PAGE1PAGE2我們知道(a+b)2=a2+2ab+b23因此得到 方將公式中的b全部改為-b又得到差 上述兩個公式稱為完全立方式它們可以合寫為【例1】化簡：(x1)3xx23x3b3(a+b)(a+b)2-3ab=a3+ (a+b)a2-ab+

=a3+將立方和公式中的b全部改為-b得到立 (a-b)a2+ab+b2=a3-【例2a(1+a)(1-a)1+a+

1-a+

1-a+

=(1+a)1-a+a2(1-a)1+a+=1+

1-

=1-a6a-0(1+a)(1-a)1+a+

1-a+

≤3(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+2ca2【例3abc0，abbcca=-12(1)a2+b2+【解析】(1a2b2c2ab+cabbccaa4b4c4=a22+b22+c22(1a2b2+b2c2+c2a20a2b2c21a2b2c21．(2abbcca1a2b2b2c2c2a22abc(abc)=1 4abc0a2b2b2c2c2a2=142a4+b4+c4=1．20 (x+1)3-(x-=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+=6x2+x21x6x226(1x286x (x+1)3-(x-=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+=6x2+2 A. B. C. 若x+y+z=0則x3+y3+z3 A. B.x2y+y2z+C.x2+y2+ A=n+13，Bn3+1+6n>0A，B大小關系為 A.A BA CA D.(5-x)25+5x+x2= (a-b)(a+b)=a2-(a-b)a2+ab+b2=a3-(a-b)a3+a2b+ab2+b3=a4-可得到(ab)ann-1bb1yx2)3x3

= (n為正整數x=332x+

4x22+ -1 x

x=y=z

axbycz)2 §1.2因式分解就是將一個多項式化成幾個整式的積的形式是互逆變形．我們已學過兩種分解因式的方法我們知道形如x2+(p+q)x+pq的二次三項式它的 1圖1．2-1“十字相乘乘積相加方式建立聯系得到x2 (pq)xpqxpxq)2x27x32分23)

1×p+1×q=p+1.22125 - - 1×3+2×1=

1×1+2×3=

-

-圖1.2- 圖1.2- 圖1.2- 圖1.2-1251-12-3-7恰好等于一次項系數-7．由于(x3)(2x1)=2x27x+3從而2x2-7x+3=(x-3)(2x-十相法2x2+x- (2)-6a2+7a+2-3) -1

1.2當二次項系數為負時二次項系數分解成的兩個 -先把負號提到括號外面-6a27a5=

1.2-6a2-7a-

6a2-7a-512-7112x2+x-3=(x-1)(2x+(2因為-6a27a5-6a27a5)

6a2-7a-5-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-【解析】x2-xx2-x+1

-2=x2-x-

x2-x+

=(x-2)(x+xmxn+ym+yn它的各項并沒有公因式xy(mny(mn)．這時又有了公因式(mn)xmxn+ynxm+xn+ym+yn=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+x3-x2+x-x2+4(xy-1)+1x3x2x1x3-

+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x2x3x2x1x3(x-

-x2+

=xx2+

-x2+

=x2+x2+4(xy-1)+4y2=x2+4xy-4+4y2=x2+4xy+4y2-=(x+2y)2-4=(x+2y+2)(x+2y-先將多項式分組后分解因式的方法稱為分組分解法．用這種方法分解因式，=(x-1)x2+x+1+3(x-=(x-1)x2+x+40【解答】x32x2yxy22y3x2(x2yy2(x2yxx2-=(x-2y)(x+y)(x-所以(x2yxyxy00xz-2yz+1=z(x-2y)+1=對多項式4x2+2xyy2用分組分解法分解因式，下面分組正確的是 4x2+

-y+

4x2+2x-y2-4x2-

+2x-

4x2-

+(2x-要使二次三項式x2-6x+m在整數范圍內可分解，m為正整數那么m的取 A.2 把多項式2ab+1-a2-b2分解因式結果 (a+b-1)(b-a+ B.(a-b+1)(b-a+C.(a+b-1)(a-b+ D.(a-b+1)(a-b-m4+m2+1=m4+ m2+ ．4x2-x-3x2+2ax-x3-y3-x2y+2a2-b2+ab-2a+xyx-1時，x32x25x60x32x25x6分第一章測試題多項式-3y2-2yx+x2分解因式的結果 -(y+x)(3y+ C.-(y-x)(3y- 1 A. B.- C. D.±若多項式2x2+7x+m分解因式的結果中有因式x+3則此多項式分解因式 A.2x- B.2x+ C.x+ D.x-a+13a2a3a4+

+1+

A. B. C. 多項式4-x2-2xy-y2分解因式的結果 (2+x+y)(2-x- B.(2+x+y)(2-x+C.(1+x-y)(4-x- 3 A. B. C. D.-若8x3+12x2y2+6xy4+y6可分解為2x+ym3則m= 若關于x的二次三項式ax2+3x-9的兩個因式的和為3x則a= x2+x+1+1-4=1+x+ 1+x- ． 分解因式：(1)x35x26x；(2)4m3mx2x10x5x43x33x2x

a2-9x2+6xy-(a3x)2ay3xy)1求證：y第二章分式與根式分式運算與因式分解關系密切 ÷a+1a2-a+ a+a+2a+

a+1a2-a+ a+

a2-a+

×a+1=a+【例2】先化簡求值：

m2+

-

÷m+n m33m2n3mn2n3m57，n3．m3+m2nmn2n3

【解析】分式混合運算時需合理安排運算順序最后乘上的分式其分子是完全立方 2

(m+【解答】=(mn)2-mn×(mn)2×(mn)2(m=

m2+

-

×(m+

(m+

(m-=m2-2mn+n2×(m+(m+ m-nm+

(m-m+ 1

x2-3x+ x4-9x2+ =1所以x2-3x+1=1得x+1=4．x2-3x+x49x21x2+

-9=x+

2-11=16-11=2因 2x4-9x2+2

5=15x2+1=x+

- ++1+ c【解答】b+1111bc+11c1-1 所以(1b)1-111-1b+b11b+b ba-1abb0b1a10bba+1=b1 + + =1．ab+a+ bc+b+ ac+c+→ca可將其中一項變為另兩項1原式= + + ab+a+ a(bc+b+ ab(ac+c+= + + ab+a+ abc+ab+ abac+abc+= + + ab+a+ a+1+ =ab+a =1原式= + + ab+a+ bc+b+ b(ac+c+= + + bc+b+ bac+bc+= + + bc+b+ =bc+b =2

? 1xx+x

，1+

?繁分式可以通過適當的代數變換轉化成普通的分式．例如，11x+PAGE10PAGE11 =x xxx+x

x2+1+1- 11它們各分母的最簡公分母1+1-x

xy+y-

1-1-

21+1-

÷1-1-xy=x+1-x÷xy-1+xyxy2xy-1

2÷

x2+

-x-1+x．xx x

1-x-

x2+

-2x-2+x【解析】x+1x2+1=x+x

22 2xx+1a原式的形就變簡單了x【解答】x+1ax2+1=x+

1 2

a2-a+

a2-a+1

(a-原式aa-12-

÷a2-2a+1=a-x=a-1=x+1-x

a-

×a2-a+下列運算中錯誤的 A.a=ac(c≠ B.-a-b=- a+C.0.5a+

=5a+

D.x-y=y-0.2a-

2a-

x+ y+若x+1=4

x4+x2+A.A.B.C. D. a+1c+2aA.B.C. 化簡 1 x1-1-xa3a2a1

2

× 1-

a2-2a+

-1+1+10求證：a2b2c2ab 已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16求 + + 的值．zx+

xy+

yz+3個條件：把分母中的根號化去

=

=6×525×55 ；(2) x-

(x≠ x-

x+ -

x+

3x-3

3x+3(有理化因式)(2)題還可以將分子用平方差公式分解因式后進行約分(3題也可以將分子用立方和(差公式分

= 2+ =2+3=-(2+2-3)=-2-

(2-3)(2+

2-x+

(x-y)(x-(x+y)(x-

=(x-y)(x-y)=xx-x-

x- x+

(x+y)(x-y)=x-y．x+y

x-

x+

(3x)3-(3

(3x)3+(3

3x+3y

3x-3

3x+3=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3=23【例2】計算：123+(1+3)(3+

+ 5+27+ (5+7)(7+【解析】觀察分式的分子和分母(1+33+5123+5(5+7)+(73)=5273．因此可先將他們拆成兩項之和， 原式= + + + 1+ 3+ 5+ 7+= 1- + 3- + 5- (1+3)(1- (3+5)(3- (5+7)(5-+ 7- (7+3)(7-2=-1(1-3+3-5+5-7+7-22=-1(1-3)=2【例3】計算：1-x-1+ ÷2+x．1+x-

2-

x-(1-x- 原式=(1+x-1)(1-x-1)

2-

x-12+x=1-2x-1+x-1+2x-1= 1-x+

2-

2- 求1-2a+a2- a2-2a+1的值2+

a-

【解析】(a1)2|a =2-3<1所以2+(a-

(a-

|a-

-(a-原式a1+a

a-1

a(a-1)=(a-1)-a(a-1)=a-1

a(a-1)=a=2-3-1+2+3=【例5】已知(x+c)2+y2 2ab20

==【解答【證明因為(x+c)2+y2 2a(x+c)2+y2=2a a2-cx=a(x-c)2+a2c2x2a2y2a2a2c2

2 2 2

2 acbbxayababa2+b2【例6】已知a，b都是非負數并且1-a2 1-b2=ab求證：a1-b2b1-a2=A2B2ABA，B1a2×1b2ab1a2+b2=1．

1-

=1-

a1-b2+b1-

2=a21-

+b21-

+2ab1-b2a，ba1b2b1a20．a1b2b1a21．nxn=axan16an次方根用符號nan次方根用符號na表2-2±416=類比平方根與立方根的性質n次方根運算都限在實數范圍內．【例7】(1求-

注意正數的偶次方根一定有兩個 32

-243

-35=-3(2)±6-8)2=±626=【例8】(1x0|x|+4x423x3(2n2n2na2n|a|．2na2n-aa0．類似于二次根式的性質n(na)n=n為奇數時，nanan為偶數時，nan|a|a,ampamp=nam(a≥0)，nab=na?nb(a≥0,b≥na=na(a≥0,b>0)，nam=(na)m(a≥ n

n -aa2aa3，?aana1n

下列說法正確的 正數有一個偶次方 B.負數沒有偶次方C.負數有兩個奇次方 當a>0時，-ax3 A.x B.x- C.-x- D.-x把a-b(a≠b)分母有理化的結果 a+a-- B.aa-

a+b-2aba-ba+b-2b--1)101的7次方根是 -4)2的4次方根是 (- -5-計算-

1= ，1832= 已知a= = 求1-1 的值．3+2

3-2

b-

a-(a-b)3+2aa+b

3b-3化簡：

aa+b

a- 化簡：(1 a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)nn(a+b)na<b<0,n>n∈N?證明：a2+1 =a+1- ． (ab+ ab+1第二章測試題x-若分式x+y中的x，y的值都變為原來的3倍則此分式的x-3不 C.是原來的36D6計算a-

÷a+b的結果 aa-a

ba+b

a-

a+ba把a+b(a≠b)分母有理化的結果 baa-a-- B.aa-

a-ba+b+2b-下列式子錯誤的 (a)2= B.3a3=C.(na)n=a(n>1的整數 D.nan=a(n>1的整數x化簡 -|x|的結果 x- - D. A.a≥ B.a C.a Da 立方根是 化簡：

+ +2x+4x3

= x-

x+ x2+ x4+化簡 1x1+1+x

= 當x<0時，5x5+4x4+3x3= 若(x10)2+4y40yx10x+1-x-化簡：x1

x+1x2-當a= 時求a2+6-a+1+

2-

a-

我們已經學習了二元一次方程組及其解法,想是:二元一次方程組?一元一次方程.元法和加減消元法.消元的目的是把二元一次方程組化歸為一元一次方程在現實生活中,我們會遇到末知數不止兩個的方程,下面我們就來學習三元一次方程組.像 x+2y+5z=22,+2 這類方程組中含有三個末知數,含末知數的項的次數都是1,這樣的方程組叫做三元一次方程組.解三元一次方程組的基本思想與解二元一次方程組一致,消 消們會解的方程組:三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程.解三元一次方程組的基本方法有代人消元法和加減消元法.1x+2y+5z=22,③分別代入方程①②,得到只含y,z的二元一次方程組③分別代入方程①②,5y+z=126y+5z=22解得yz=把y2,z2代人方程①,得x2212,所以x【例2x+2y-z=3,轉化為二元一次方程組.+②,z,+2,z,從而得到二元一次方程組+②,5x4y3.④方程③2,得4x3y2.⑤xy=

5x+4y=4x+3y=把x=-y=2代人方程②,得-1+2×2-z=3,所以z=2x-y+3z=

本題含有三個末知數,只有兩個方程,方程①含有比例xay2a,z7ax,y,z三個末知數之間的關系,代入方程②即可求解.,設x=a,y=2a,z=代人方程②2a2a21a21a于是x=y=2,z=(第五章).雖然方程組形式上是兩個方程但方程①實際上隱含了兩個方程:2xy,7y2z.通過上面幾道例題,我們發現,三元一次方程組的解法仍是用代人法或加減法消元,化歸為二元一次方程組,再化歸為一元一次方程.實際上,消元是解一次方程組的主要方法.解一次方程組的消元“化歸”基本思想,可以推廣到“四元”“五元”解方程組2x+y-4z=1,若要使運算簡便,消元的方法應選取. A.先消去 B.先消去 C.先消去 2xyz5x+8y-z=

則x+y的值 A.14 B.2 C.- D.-3xy70,2x3y1,kx9有公共解,k A.6 B.5 C.4 4x=0,1,-1時,ax2+bx+c的值分別為5,6,0a b= ,c= x2yz2x+4y-z=解下列三元一次方程組①2x+y-z=②x:y:z=2:3:5x+y+z=100

則x:y:z= |ab1|+b2ac)2|2cb|0a,b,c的值4x-3y-6z= 2x2+3y2+ 求x2+5y2+7z2的一元二次方程ax2bxc0(a0)x 2=b2-4acx 因為a0,所以4a20.式子b24ac的值有以下三種情況①b2-4ac>這時b24ac0,x+

b2-4ac,

x=-b+b2-4ac,x=-b-b2-1②b2-4ac=

這時b24ac0由①式得x

0,22

2③b2-4ac<2

x1=x2=-b這時b2

<0,由①式得x+

0,而x取任何實數都不能使x+

20,因此方程無實數根2這說明根據b2-4ac的值的符號,我們可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情況.一般地,式子b24ac叫做方程ax2bxc0(a0)的根的判別式通常用希臘字母Δ表示它即Δb24ac.歸納起來,①Δ0?方程有兩個不相等的實數根Δ0?方程有兩個相等的實數根③Δ0?方程沒有實數根,②5x2=2(x-③8x2+(m+1)x+m-7=①x2+2x-1=Δ224-180,所以方程有兩個不相等的實數根②將原方程整理,可得5x2-2x+20=因為Δ-2)24520-3960,所以方程沒有實數根③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-m取何值,都有Δm15)20,所以方程有兩個實數根【例22x(k2)x2k2k1)x有兩個不相等的實數根,求k的范圍.,二次項系數k-2≠0.因為一元二次方程有兩個不相等的實數根,所以Δ>0.(k-2)x2+k=(2k-1)x可化為(k-2)x2-(2k-1)x+k=因為方程有兩個不相等的實數根,224k4

Δ=[-(2k-1)]-4k(k-2)=4k+1>且k

4所以k的取值范圍是k>-4

且k【例3:關于x的一元二次方程m21x22mx+m2數根,只要證Δ0即可m21

0Δ=-2m)2-4m2+

m2+

=-4m4+4m2+

=-4m2+2因為無論m取什么實數,都有m220,所以-4m2220,即Δ0.此一元二次方程m21x22mxm240沒有實數根【例4m為何值時,關于x的方程m2根

x2+2(m+1)x+1=0和m2-4≠0兩種情形討論m240,即m2時,2(m10,方程為一元一次方程,總有2m240m±2時要使方程m24x22(m1)x102數根,則Δ2(m1)]24m2

8m200,解得m52因此m2

且m2時,方程有實數根2綜合①②m2

時,方程有實數根x2+1=0,x+x=0,x+x-1=0,x-x=0中, A.1個 B.2個 C.3個 D.4個xax22x10中a0()有兩個相等的實數根 B.有兩個不相等的實數根C.沒有實數根 xax2bxc0(a0)中,ac異號, 有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根 x(m2)2x22(m1)x10有兩個不相等的實數根,m的取值范圍是若二次三項式3x2-4x+2k在實數范圍內總能分解成兩個一次因式的積,k不解方程,判別下列方程的根的情況③5x2+1-7x=①2x2+3x-4=xmx2(m2)x-1必有實數根xk21x22(k1)x10有實數根,k的取值ax2bxc0(a0x=-b±b24ac由方程的系數a,b,c決定根的值,而且反映了根與系數之間的聯系.本節我們進一步討論根與系數的關系.根據求根公式可知,當b2-4ac≥0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠的兩根為x=-b+b2-4ac,x=-b-b2-

x+x=-b+b2-4ac+-b-b2-4ac=-2b=-

axx=-b+b2-4ac?-b-b2-4ac=-b)2-b2-4ac=1

a因此,方程的兩個根1,2和系數a,b,c有如下關系x1+x2=-b,12=c 這個一元二次方程的根與系數的關系叫做韋達定理反過來,如果1,滿足x1+x2=-b,1=c,那么1,一定是方程ax2 bxc0(a0)的兩個根這就是韋達定理的逆定理.①如果方程x2+px+q=0的兩個根是1,2,那么x1+x2=-p,12=②以兩個數1,2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是x2-x1x2xx1x2=01求下列方程兩根的和與積①x2-5x-8=②3x2=1- 2x243x220ax2bxc≠0),直接應用韋達定理x1+x2=-b,12=

來求 x1x2-55,12-33x26x10x1x2-2,1213③x1+x2=--43=26=-22=- 【例25x22x150,求:①兩根的倒數和;②兩根的平方和,但是計算較繁.根據韋達定理,將代數式變形成念有x1+x2和x1x2形式的式子,可以筒化運算.51,2,根據韋達定理,有x1+x2=-2,12=-5 x+ - =①=

+x2

5-

=15②x2+x2=x+

2-2xx=-22-2×-3)=154

1 3k取何值時x3x22(3k1)x3k210為零;②有兩個互為相反數的實根;(3)兩根互為倒數.【解】要使方程有根,必須Δ=2(3k+1)]24×33k23-23

0,解得k,則xx0.xx=3k210,k=±31 1 因為±32k

時,方程有一個根為零 3,x1x20.x1x2=2(3k10,3k112k

時, 根,xx1.xx=3k211,k231 1 因為2332,而232,所以當k=2

時, 倒數3【例4使它的兩個根為-5和23,給出根與系數的關系可以構造出一元二次方程,但得到的一元二次方程不唯一,不過它們各次項的系數對應成比例.為了方便,一般設所求的方程為x2+px+q=0.3x2pxq0,-5+2-3× 因此x2+13x-1003x213x10 121,22x26x30的兩根,x2x2()12A.15 B.6 D.3x22x30()y2+5y-6= B.y2+5y+6=C.y2-5y+6= D.y2-5y-6=m,nx22x20020的兩實數根,3mmn3n的值是().--D.19964xm22x2(m2)x10的兩實根互為倒數,以方程x2-3x-1=0設1,2是方程2x2+4x-3=0的兩個根,利用根與系數的關系求下列各②x1+x2 ③x1-xax2bxc0,3:5,求證:=已知關于x的一元二次方程2x2+ax-2a+1=0,429,a的值4我們已經學過可化為一元一次方程的分式方程及其解法.本節學習可化為一元二次方程的分式方程的解法.【例1解方程4- =1. x-,首先要找這個分式方程的最簡公分母,然后方程兩邊同乘以最簡公分母,約去分母,使分式方程化為整式方程.x(x-1),4(x-1)-x=x(x-整理x24x4解得x1x2x=2時,x(x-1)=2(2-1)=2≠所以原方程的根是x=驗根的一般方法是:把整式方程的根代人最簡公分母,看結果是不是零,使最簡公分母為零的根是增根,必須舍去.為什么要檢驗呢?根據方程同解原理:方程兩邊都乘以不等于零的同一個數,所得方程與原方程同解.而我們在解分式方程時,方程兩邊同乘以最簡公分母,它是一個整式,當這個整式為零時,就不符合方程的同解原理要求,所得整式方程的根就不一定是原方程的根,因此解分式方程必須驗根.【例2解方程 -4x-5=1.x+ x2-x-,從而確定出最簡公分母是(x+2-(x2x3)x3(4x5x2x整理x22x8解得x142檢驗x-4x2時(x2x3所以原方程的根是x1=-42=

8x2+2xx2-

3x2-1= x+ 應先去分母整理后為一元四次方程結果較繁觀察方程x22xx2

互為倒數可以通過“換元”將方程化簡x2- x2+x22xy,則x21=1,8y+3x2- x2+ 8y,8y211y30y1=1,2=3.88y經檢驗y11,2=38y+311的根8yy1時,x22x1,去分母,整理,x2-2x112

x2+2x=x2-y=3時,x22x=3,去分母,整理, x2- 5x23,x315

5x2+16x+3=檢驗x1,x-3,x

分別代人原方程的分母,各分母都不為零 所以x11,23,x31 解下列方程2- =1; (2)2x2-6x=x 2x-

x-解下列方程x-1-1= x2-

x- - -2x-

=4x2-4x- 4x2-8x+ 1-解下列方程x+x+

+ xx+

+6=x2-3+3x=13 x2- §3.5像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=,x+1- =3這類根號x+內含有末知數2的方程叫做二次根式方程二次根式方程可以通過把方程的兩邊平方化為整式(或分式方程來解.因此解二次根式方程時必須把變形所得整式(或分式)方程的根,代人原方程進行檢驗.12x27xx2x2-7x=x2-4x+整理x23x4x14,x2檢驗:x4代人原方程,左邊=242742,右邊422,xx-1代人原方程右邊-3而左邊的算術平方根不可能是負數x-1是x=23x5-x2如果直接平方結果較繁一般把其中一個根式移到方程的右邊,使方程左右兩邊各含有一個根式.3x5=x2兩邊平方3x512x2x化簡x4=x兩邊再平方并整理,x2-9x+14=x122經檢驗,x2是增根;x7是原方程的根3x28x+x28x【分析】x28xx28x的算術平方根,如果直接平方,結果很繁.x2+8x=y,y的一元二次方程x28xy,x28xy2,y2y12y14,2當y=-4時 x2+8x=-4無解當y=3時 x2+8x=3,解得x1=-92=經檢驗,x1=-92=解下列方程

2x-2x+1= (2)x+x-3=解下列方程2x-5-x-3= 5x+4x+3= 解下列方程x-1-5= x+2 (2)x2+xx+ x-x2+x-2-4=§3.6x2y2=x-2y2+x+3y-10這類含有兩個末知數,并且含有末知數的項的2的整式方程叫做二元二次方程.由含有相同的兩個末知數的兩個二元二次方程或一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組叫做二元二解二元二次方程組就是求方程組中兩個方程的公共解.解二元二次方程組的基本思想是消元和降次,消元就是把二元化為一元,降次就是把二次降為一次,其目的本節內容主要解決簡單的二元二次方程組問題x2+y2= (【解由方程(2),得y=1- 把方程(3代人方程(1)x21x)2整理x2xx1=02=x0代人方程(3),yx1代人方程(3),yy1=1;y2=,其解法是先由二元一次方程出發,用含一個末知數的式子表示另一個末知數,再把這個式子代人二元二次方程,達到消元的目的,轉化為一元二次方程求解.

x2+2xy+y2=(1變形為(xy)21xy10y10分別與方程(2x24y28x24y28;組即可

x2+4y2= x2+4y2=分別解這兩個方程組,

1

,如果能把其中一個二元二次方程分解為兩個二元一次方程,就可以轉化為由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成

x2-1-y+2=01 (1是根式方程將其移項x21y2這樣方程組(1移項再兩邊平方x21y整理x2y3方程(3(2)x22x15x152x5代人方程(2),yx-3代人方程(2)yx=y=

y=6

分別代人原方程組檢驗,它們都是原方程組的解

x1=5,

y2=6.解下列方程組x2-y2=x2-4y2+x+3y+1=

解下列方程組x2+y2=x2-5xy+6y2=x2+y2-2x=x2+y2-2x=-13

解下列方程組x+2=

=(6題,6分,36分)12設1,2是方程2x2-8x+5=0的兩根則x2+x2的值是 12A. B. C. 下列方程中,有兩個相等的實數根的是 2y2+5= B.x2+5=2C.3x2-2x+2= D.3x2-26x+1=x24xy4y22x4y30轉化來的兩個二元一次方程為().x-2y=3,x-3y=- B.x-3y=3,x-2y=-C.x-2y=3,x-2y=- D.x-3y=3,x-3y=-方程組x+y=xy=-

x,y可以看成是一個一元二次方程的兩個根,()z2+3z-10= B.z2-3z+10=C.z2-3z-10= D.z2+3z+10=m,nx22x20020的兩個實數根,m23mn的值是().A. B. D.x2+2y2=

有一組實數解,m()A.- B. C. D.4x的一元二次方程ax22x10有實數根,a的取值范圍是已知方程x2-4x+m=0的一個根為2+3,則方程的另一根為 的值為 若2x2-5x+ -5=0,則2x2-5x-1的值是 2x2-5x+寫出一個一元二次方程,使它的根是方程2x2-6x+1=0的根的2倍,則這個一元二次方程可以是 解下列方程組3x-2y+5z=解下列方程

x2+y2=x2-4xy+3y2=xx2+x

2-x2+1-2= (2)x2-x2-3x+5=3x+xxx

- =kx+

只有一個解(x-

x2- 個),k..第四章函數是反映現實世界中變量間數量關系和變化規律的一種數學模型.在高中階段,我們知道,yax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線,4-1所示.4-a>a<y y x=-x=--b,4ac- -b,4ac- xb時，y取最小值xb時，y取最大值4ac-4ac-xb，yxxb，yxxb，yxxb，yx現在我們進一步從函數圖象及其變化的角度探討二次函數的一些問題1yax2bx10x3x2006時的函數值相等,x=2009時的函數值.4.11,Ax1,y0上縱坐標相同的兩個點,

yax2bxcy

11y0=ax2+bx+ 11 由(1(2ax2x2bxx0xxxxb

2y-ax2+bx+cx=-b,x=x1+x222圖象的對稱軸.反之,x=x1+x2為二次函數的圖象的對稱軸,21,2時的函數值相等.(請同學們自己證明用上述知識可解本題x3x2006時的函數值相等y=ax2bx10x=3+2006=2009. 2x=2009+0x2009x0時的函數值相等.x0時,y10,x2009時,y10.22y2x2bx,x1時,yx的增大而增大,y2x2bx圖像的對稱軸與增減性x1y2x2bx的拋物線開口向上,x4b1yx的增大而增大b-4因此bb-2.我們知道,二次函數的解析式有兩種形式一般式:y=ax2+bx+c(a≠頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中頂點坐標是求二次函數的解析式,a,b,ca,h,k的值.通常需要通過分析二次函數的圖象和性質,并運用待定系數法等才能解得.【例3】已知二次函數的圖象過點0(0-(25,求此二次函數的解析式,運用待定系數法來確定二次函數的解yax2bxc-

解得b因此,二次函數的解析式為y=2x2-x-【例4(-2,1)(0,1)x2求,再用二次函數的頂點式或一般式解決.-2(0,且頂點到x22x=-2+0-1-2)--2-2)時,y=a(x+1)2+2.因為函數圖象-2,a21a-1y--2x+同理--2)時,y3x26x因此,y-x22x1y3x26xA-4,1,B-1,2,C1,y3yx24x5三點,則1,2,3的大小關系是 )A.y1<y2< 已知二次函數y=-x2+2x,當-1<x<a時,y隨著x的增大而增大,則a的取值范圍為( ).A.a> B.-1<a≤ 已知二次函數y=ax2+bx+c,當x=m+1時的函數值與當x=1-時的函數值相等,則二次函數的圖象 )關于y軸對 B.關于y=1軸對C.關于x=1軸對 D.關于x=2軸對y=m22x22mx1(-1,3)m= 已知某二次函數的圖象過點為(-1,1),(1,1)(0,2),式2-18),它與x6,求此二次函數的解析式§4.2我們知道,ax2bxc0yax2bxc的圖x軸公共點的橫坐標.設Δ=b2-4ac,則當Δ>0時,ax2+bx+c=0x1x2,yax2bxcxx1,0x2,0;當Δ0時,ax2bxc0x1x2=-byax2bxcx-

,0;當Δ0時,ax2bxc0沒有實數根,yax2bxcx軸沒有公共y=ax2+bx+c(a≠0)xAx1,0,Bx2,0,1,2ax2bxc0的兩根,1,2

x1+x2=-b,12=c 因此y=ax2+bx+c=ax2+bx+c=ax2-x1+x2x+x1x2 ax-x1x-x2y=ax-

x-

是表示二次函數的一種解析式(兩根式),1,2次方程ax2bxc0的根)x軸的公共點,可轉化為討論相應的一元二次方程實數根的情況,于是可以利用一元二次方程的根的判別式.x2-x+a=0,Δ=1-4Δ14a0,a<4

時,二次函數y=x2-x+a的圖象與x有兩個公共點4Δ14a0,a=4

時,二次函數y=x2-x+a的圖象與x4Δ14a0,a>4

時,二次函數y=x2-x+a的圖象與x【例2(-30(0x2,求-30(0,所以可設二次函數為x2,-2)--2-2)時-2,-4a2,a122同理--2)時,-4a-2,a=12因此y=1x2x-3y1x2x+3 【例3】已知二次函數y=ax2+bx+c同時滿足下列條件:(1)對稱軸為x=(2)15;(3x軸有兩個交點,其橫坐標的立方17..條件(3可以聯系韋達定理解決.5,設二次函數的解析式y=a(x1)2+15.xax22axa150x1ax1x22,12=a+15ax3x3=x

33xxxx8-6(a15)17,a-

1 y-6(x1)215-6x212x函數y=-x2+x-1的圖象與x軸的公共點個數是 )A. B C 如圖,已知二次函數y=ax2+bx+c點P的橫坐標為4,圖象交x軸于點A(m,0)和點B, 且m>4,那么AB的長為 A.4+ B.C.2m- D.8- yxcxd4x(6,0)和0,則c= ,d= 二次函數y=-x2+4x+12的圖象與x軸交于A,B兩點,則A,B之間的距離為 求a的取值范圍,使得二次函數y=x2-ax+a-1的圖象與x有)已知某二次函數的圖象與x軸交于A(-B且過點C(2,4),

§4.3所謂平移變換,就是將一個圖形上的所有點,沿同一方向移動相同的距離得到在坐標平面內,可以從函數圖象中點的坐標變化來考察函數圖象的整體變化【例1y=(x+2y=(x-1)2y=x2的圖象變換關系4-x?--012?y=?41014?4-x?01?y=(x+?41014?4-x?-0123?y=(x-?41014?利用描點法畫出三個函數的圖象(圖4.3-y=x+1

yy=x2y=x-1-1 -2,4)yx2的圖象上時-24)和同樣的規律一般地,(a,b)yx2圖象上的任意一點,即b=b=[(a-1)+]2b=[(a+1)-,2由此,yx1)2yx2圖象上的所有點,x軸向負方向(左1個單位后得到的圖形;yx1)2的圖yx2圖象上的所有點,x軸向正方向(右1一般地,ya(xh)2(h0)yax2圖象上的所有點,x軸向負方向(左)h個單位后得到的圖形;y=a(x-h)2(h>0)y=ax2圖象上的所有點,x軸向正方向(右)平移h個單位后得到的圖形.類似地,還可以得到如下結論yax2k(k0)yax2圖象上的所有點,沿y軸向正方向(上)k個單位后得到的圖形;y=ax2k(k>0)的圖象可以看作是將函數y=ax2圖象上的所有點,y軸向負方向(下)k個單位后x-【例2【例2】(1)函數yx-

的圖象可以由函數y=

x到xy=13y=

的圖象如何變換得到 x(a,b)y=x

y圖象上的任意一點則

b=1ab= a(a+3)-

-1 x-即點(a+3,b)在函數y=x-x因此,y=x

圖象上的所有點,x軸向正方向(右3個單位x-得到函數y=x-(2)通過列表描點畫出兩個函數的圖象(圖4.3 x(a,b)y=x

圖象上的任意一點,

b=1aab-3=1-aa

- -x(a,b3)y=13的圖象上xx因此,y=x

圖象上的所有點,y軸向負方向(下)3x位,y=13的圖象x所謂對稱變換,就是將一個圖形上的每一個點沿一條直線翻折得到一個新的圖形(即兩個圖形關于此直線對稱).【例3】函數y=x2-2x的圖象是拋物線,系(1)y=x2+2x;(2)y

yy=x2+ y=x2--x2-2x函數的圖象(4.34).觀察函數圖象可以發現,若點(a,b)y=x2-2x圖象上的任x22x的圖象上-b)

-1

y=-x2+y-x22x,yx22x的圖象;yx22xx點后y-x22x的圖象一般地,x換成-xy保持不變,得到一個新的函數,y軸的對稱變換得到.類似的,y換成-yx保持不變,得到一個新的函數,其圖象可看作是原函數的圖象通過關于x軸的對稱變換得到.【例4yx21的圖象yx21的圖象的變換關 - -1 2x21,x1x2y=x-1=-x2-1,-1<x<由解析式的特點可知,x1x-1時,y=x21的圖象與函yx21重合,x軸上方部分保持不變;-1x1時,yx21y-x21yx21x軸對稱,xx軸翻折.yx21(4.3函數y=2x2的圖象經過下列某個平移變換得到函數y=2(x1)2+的圖象,則.此平移變換是 )1個單位,31個單位,31個單位,31個單位,3x(a,b)y1-x

圖象上的一點,那么下列點一定在函數x=1+x

圖象上是 )A. B.- C.- D.--y=2x+11個單位得到一個圖象,其所對應的函數解析式是().A.y=2x- B.y=2x- C.y=2x+ D.y=2x+將函數y=-x2的圖象向（左或右平移 單位,就可得到函數y=-(x+2)2的圖象,再將此函數的圖象向（上或下平移 位,就可得到函數y=-(x+2)2+3的圖象.將函數y=x+1圖象上的所有點通過 變換得到函數y=-x+的圖象.(只要寫出一種你認為合適的圖象變換即可試分析函數y= 的圖象與函數y=1

的圖象的關系,x+ 圖象畫出函數y=x2-2x-3的圖象,并通過圖象的變換畫出下列函數的圖象(1)y=-x2-2x-3;(2)y=x2+2x-3;(3)y=x2-2x-§4.4函數是中學階段重要的數學知識,在初中我們已經學習了一次函數、二次函,而運用函數的圖象和性質去解決相關問題更是一種重要的思想方法.【例1l4.41所示的形狀(上部為半圓形,下部為長方形),求此圖形的面積的最大值.BC長的變化而變化,由此可選取BCx,x的取值范圍,yxy在限定范圍內的最大值.BCxAB=l-π+2x0x2l.y=x

-π+2

+1×π

2=lx

xπ+4x8

=-π+4x-

2 π+ 2π+顯然,x2l(0x

,y2π+最大值,最大值 2π+

因此,當BC長為2l時,折成的圖形面積最大 2π+其最大值 2π+,0x<的條件下,y=lx-π+4x2的最大值 x,x的取值范圍x的函數x的限定范圍內,求此函數的最值【例22-1≤x≤a(a為大于-1的常數),求函數y=x2My=x2-1≤x≤a截取拋物線yx2的圖象,xa與拋物線的對稱軸(y軸的相. 1a

a當-1a04.42(1x-1時,y1;x=a時，y有最小值a2.0a14.42(2x-1時,y1;xa1時4.42(3xa時，ya2;x0時，y綜合(1)(2)(3) yx2是確定不變的a的變化而變化,y=x2在-1≤x≤a范圍內的圖象也相應地變化,其最值需要結合函數圖象,.解決函數在限定范圍上的最值問題,要注意體會數形結合與分類討論思想在解題中的應yx2-5x4圖象的特點,y的范圍確定自變量x的相應取值范圍嗎?(1)y= (2)y> (3)y<y=x2-5x+4x軸公共點的橫坐標,y=0,x2-40x的值x25x40x1xy=x2-5x+4的圖象(圖4.4-3)x軸上方的點的橫坐標,>0,x2-5x+4>0x的值,觀察圖象可知,x<1x>y=x2-5x+4x軸下方的點的橫坐標,y<0,x25x40x的值,觀察圖象可知,1x函數值的范圍,x的不等式問題.象,根據圖象上點的縱坐標與函數值之間的內在聯系,3,解不等式:2x2-5x>-2x2-5x+3>y=2x2-5x+3的圖象(圖4.4-22x25x30,x1x=322,x軸的上方,y0,2x25x30.22因此2x25x-3x1x>32

O 4y 1324.4-0a的取值范圍.a所滿足的不等關系由此可得出解答,y=x2-2(a-1)x+2(a-1),則拋物線開口向上,x軸沒有公共點.因此Δ<0, y4(x1x3的圖象(4.45可得1x3時y04(x1x3

3.因此,不等式(11a3,a1ax-1x2x0的條件下y=x

的函數值的取值范圍是A.-1<y<1,且y≠ B.-1<y<1且y≠22Cy-1y>2

2Dy-1y<2y=-2x2+x(0≤x≤2)()8 B.- C.8

D.-)2x B1x Cx-1xD.x<-2或x> y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,式ax2+bx+c<0的解集 ,不等-ax2+bx+c>0的解集為c>0的解

x2y=1x2x1M2 (2)-2≤x≤ (3)2≤x≤試利用函數的圖象與性質解不等式(1)-x2+5x> (2)2x2-x>1≤x≤2的條件下,y=-x2+2ax+1(a是實常數)M和最m.20元的價格購進貨物,30元的價格售出400件.試銷中發現1元,20件,每件售價應為多少元,才能使利潤最大?(6小題,5分,30分)y=-x2+2x+3()A.- B.-- C.- D.y=2(x3)2+3y=2作對稱后,y=-2(x+1)2+ B.y=-2(x-3)2+C.y=-2(x-3)2+ D.y=-2(x-3)2-y=-x2+4x+6()A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最大值y=2x2+4x-5,-3≤x<2時,y()A.-3≤y≤ B.-7≤y≤ C.-7≤y≤ D.-7≤y<xx+已知原點為函數y=1圖象的對稱中心,則函數y= +xx+()A.-- B C.- D.x26xa01x5,a()A. B C D.(4小題6分,24分二次函數y=x2-(m-4)x+2m-3,當m 時,其圖象的頂點在y軸上m 時,圖象的頂點在x軸上;當m 時,圖象過原點已知某二次函數的圖象過點(-1,0),(0,3),(1,4),則該二次函數的解析式為 xmx2-x+m<0的解是一切實數,m的取值范圍為 要得到函數y= 的圖象,把函數y=1的圖象向 (左或右)平 x- 位,得到的圖象 變換得到(3小題,1215分,1316分,46分解下列不等式3x2-2x-1< (2)2x-x2≥-已知二次函數的圖象過點(2,0),其頂點坐標為(3,4),求該二次函數的解析式y=x2-2ax+6,當-2≤x≤2時,a,a的取第五 比和比我們知道,4a,b,c,d成比例,a:b=c:d,也可以寫成a=c, a,d叫做比例外項b,c叫做比例內項da,b,c的第四比例項個比例內項相等,a:bb:c(或寫成a=

時,bac的 項a=cbdadbc這個推理步驟就是a=c adbc.為了簡明,可以把這個推理步驟寫成a=c?ad=bc. ?反過來,adbcbd,a=c, ad=bc?a=c. ①②式合起來表明,a=cadbc a=cadbc(bd0), 端推論a=bb2 根據比例的性質定理,一個比例可以得出多種不同的比例變形.例如a=c?ad=bc?bc=ad?b=d adbcbcad,adcb,cbda等多種形式,a= b=da=bc=

等多種不同的形式.也就是說,c d 項可以交換位置,兩個外項也可以交換位置,比例的這個性質叫做下面,我們再學習比例的兩個重要性質：合比定理a=c?a±b=c±d. a=c?a1=c1?a±b=c±d 等比定理a=c=?=m(bdn0a+c+?+m=a b+d+? a=c=?=mk,abk,cdk,?,m a+c+?+m=bk+dk+?+nk=(b+d+?+n)k=k=ab+d+?

b+d+?

b+d+? 1(1)已知a-b=3,求證:a=11 已知a=c(bd0),求證:a+c=b+d a- b-【證明】(1)因為a-b=3,a-b+b=3+8,所以a=11 (2)因為a=c(bd0),a+c=aa-c=a,所以a+c=a-c 即

bb-

b-a+c=b+a- b-2a=c=e3,bdf4,ace的值 a=c=e3,a+c+e3, b+d+a+c+e=3(b+d+f)=3×4=已知a=c=e2,則2a-c+3e 2b-d+23A. B. C. D.23xy=yz=zx,(xyyzzx)=() A. B C D1已知a:b:c=2:3:4,且2a+b-c=6,則a-b+2c 已知a+b-c=c+a-b=b+c-a,則2a:3b:4c (xy):4y:3x22xy3y2:x2y2的值根據下列各式,a:b的值(1)a+b=3 (2)a=5 b- adbc(a2b,c2d),求證:a+2b=c+2da- c-, §5.25.21中,a,b,c,d,e,fAD上截得五條相等的線段,AD上截得的五條線段也相等嗎?請你給出證明.提示:AAEAB,bE;BBFAB,于點F.由平行四邊形和全等三角形的性質可證 C Ca,b,fAD,AD得的四條線段AB,BD,AB,BD是否成比例.因

BD=4BD=4,AB=AB

BD=BD

一般地,

DE證:AD=AEAD=AE. EC

APQ?DE,PQ?DE?AD=AE(平行線分線段成比例定理 同理可得AD=AE 1,

推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊 延長線),所得對應線段成比例.【例2△ABC中,AD是角平分線,求證:BD=AB CCEDABAE,BD,DC,BAAE,BD=AB, ACAE即可【證明如圖5.2-3,過點C作CE?DA,交BA的延長 于點 1∠1= CE?DA?∠1=∠2=∠E=∠3?AE=

?∠E=

CE?DA?BD=

?BD= 2

三角內 分線性質理三角的 角的兩邊對應成比例我們已經學習了相似三角形的一些性質;;相似三角形周長的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方.可以發現,相似三角形的這些性質都和比例有關.35.24,E,G,F,HABCD四條邊上的點EFGHAB2,BC3,EF3.3,HG的長AB,BC,EF,GH之間沒有直接的聯系,R【解過點B作BN?EF交DC于點N,過點A作AH AM?HG交BC于點M,AM,BN相交于點R. 因為在矩形ABCD中AB?DC,AD?BC,所以四邊ER形EBNF和四邊形AMGH都是平行四邊形,EF=BM BN,HG=AM

EFHG,BN?EF,AM?GH,BNAM.∠ABRBARABCD中,∠ABCC90°,所以∠ABRCBN90°,∠BAR∠CBN.△ABMBCN,

=BC=3 EF:HG3.3:HG=3:2,HG如圖,Rt△ABC中,ABAC,AB3,AC4,PBC邊上一點,PEE,PDACD.BPx,PDPEx+ B.4-

12x- RQ C (第2題如圖,ABCDACED都是平行四邊形,RDE的中點,BR分別AC,CDP,Q,BP:PQ:QR()A. B. C. 已知在△ABC中AD是角平分線,AB5cm,AC4cm,BC7cm,BD cmDC= 如圖,斜拉橋是利用一組鋼索,把橋面重力傳遞到聳立在兩側高塔上的橋梁,它不需要建造橋墩,其中A1B1,A2B2,A3B3,A4B是斜拉橋上互相平行的鋼索,且A1A2=A2A3=A3A4.若最長的鋼索A1B1=80m,最短的鋼索A4B4=20m,那么鋼索A2B2= mA3B3= m.

(第5題如圖,已知在△ABC中,AB6,BC8,AC7,MN?ACAB,BC于如圖△ABC中PBC上一點,DAC上一點,且∠APD3=D=2,求△ABC的邊長3 EF C (第7題如圖在△ABC中DEBC,ABAD求證FAD的中點如圖在△ABC中∠BAC90°,AD是高且∠BAEC求證:BDEC=AEAD.A 一選擇題本題有6小題,每小 分 若x=y=z≠0,則下列各式中正確的是 ) x+y=

2x= C.x+y+z= D.x+4=z+ 下列命題30°的兩個等腰三角形相似°相似三角形一定是全等三角形其中正確命題的個數是( A. B. C. 如圖,2個小正方形,如果它們的面積分別是1,2那么1,的大小關系是 S1> B.S1=C.S1< D.1,2A (4題

BE 如圖AB,BCD的中點,CD是水平的,在陽光的照射下,DECD12mDE=18m,1.6m.同一時刻,E處,影子在坡面上,小華站在平地上,2m1m那AB為()A.24 B.22 C.20 D.18如圖ABCD中∠DBC45°,DEBCE,BFCD于FDE,BFH,BF,ADG,有下列結論:(1)DB=2BE;(2)∠A=∠BHE;(3)AB=BH;(4)△BHD～其中正確的結論是 A.(1)(2) B.(1)(2) C.(1)(2) D.(2)(3) 如圖,ABCD中,∠B=∠D=90°,MP⊥BCP,MQ⊥ADQ,則MP+MQ的值為 8A.8

7B.7

C.

7二填空題(本題有4小題,每小 分共27在一張比例尺為1:50000的地圖上,一塊多邊形地區面積是120cm2,這個地區的實際面積是 cm2(用科學A如圖,AD?BE?CF,AB:BC=3:4,AD=8,CF=12,BE= 已知D,E分別是△ABC的AB,AC邊上的點,且△ADEC與△ABC相似.若AD=8cm,DB=5cm,AC=12cm,則EC= 如圖,1的△ABC作,分別延長AB,BC,CAA1,B1,C1,A1B=2B,B12BC,C12CA,A1,B1,C1得到△A1B1C1,記其面積為S1;第二次操作,A1B1B1C1,C1A1A2,B2,C2,A2B1=2A1B1,B2C1BCCA=2C1A1,ABC得到

DE 記其面積為S2??按此規律繼續下去,可得到AC則其面積S5= 3小題,123如圖ABCDBCECEAC,AEDCF,CE:FC的值

10DF (11題如圖,Rt△ABC中,ABAC,ADBC,EAC的中點,ED的延長ABF求證:ABFAACFD.AE FAD是△ABC的角平分線,BH⊥AD,H,CK⊥ADK,證:AB=DH AK H

從一點向一直線所引垂線的垂足叫做這個點在這條直線上的正射影6.11中AAMNAAMN上的正射影AMN上的點,AMN上的正射影就是它本身.一條線段在直線上的正射影,是指線段的兩個端點在這條直線上的正射影間的線段.6.12中,ABABMNAB,ABABMN上的正射影.點和線段的正射影簡稱為射影B

圖6.1- 圖6.1-如圖6.1-3,△ABC是直角三角形,CD為斜邊 上的的高在這個圖形中ADCD,BDCD,BCAC等相互垂直,因此可以從射影的角度來考察它們的關系.你能發現這些線段之間的某些關系嗎 實際上,有些關系是非常明顯的.例如,由△BDC為直角三角形可知BD<BC;S△ABC=1ACBC=1CDAB,ACBCCDAB;等等. Rt△ACDRt△CBD因為∠ACD90∠BCD,∠B90∠BCD所以∠B=∠ACD△ACD?△CBD.AD=CD CD2=AD? Rt△BDCRt因為∠B是公共角所以△BDCBD=BC BC2=BD? 同理由△CDABCAAC2=AD? 123式反映了直角三角形的兩直角邊在斜邊上的射影與其他線段之間的關系,因而把這三個等式統稱為直角三角形的射影定理.射定理 角斜 的是 射的例 直角邊分別是它們在斜邊上的射影與斜邊的比例中項16.1-4,OCAB上D,AD2,DB8CD,AC的長∠ACB是半圓上的圓周角,∠ACB90°,△ABC為直角三角形.CD2=AD?DB=2×8=6D=4AC2=AD?AB=2×10=20,AC=2BC2=BD?AB=8×10=80,BC=426.1-5,ABCD的兩邊分512,△ABCAC折疊后△ACECDAE相交DE的長.D,前后圖形必全等,由此要善于找出相等的角與線段.定理計算AM的長 ,

B 6.1ECN 6.1M,N.△ADCCEA,DMEN,AMCNDMEN,DMNE為矩形,DEMNRt△ADC中,ACDAMAC,AM=25MNAC2AM13-50=119DE=119

6D,E,F,求證:∠CABCFE.∠CAB=∠CFE,只需證明△CEF∽△【證明在Rt△ADC中,CD2 CE? Rt△BDC中,CD2CF故CE?CA=CF?CB,即CE . .又因為∠ACB為公共角,△CEF∽

6.1∠CAB在直角三角形中,26, 和 ,斜邊上的高為 1:2BC CDRt△ABC斜邊上的高,S△ABC20,AB10,AD如圖,a,b,ab的比例中項 △ABC中,CABD,CD2=ADDB,求證△ABC是直角三角形如圖,△ABC中,ADBC,DEAB,DFAC,則下列結論中,哪些是成立的?哪些是不成立的?為什么1DE2=AE?BE;2AD2=AF?AC;3AD2=AE?AB;4AD2=BD

5BD2+CD2=BE?AB+CF?AC;6AB=AF 7ABACAB2AC2BDCDAB+DF?AC.

BC;8AD?BC=DEAEF CE (第7題如圖,△ABC中,∠ACB90°,CDABD,MAB的中點,CD上,MEBEE,求證:BC=§62

6.21,△ABC中,AD,BE,CF內角的平分線.記AD和BE的交點為I,過I分 作AB,BC,CA三邊的垂線,垂足分別為M,N,P. 根據角平分線性質,IP=IM,IM=IN,所以IP PIN.因此,點I在角C的平分線上,即CF通過 I.也就是說三條內角平分線交于一點,三角形的內心內心與各頂點的連線平分各角,內心到三角形三邊的距離相等,因此內心是三角形內切圓的圓心.

D 2a,b,r,求證:r=a+b-c2【證明如圖6.2-2,設D,E,F為切點,由圓的切線 質可知,CDIE為正方形,CDCEr.BD=a-r,AE=b-r.又因為BD=BF,AE= BFAFAB,所以(arbrc,ra+b- 如圖6.2-3,在△ABC中,直線l,m,n分 為三條邊的垂直平分線.l,mO,則根據垂直平分線性質,得到AO BO,BO=CO,所以AO=CO,得到O n上.這樣,我們就知道了,的三條垂直平分線交于一點其交點叫做 B根據垂直平分線的性質,的性質

m外心到三頂點的距離相等,因此外心就是三角形外接圓的圓心過外心作一邊的垂線平分此邊外心與一邊中點的連線垂直于此邊直角三角形的外心就是斜邊的中點,銳角三角形的外心在三角形內,而鈍角三角形的外心在三角形外.36.24在△ABC中AD,BE,CFBC,AC,AB邊上的中線BE,CF交于G,BG,CGM,NE,F分別AC,AB的中點,EFMN.因此,四邊形MNEF為平行四邊形.于是,GMMBGE,GFGNNC.BBG:GE=G=同理,BEADG,

F G AG:GD=2:1,BG:GE=GG重合因此此點就叫做三角形的重心.2:1.26.25,△ABCGIGIBC,求證:AB+AC=2BCAG,AI,并延長它們,延長線分別交BCD,E,IC,AD為中線,AE,CI為角平分

GIBCAI=AG △CAE中,有AC=AI2,AC 同理可得AB=

6.2因此,ABAC2(BECE1:2的比和內角平分線定理解答.除此之外,也可以利用面積法來解決,我們將在6.3節證明.6.26,△ABC中,AD,BE,CF分別為三邊的高ABC邊的平行線BCA邊的平行線,C作邊AB的平行線,三條平行線相交成于是四邊形ABCBACBCCABA形AD,BE,CF△ABC三邊的垂直平分線,△ABC的外心因此AD,BE,CF因此,三角形三條高線交于一點,這點叫做三角形的垂心

62頂點與垂心的連線垂直于對邊;直角三角形的垂心即為直角頂點,銳角三角形的垂心在三角形內,而鈍角三角形的垂心在三角形外.等腰三角形底邊上三線()合一.因此在等腰三角形中,IGHO必在同一條直線上.而正三角形作為特殊的等腰三角形,四心()合一,這點稱為正三角形的3△ABC中,ABAC5,BC6.求△ABC△ABC△ABC,因而在等腰三角形ABC中,三角形的IO在底邊的高線上.【解】(1)6.27,ADBCABACDBC的中點,AD=AB2-BD2=2S△ABC=1×6×4=26.28I為內心I到三邊的距離均為r,

S△ABCS△IABS△BCS△IAC,12=1AB?r+1BC?r+1CA?2r=