24高二上·北京石景山·期末）在空間直角坐標系O?xyz中，點A1,2,1,B?1,2,?1A．直線AB∥坐標平面xOy B．直線AB⊥坐標平面xOyC．直線AB∥坐標平面xOz D．直線AB⊥坐標平面xOz7．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）已知直線l是正方體體對角線所在直線，P,Q,R為其對應棱的中點，則下列正方體的圖形中滿足l⊥平面PQR的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）8．（23-24高三下·浙江·開學考試）在正方體ABCD?A1B1C1DA．平面B1EF∥B．平面B1EF⊥C．平面B1EF∥D．平面B1EF⊥多選題9．（23-24高二上·全國·課后作業）（多選）已知平面α內兩向量a=1,1,1,b=0,2,?1，且c=mA．m=?1 B．m=1 C．n=2 D．n=?210．（23-24高二上·江西贛州·期末）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，A．EF//平面A1B1C1C．EF⊥平面B1DF D